3.3 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第３节　利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准] １．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．２．会用导数求函数的极大值、极小值．３．会求闭区间上函 数的最大值、最小值． 　　　　　　　　学生用书　P５２ １．函数极值的概念 (１)在包含x０ 的一个区间(a,b)内,函数y＝f(x)在 任何不为x０ 的一点处的函数值都小于点x０ 处的 函数值,称点x０ 为函数y＝f(x)的极大值点,其 函数值f(x０)为函数的极大值． (２)在包含x０ 的一个区间(a,b)内,函数y＝f(x)在 任何不为x０ 的一点处的函数值都大于点x０ 处的 函数值,称点x０ 为函数y＝f(x)的极小值点,其 函数值f(x０)为函数的极小值． 函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大 值与极小值统称为极值． ２．求可导函数f(x)的极值的步骤 (１)求导函数f′(x)． (２)求方程f′(x)＝０的根． (３)列表,检验f′(x)在方程f′(x)＝０的根左右两侧 的函数值的符号,如果左正右负,那么函数y＝ f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那 么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值;如果左 右两侧符号一样,那么这个根不是极值点． (４)得极值,由表得极大值与极小值． ３．求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 (１)求函数y＝f(x)在(a,b)内的极值． (２)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值,得出函数f(x)在[a,b]上的最值． ４．利用导数求解实际问题中的优化问题 (１)在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、 体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题 通称为最优化问题． (２)应用导数知识解决实际问题时,首先要明确题目的 已知条件和所要求解的问题,然后根据题意建立适 当的函数关系,将所求问题转化为求函数的限制条 件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下: 说明:常将问题中能取得最大值或最小值的那个 变量设为y,而将另一个与y有关的变量设为x, 然后利用导数求出所列函数的极值点,再进一步 分析可得出函数的最值． (３)实际问题中,一般通过函数的单调性和问题的实 际意义确定最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．函数极值与导数的关系 (１)f′(x０)＝０是x０ 为f(x)的极值点的必要不充分 条件．例如,f(x)＝x３,f′(０)＝０,但x＝０不是极 值点． (２)极值点不是点,若函数f(x)在x１ 处取得极大值, 则x１ 为极大值点,极大值为f(x１);在x２ 处取得 极小值,则x２ 为极小值点,极小值为f(x２)．极大 值与极小值之间无确定的大小关系． ２．函数极值与最值的关系 (１)极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可 以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的 也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函 数最值只要不在端点处取,则必定在极值处取． (２)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点, 则相应的极值一定是函数的最值． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的． (　　) (２)函数的极大值不一定比极小值大． (　　) (３)对可导函数f(x),f′(x０)＝０是x０ 点为极值点 的充要条件． (　　) (４)函数的极大值一定是函数的最大值． (　　) (５)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　) (６)函数f(x)＝１x 在区间[－１,１]上有最值． