5.3 等比数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第３节　等比数列及其前n项和 ★[课程标准] １．通过实例,理解等比数列的概念． ２．探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式． ３．能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题． ４．体会等比数列与指数函数的关系． 　　　　　　　　学生用书　P１０１ １．等比数列的概念 (１)如果一个数列从第２项起,每一项与它的前一项 的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等 比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字 母q表示(q≠０)． 数学语言表达式:an an－１ ＝q(n≥２,q为非零常数), 或 an＋１ an ＝q(n∈N＋,q为非零常数)． (２)如果在a与b 之间插入一个数G,使得a,G,b成 等比数列,那么G２＝ab,即G＝± ab．我们称G 为a,b的等比中项． ２．等比数列的通项公式及前n项和公式 (１)若等比数列{an}的首项为a１,公比是q,则其通项 公式为an＝a１qn－１(a１≠０,q≠０);通项公式的推 广:an＝amqn－m． (２)等比数列的前n项和公式:当q＝１时,Sn＝na１; 当q≠１时,Sn＝ a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q ． 推广:当q≠０,１时,{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A (A 为常数且A≠０)． ３．等比数列的增减性 对于等比数列{an},通项公式an＝a１qn－１＝ a１ q 􀅰qn． 根据指数函数的增减性,可分析当q＞０时等比数 列{an}的增减性如下表． a１ a１＞０ a１＜０ q的范围 ０＜q＜１ q＝１ q＞１ ０＜q＜１ q＝１ q＞１ 数列{an} 的增减性 递减 数列 常数列 递增 数列 递增 数列 常数列 递减 数列 ４．等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn 是数列{an}的前n项和． (１)若m＋n＝p＋l,则aman＝apal,其中m,n,p,l∈ N＋,特别地,若２k＝p＋l,则apal＝a ２ k,其中p,q, l∈N＋ ． (２)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak, ak＋m,ak＋２m,􀆺 仍 是 等 比 数 列,公 比 为 qm (k,m∈N＋)． (３)当q≠－１,或q＝－１且n为奇数时,Sn,S２n－Sn, S３n－S２n仍成等比数列,其公比为qn． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 设数列{an}是首项为a１,公比是q的等比数列,Sn 是其前n 项和． １．若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则 数列{ban},{pan􀅰mbn}和 pan mbn{ }(其中b,p,m 是 非零常数)也是等比数列． ２．若a１􀅰a２􀅰􀆺􀅰an＝Tn,则Tn, T２n Tn ,T３n T２n ,􀆺成等 比数列． ３．若数列{an}的项数为２n,则 S偶 S奇 ＝q ;若项数为２n＋１, 则 S奇 －a１ S偶 ＝q． ４．有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相 等．特别地,若项 数 为 奇 数 时,还 等 于 中 间 项 的 平方． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)若一个数列从第２项起每一项与它的前一项的 比都是常数,则这个数列是等比数列． (　　) (２)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b２＝ac． (　　) (３)满足an＋１＝qan(n∈N＋,q为常数)的数列{an} 为等比数列． (　　) (４)如果{an}为等比数列,bn＝a２n－１＋a２n,则数列 {bn}也是等比数列． (　　) (５)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等 差数列． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× ◆[小题查验] １．