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ (６)× ◆[小题查验] １．函数f(x)＝(x２－１)２＋２的极值点是 (　　) A．x＝１　　　　　　　B．x＝－１ C．x＝１或－１或０ D．x＝０ 解析:C　[∵f(x)＝x４－２x２＋３, ∵由f′(x)＝４x３－４x＝４x(x＋１)(x－１)＝０,得 x＝０或x＝１或x＝－１． 又当x＜－１时,f′(x)＜０,当－１＜x＜０时,f′(x)＞０, 当０＜x＜１时,f′(x)＜０,当x＞１时,f′(x)＞０, ∴x＝０,１,－１都是f(x)的极值点．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用 ２．如 图 是 f(x)的 导 函 数 f′(x)的图象,则f(x)的极 小值点的个数为 (　　) A．１　　　　B．２　　　　C．３　　　　D．４ 解析:A　[由题意知只有在x＝－１处f′(－１)＝０, 且其两侧导数符号为左负右正．] ３．函数y＝xex 的最小值是 (　　) A．－１ B．－e C．－１e D． 不存在 解析:C　[y′＝ex＋x􀅰ex, 令y′＝０,则x＝－１, ∵x＜－１时,y′＜０,x＞－１时,y′＞０, ∴x＝－１是函数的唯一极小值点,即为最小值点, ∴x＝－１时,ymin＝－ １ e． ] ４．(忽视参数的检验致误)函数f(x)＝x３＋ax２＋bx ＋a２ 在x＝１处有极值１０,则a的值为　　　　, b的值为　　　　． 解 析:f′ (x)＝３x２ ＋２ax ＋b,依 题 意 得 f(１)＝１０, f′(１)＝０,{ 解 得 a＝４, b＝－１１{ 或 a＝－３, b＝３,{ 当 a＝４, b＝－１１{ 时,f′(x)＝３x ２＋８x－１１＝(３x＋１１)(x －１),所以f(x)在x＝１处取得极值; 当 a＝－３, b＝３{ 时,f′(x)＝３x ２－６x＋３＝３(x－１)２, 此时f(x)在x＝１处无极值．所以a＝－３,b＝３． 答案:－３　３ ５．从边长为１０cm×１６cm的矩形纸板的四角截去四 个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子 容积的最大值为　　　　cm３． 解析:设盒子容积为ycm３,盒子的高为xcm． 则y＝(１０－２x)(１６－２x)x ＝４x３－５２x２＋１６０x(０＜x＜５), ∴y′＝１２x２－１０４x＋１６０． 令y′＝０,得x＝２或x＝２０３ (舍去), ∴ymax＝６×１２×２＝１４４(cm３)． 答案:１４４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P５３ 　　　利用导数研究函数的极值 ▶[命题点１]　由函数图象判断其极值情况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．如图,直线y＝ax＋２与曲线 y＝f(x)交于A、B 两点,其 中 A 是 切 点,记h(x)＝ f(x) x ,g(x)＝f(x)－ax,则 下列判断正确的是 (　　) A．h(x)只有一个极值点 B．h(x)有两个极值点,且极小值点小于极大值点 C．g(x)的极小值点小于极大值点,且极小值为－２ D．g(x)的极小值点大于极大值点,且极大值为２ 解析:D　[设切点A 的坐标为(x０,f(x０)),则由条 件得f′(x０)＝a, 且当x＜x０ 时,f′(x)＞a;当x＞x０ 时,f′(x)＜a, ∵g(x)＝f(x)－ax, ∴g′(x)＝f′(x)－a, ∴当x＜x０ 时,g′(x)＝f′(x)－a＞０,g(x)单 调递增, 当x＞x０ 时,g′(x)＝f′(x)－a＜０,g(x)单 调 递减, ∴当x＝x０ 时g(x)有极大值,且极大值为g(x０) ＝f(x０)－ax０＝２, 同理g(x)有极小值,结合题图可得g(x)的极小值 点大于极大值点．] ▶[命题点２]　利用导数求函数的极值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．已知函数f(x)＝x２－８x＋６lnx＋１,则f(x)的极 大值为 (　　) A．１０ B．－６ C．－７ D．０ 解析:B　[函数f(x)的定义域为(０,＋∞), f′(x)＝２x－８＋６x＝ ２(x－１)(x－３) x , 令f′(x)＝０,解得x＝１或x＝３, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表 x (０,１) １ (１,３) ３ (３,＋∞) f′(x) ＋ ０ － ０ ＋ f(x)单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的极大值为f(１)＝－６．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤 (１)先求函数的定义域,再求函数y＝f(x)的导 数f′(x); (２)求方程f′(x)＝０的根; (３)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果 左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值, 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小 值．如果左右符号相同,则此根处不是极值点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x) 在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数 没有极值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８􀅰 高考总复习　数学(BS) ▶[命题点３]　已知极值求参数的取值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(２０２５􀅰 广 西 模 拟 预 测)已 知 函 数 f(x)＝ a(sinx＋cosx) ex ＋x 在(０,π)上恰有两个极值点, 则实数a的取值范围是 (　　 ) A．０,２２e π ４ æ è ç ö ø ÷ B．(－∞,eπ) C．(０,eπ) D． ２ ２e π ４,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 解析:D　[由题意可得f′(x)＝－２asinxex ＋１,因 为函数f(x)在(０,π)上恰有两个极值点,所以 f′(x)在(０,π)上有两个变号零点． 令f′(x)＝－２asinxex ＋１＝０,可得a＝ e x ２sinx , 令g(x)＝ e x ２sinx ,x∈(０,π), 则直线y＝a与函数y＝g(x),x∈(０,π)的图象有 两个不同的交点, g′(x)＝２e x(sinx－cosx) (２sinx)２ ＝ ２ ２exsinx－π４ æ è ç ö ø ÷ (２sinx)２ , 当 x∈ π４ ,πæ è ç ö ø ÷ 时,g′(x)＞０,所 以 g(x)在 π ４ ,πæ è ç ö ø ÷上单调递增, 当 x∈ ０,π４ æ è ç ö ø ÷ 时,g′(x)＜０,所 以 g(x)在 ０,π４ æ è ç ö ø ÷上单调递减,又因为g π４ æ è ç ö ø ÷＝ ２２e π ４,当x趋 近于０时,g(x)趋近 于＋∞,当x 趋 近 于π时, g(x)趋近于＋∞,所以可作出g(x)的图象如图所 示,数形结合可知a＞ ２２e π ４,即实数a的取值范围 是 ２ ２e π ４,＋∞ æ è ç ö ø ÷．] ４．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ ex－ax－a３． (１)当a＝１时,求曲线y＝f(x)在点(１,f(１))处的 切线方程; (２)若f(x)有极小值,且极小值小于０,求a的取值 范围． 解:(１)a＝１,f(x)＝ex－x－１,切点(１,e－２), f′(x)＝ex－１,k＝f′(１)＝e－１,所以要求的切线方程 为y－(e－２)＝(e－１)(x－１),即y＝(e－１)x－１． (２)f′(x)＝ex－a,当a≤０时,f′(x)＞０,f(x)在 R 上单调递增,此时无极值, ∴a＞０,令f′(x)＝０,x＝lna, ∴f(x)在(－∞,lna)上单调递减,(lna,＋∞)上 单调递增, ∴f(x)极小值 ＝f(lna)＝a－alna－a３＜０, ∴１－lna－a２＜０, 令g(a)＝－a２－lna＋１,g′(a)＝－２a－１a＜０ g(a)在(０,＋∞)单调递减,而g(１)＝０, ∴g(a)＜０⇔a＞１, ∴a的取值范围(１,＋∞)． 　　　　　