(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一 定是等比数列的是 (　　) A．１an{ }　　　　　　　B．{log２a ２ n} C．{an＋an＋１} D．{an＋an＋１＋an＋２} 答案:AD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题二　第五章　数　列 ２．(２０２５􀅰山东泰安模拟预测)已知数列{an}是各项均 为正数的等比数列,且３a１＋９a２＝２,９a２４＝a１a５,则 (　　 ) A．an＝ １ ３n B．an＝３n C．an＝ １ ３n－１ D．an＝３n－１ 解析:A　[设数列{an}的公比为q,由９a２４＝a１a５, 得９a２４＝a２３,所以q２＝ １ ９ , 又因为各项均为正数,所以q＝１３ , 由３a１＋９a２＝２,得３a１＋９a１q＝２,所以a１＝ １ ３ ,故 an＝ １ ３n ．] ３．等比数列{an}的公比为q,前n 项和为Sn,设甲: q＞０,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析:B　[由题可知当数列为－２,－４,－８,􀆺时, 满足q＞０, 但是{Sn}不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件． 若{Sn}是递增数列,则必有an＞０成立,若q＞０不 成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则q＞０ 成立,所以甲是乙的必要条件．] ４．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠０),则其前n项 和为Sn＝　　　　． 解析:当a＝１时,an＝１,Sn＝n;当a≠１时,Sn＝ a(１－an) １－a) ．∴Sn＝ n,a＝１, a(１－an) １－a ,a≠１,且a≠０．{ 答案: n,a＝１ a(１－an) １－a ,a≠１,且a≠０{ ５．(２０２３􀅰全国甲卷)记Sn 为等比数列{an}的前n项 和．若８S６＝７S３,则{an}的公比为　　　　． 解析:若q＝１,则由８S６＝７S３,得８×６a１＝７×３a１, 则a１＝０,不合题意． 所以q≠１．当q≠１时,因为８S６＝７S３, 所以８× a１(１－q６) １－q ＝７× a１(１－q３) １－q , 即８×(１－q６)＝７×(１－q３),即８×(１＋q３)(１－q３) ＝７×(１－q３),即８×(１＋q３)＝７,解得q＝－１２． 答案:－１２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１０２ 　　　等比数列的基本运算 １．(２０２５􀅰山东济南市历城第二中学模拟)在等比数列 {an}中,已知a１＝２,a１－a３＋a５＝２６,则a３＝ (　　) A．２０ B．１２ C．８ D．４ 解析:C　[设{an}的公比为q,则a１－a３＋a５＝a１－ a１q２＋a１q４＝２(１－q２＋q４)＝２６, 解得q２＝４,所以a３＝a１q２＝８．] ２．(２０２５􀅰广东深圳模拟预测)已知等比数列{an}公 比为q,前n项和为Sn,且满足a６＝８a３,则下列说 法正确的是 (　　 ) A．S３􀅰S９＝S２６ B． S６ S３ ＝１９ C．q＝１２ D．Sn＝２an－a１ 解析:D　[等比数列{an}中,an≠０,又因为a６＝ ８a３,可得q３＝ a６ a３ ＝８,解得q＝２,故C错误; 又因为an＝a１􀅰qn－１＝a１×２n－１,Sn＝ a１(１－２n) １－２ ＝ a１×２n－a１＝２an－a１,故D正确; 又由S３＝a１(q３－１)＝a１(２３－１),S６＝a１(２６－１), 所以 S６ S３ ＝ a１(２６－１) a１(２３－１) ＝９,故B错误; 又因为S９＝a１(q９－１),S３􀅰S９＝a２１(q１２－q９－q３＋１), S２６＝a２１(q１２－２q６＋１),故S３􀅰S９≠S２６,故A错误．] ３．(２０２５􀅰江苏省响水中学模拟)记等比数列{an}的 前n项和为Sn,若S６＝ S２＋S４ ２ ,则{an}的公比为 　　　　． 解析:因为{an}是等比数列,设{an}的公比为q, 若q≠１时, 由S６＝ S２＋S４ ２ ,可得２􀅰 a１(１－q６) １－q ＝ a１(１－q２) １－q ＋ a１(１－q４) １－q , 整理得２q６＝q２＋q４,因为q≠０,所以２q４＝１＋q２ 即 ２(q２)２＝１＋q２, 解得q２＝－１２ (舍去)或q２＝１,因为若q＝１时,S６ ＝６a１, S２＋S４ ２ ＝ ２a１＋４a１ ２ ＝３a１≠６a１ ,所以舍去, 所以q＝－１, 综上所述,q＝－１． 答案:－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５１􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (１)方程的思想:等比数列中有五个量a１,n,q,an, Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关 键量a１ 和q,问题可迎刃而解． (２)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉 及对公比q的分类讨论,当q＝１时,{an}的前n 项和Sn＝na１;当q≠１时,{an}的前n项和Sn ＝ a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q ． 提醒:运用等比数列的前n项和公式时,必须对 q＝１与q≠１分类讨论． 　　　　等比数列的判定与证明(师生共研) [典例]　(２０２５􀅰江苏南京模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn,a１＝３,Sn＝２＋an＋１． (１)证明:数列{Sn－２}为等比数列; (２)记数列 １Sn{ }的前n 项和为Tn,证明:Tn＜２． [证明]　(１)因为Sn＝２＋an＋１＝２＋(Sn＋１－Sn), 所以２Sn＝Sn＋１＋２,所以Sn＋１－２＝２(Sn－２),因为 S１－２≠０,所以Sn－２≠０, Sn＋１－２ Sn－２ ＝２,故数列{Sn －２}为首项为S１－２＝１,公比为２的等比数列． (２)由(１)可知Sn－２＝２n－１,所以 １ Sn ＝ １ ２＋２n－１ ＜ １ ２n－１ ,所以Tn＜１＋ １ ２＋ １ ２２ ＋􀆺＋ １ ２n－１ ＝ １－１ ２n １－１２ ＝２１－１２n æ è ç ö ø ÷＜２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 等比数列的判定方法 (１)定义法:若 an＋１ an ＝q(q为非零常数,n∈N＋)或 an an－１ ＝q(q 为非零常数且n≥２,n∈N＋),则 {an}是等比数列． (２)中项公式法:若数列{an}中,an≠０且a２n＋１＝an􀅰 an＋２(n∈N＋),则数列{an}是等比数列． (３)通项公式法:若数列通项公式可写成an＝c􀅰 qn－１(c,q均是不为０的常数,n∈N＋),则{an} 是等比数列． (４)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn＝ k􀅰qn－k(k为常数且k≠０,q≠０,１),则{an}是 等比数列． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 提醒:(１)前两种方法是判定等比数列的常用方 法,常用于证明,而后两种方法常用于选择题、填 空题中的判定． (２)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判 定存在连续三项不成等比数列即可． (２０２５􀅰全国模拟)在数列{an}中,已知各项都为正 数的数列{an}满足５an＋２＋４an＋１－an＝０． (１)证明数列{an＋an＋１}为等比数列; (２)若a１＝ １ ５ ,a２＝ １ ２５ ,求{an}的通项公式． 解:(１)证明:各项都为正数的数列{an}满足５an＋２＋ ４an＋１－an＝０,得an＋１＋an＋２＝ １ ５ (an＋１＋an),即 an＋１＋an＋２ an＋an＋１ ＝１５ ,所以数列{an＋an＋１}是公比为 １ ５ 的等比数列． (２)因为a１＝ １ ５ ,a２＝ １ ２５ ,所以a１＋a２＝ ６ ２５ ,由(１) 知,数列{an＋an＋１}是首项为 ６ ２５ ,公比为１ ５ 的等比 数列,所以an＋an＋１＝ ６ ２５× １ ５ æ è ç ö ø ÷ n－１ ,于是an＋１－ １ ５ æ è ç ö ø ÷ n＋１ ＝－ an－ １ ５ æ è ç ö ø ÷ n [ ]＝(－１)n a１－１５ æ è ç ö ø ÷,又因 为a１－ １ ５＝０ ,所以an－ １ ５ æ è ç ö ø ÷ n ＝０,即an＝ １ ５ æ è ç ö ø ÷ n ． 　　　等比数列的性质及其应用 ▶[命题点１]　等比数列项的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例１]　(１)(２０２５􀅰江西模拟)在正项等比数列{an} 中,a４a８a１２＝２２,则log４a２＋ １ ２log２a１４＝ (　　) A．１２ B． １ ３ C． １ ４ D． １ ６ [解析]　由题得a４a８a１２＝a３８＝２ ２,所以a８＝ ２, 所以a２a１４＝a２８＝２,所以log４a２＋ １ ２log２a１４＝log４a２ ＋log４a１４＝log４(a２a１４)＝log４２＝ １ ２． [答案]　A (２)(２０２５􀅰石家庄模拟)在等比数列{an}中,若a７ ＋a８＋a９＋a１０＝ １５ ８ ,a８a９＝－ ９ ８ ,则１ a７ ＋１a８ ＋１a９ ＋１a１０ ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题二　第五章　数　列 [解析]　因为１a７ ＋１a１０ ＝ a７＋a１０ a７a１０ ,１ a８ ＋１a９ ＝ a８＋a９ a８a９ , 由等比数列的性质知a７a１０＝a８a９, 所以１ a７ ＋１a８ ＋１a９ ＋１a１０ ＝ a７＋a８＋a９＋a１０ a８a９ ＝１５８÷ － ９ ８ æ è ç ö ø ÷＝－５３． [答案]　－５３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一 个等比数列,即an,an＋k,an＋２k,an＋３k,􀆺为等比数 列,公比为qk． ２．在一个无穷等比数列中,其中任何一项都是和这 项项数距离相等的两项的等比中项,即a２m ＝ am－k􀅰am＋k(m,k为正整数,且m＞k)． １．(１)(２０２５􀅰重庆八中模拟)各项均为正数的等比数 列{an}满足log２a１＋log２a２＋􀆺＋log２a１０＝１０,则 a５a６＝ (　　) A．２ B．４ C．６ D．８ 解析:B　[因为各项均为正数的等比数列{an}满足 log２a１＋log２a２＋􀆺＋log２a１０＝１０, 所以log２(a１×a２×􀆺×a１０)＝１０,即a１×a２×􀆺× a１０＝２１０． 因为{an}为正项等比数列,所以a１a１０＝a２a９＝a３a８ ＝a４a７＝a５a６, 所以(a５a６)５＝２１０,所以a５a６＝４．] (２)(２０２５􀅰浙江金华模拟预测)已知数列{an}是等 差数列,数列{bn}是等比数列,若a２＋a４＋a６＝５π, b２b４b６＝３ ３,则tan a１＋a７ １－b２b６ ＝　　　　． 解析:由等差数列的性质可知,a２＋a４＋a６＝３a４ ＝５π,即a４＝ ５π ３ ,而a１＋a７＝２a４＝ １０π ３ , 根据等比数列的性质可知,b２b４b６＝b３４＝３ ３, 则b４＝ ３,b２b６＝b２４＝３, 所以tan a１＋a７ １－b２b６ ＝tan －５π３ æ è ç ö ø ÷＝tanπ３＝ ３． 答案:３ ▶[命题点２]　等比数列前n项和的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　(１)各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn,若Sn＝２,S３n＝１４,则S４n＝　　　　． [解析]　法一:第一步:利用等比数列前n项和的 性质． Sn,S２n－Sn,S３n－S２n,S４n－S３n成等比数列． 第二步:应用等比中项列出方程求解． (S２n－Sn)２＝Sn􀅰(S３n－S２n), 即(S２n－２)２＝２􀅰(１４－S２n), 解得S２n ＝６或 S２n ＝－４(舍 去),同 理 可 得 S４n ＝３０． 法二:第一步:设出首项和公比． 设等比数列{an}的首项为a１,公比为q,由已知可 得q≠１． 第二步:列出方程组求出整体qn 和 a１ １－q． ∵Sn＝２,S３n＝１４, ∴ a１(１－qn) １－q ＝２ , a１(１－q３n) １－q ＝１４ , ì î í ï ï ï ï 两式相比得q２n＋qn－６＝０, 解得qn＝２或qn＝－３(舍去), a１ １－q＝－２． 第三步:代入等比数列前n项和公式求出S４n． S４n＝ a１(１－q４n) １－q ＝－２× (１－２４)＝３０． [答案]　３０ (２)(２０２５􀅰全国模拟)已知一个等比数列首项为１, 项数是偶数,其奇数项之和为８５,偶数项之和为１７０, 则这个数列的项数为 (　　) A．２ B．４ C．８ D．１６ [解析]　设这个等比数列{an}共有２k(k∈N∗)项, 公比为q, 则奇数项之和为S奇 ＝a１＋a３＋􀆺＋a２k－１＝８５, 偶数项之和为S偶 ＝a２＋a４＋􀆺＋a２k ＝q(a１＋a３＋􀆺＋a２k－１)＝qS奇 ＝１７０, ∴q＝ S偶 S奇 ＝ １７０ ８５＝２ , 等比数列{an}的所有项之和为S２k＝ a１(１－２２k) １－２ ＝２２k－１＝１７０＋８５＝２５５,则２２k＝２５６, 解得k＝４,因此这个等比数列的项数为８． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．在等比数列的基本运算中,一般利用通项公式和 前n项和公式建立方程组求解,但如果灵活运用 等比数列的性质,可减少运算量． ２．在应用等比数列前n项和公式求解时,要注意整 体思想的应用:当公比q≠１时,Sn＝ a１ １－q (１－qn), 令 a１ １－q＝t ,则Sn＝t(１－qn)．把 a１ １－q 与qn 当成一个 整体求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５１􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S２n－Sn, S３n－S２n仍成等比数列,这个性质成立的前提条件 是公比不为－１． ２．(１)记Sn 为等比数列{an}的前n项和,若S２＝４, S４＝６,则S６＝ (　　) A．７ B．８ C．９ D．１０ (２)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 S６ S３ ＝１２ , 则 S９ S３ ＝　　　　． (３)(２０２５􀅰全国模拟)已知等比数列{an}共有２n 项,其和为－２４０,且奇数项的和比偶数项的和大 ８０,则公比q＝　　　　． 解析:(１)若{an}是等比数列,则连续n项的和也成 等比数列, 所以有S２,S４－S２,S６－S４ 也成等比数列, 所以有(S４－S２)２＝S２􀅰(S６－S４)⇒(６－４)２ ＝４􀅰(S６－６)⇒S６＝７． (２)法一:设等比数列{an}的公比为q,因为 S６ S３ ＝１２ , 所以{an}的公比q≠１．由 a１(１－q６) １－q ÷ a１(１－q３) １－q ＝１２ ,得q３＝－１２ ,所以S９ S３ ＝１－q ９ １－q３ ＝３４． 法二:设等比数列{an}的公比为q,因为 S６ S３ ＝１２ ,所 以公比q≠１,所以S３,S６－S３,S９－S６ 也成等比数 列,即(S６－S３)２＝S３􀅰(S９－S６),将S６＝ １ ２S３ 代 入得 S９ S３ ＝３４． (３)由题意,设奇数项的和为S１,偶数项的和为 S２,得 S１－S２＝８０ S１＋S２＝－２４０{ ⇒ S１＝－８０, S２＝－１６０．{ 故公比q＝ S２ S１ ＝－１６０－８０＝２． 答案:(１)A　(２)３４　 (３)２ ▶[命题点３]　与等比数列有关的范围与最值问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例３]　(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n 项和为Sn,前n项积为Tn,若a１＞１,０＜q＜１,且 (a２０２３－１)􀅰(a２０２４－１)＜０,则下列结论正确的是 (　　 ) A．S２０２４－S２０２３＞０ B．a２０２３a２０２５＜１ C．数列{Tn}中的最大值是T２０２３ D．数列{Tn}无最大值 解析:ABC　[由a１＞１,０＜q＜１,可得an＝a１qn－１ 为单调递减的数列且an＞０, 由(a２０２３－１)􀅰(a２０２４－１)＜０,可得０＜a２０２４＜１＜ a２０２３＜a１． S２０２４－S２０２３＝a２０２４＞０,显然A正确; ０＜a２０２４＜１＜a２０２３＜a１, 根据等比中项可得a２０２３a２０２５＝a２２０２４＜１,显然B正确; 由０＜a２０２４＜１＜a２０２３＜a１,an＝a１qn－１为单调递减 的数列且an＞０, 可知{an}的前２０２３项(包含２０２３项)都大于１,从 第２０２４项(包含２０２４项)往后都小于１,所以数列 {Tn}中的最大值是T２０２３,所以C正确; 由C正确可知,{Tn}有最大值,所以D错误．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要 内容．在处理这类问题时,首先需要明确等比数列 的定义和性质,包括通项公式、前n项和公式等．对 于范围问题,通常通过不等式求解,利用等比数列 的性质确定数列项的取值范围．对于最值问题,则 需分析数列的单调性,结合数列项的性质,求出数 列的最大项或最小项． ３．(２０２５􀅰湖北模拟)已知等比数列{an}的各项均为 正数,且a１a２a３＝２７,a４－a２＝－ ８ ３ ,则a１a２􀆺an 的 最大值为 (　　) A．９ B．８ C．３ D．２７ 解析:D　[设等比数列{an}的公比为q(q＞０),则 由a１a２a３＝２７,a４－a２＝－ ８ ３ , 得 a３１q３＝２７, a１q(q２－１)＝－ ８ ３ , ì î í ïï ï 解得q＝１３ ,a１＝９, 所 以 a１a２ 􀆺 an ＝ ９n １ ３ æ è ç ö ø ÷ １＋２＋􀆺＋n－１ ＝ ３ ５n－n２ ２ ＝３ １ ２×[ ２５ ４－ n－ ５ ２( ) ２], 当且仅当n＝２或n＝３时,a１a２􀆺an 的最大值为３３ ＝２７．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题二　第五章　数　列