利用导数研究函数的最值 [典例]　(１)(２０２５􀅰山东青岛模拟)已知０＜x＜π, 则 sinx １－cosx＋ ６４ １＋cosx 的最小值为　　　　． [解析]　设f(x)＝ sinx１－cosx＋ ６４ １＋cosx ＝ ２sinx２cos x ２ ２sin２x２ ＋ ６４sin２x２＋cos ２x ２ æ è ç ö ø ÷ ２cos２x２ ＝ １ tanx２ ＋３２tan２x２＋３２ , 设tanx２＝t ,由x∈(０,π),得t＞０, 则f(t)＝１t＋３２t ２＋３２, f′(t)＝－１t２ ＋６４t＝６４t ３－１ t２ ＝０,得t＝１４ , 当t∈ ０,１４ æ è ç ö ø ÷时,f′(t)＜０,f(t)在区间 ０,１４ æ è ç ö ø ÷上单 调递减, 当t∈ １４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 时,f′(t)＞０,f(t)在 区 间 １ ４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷上单调递增, 所以当t＝１４ 时,f(t)取得最小值f １４ æ è ç ö ø ÷＝３８, 即 sinx １－cosx＋ ６４ １＋cosx 的最小值为３８． [答案]　３８ (２)已知函数f(x)＝x２eax,其中a≤０,e为自然对 数的底数． ①讨论函数f(x)的单调性; ②求函数f(x)在区间[０,１]上的最大值． [解]　①f′(x)＝２xeax＋x２aeax＝x(ax＋２)eax． 当a＝０时,由f′(x)＞０,得x＞０,由f′(x)＜０,得 x＜０． 故函数f(x)在(０,＋∞)上单调递增,在(－∞,０) 上单调递减; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用 当a＜０时,由f′(x)＞０,得０＜x＜－２a , 由f′(x)＜０,得x＜０或x＞－２a． 故函数f(x)在 ０,－２a æ è ç ö ø ÷上单调递增, 在(－∞,０)与 －２a ,＋∞æ è ç ö ø ÷上单调递减． ②当a＝０时,f(x)在区间[０,１]上单调递增,其最 大值为f(１)＝１; 当－２a＞１ ,即－２＜a＜０时,f(x)在区间[０,１]上 单调递增,其最大值是f(１)＝ea; 当０＜－２a≤１ ,即a≤－２时,x＝－２a 是函数f(x) 在区间[０,１]上唯一的极大值点,也就是最大值点, 此时函数f(x)最大值是f －２a æ è ç ö ø ÷＝ ４ a２e２ ． 综上可得当－２＜a≤０时,f(x)在[０,１]上的最大 值是ea; 当a≤－２时,f(x)在[０,１]上的最大值为 ４a２e２ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,首先可判 断函数在[a,b]上的单调性,若函数在[a,b]上单调 递增或单调递减,则f(a),f(b)一个为最大值,一 个为最小值．若函数在[a,b]上不单调,一般先求 [a,b]上f(x)的极值,再与f(a),f(b)比较,最大 的即为最大值,最小的即为最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数 时,要讨论参数的大小． １．(２０２５􀅰广西南宁一模)已知函数f(x)＝(x－１)ex ＋ax２ 的最小值为－１,则实数a 的取值范围为 　　　　． 解析:因为f(x)＝(x－１)ex＋ax２, 所以f′(x)＝xex＋２ax＝x(ex＋２a), 若a≥０,则x∈(－∞,０)时,f′(x)＜０, 故f(x)在(－∞,０)上单调递减, x∈(０,＋∞)时,f′(x)＞０,故f(x)在(０,＋∞)上 单调递增, 所以当x＝０时,f(x)有最小值f(０)＝－１,满足 题意; 若a＜０,则当x无限趋近于负无穷大时,f(x)无限 趋向于负无穷大,f(x)没有最小值,不符合题意; 综上,a≥０,所以实数a的取值范围为[０,＋∞)． 答案:[０,＋∞) ２．(２０２５􀅰山西吕梁二模)已知函数f(x)＝alnx－ ２x－a ２ x (a≠０)． (１)当a＝１时,求f(x)的单调区间和极值; (２)求f(x)在区间(０,１]上的最大值． 解:(１)当a＝１时,f(x)＝lnx－２x－１x ,x∈(０,＋∞), 则 f′ (x)＝ １x － ２ ＋ １ x２ ＝ －２x ２＋x＋１ x２ ＝－ (２x＋１)(x－１) x２ , 解－(２x＋１)(x－１)＝０,可得x＝１,或x＝－１２ (舍),所以当０＜x＜１时,f′(x)＞０,函数f(x)单 调递增, 当x＞１时,f′(x)＜０,函数f(x)单调递减, 故函数f(x)的单调递增区间是(０,１],单调递减区 间是(１,＋∞),所以函数f(x)的极大值为f(１)＝ －３,没有极小值． (２)由题意得f′(x)＝ax－２＋ a２ x２ ＝－２x ２－ax－a２ x２ ＝－ (x－a)(２x＋a) x２ ． 若a≥１,当x∈(０,１]时,f′(x)≥０,f(x)在区间 (０,１]上单调递增, 此时f(x)的最大值为f(１)＝－２－a２; 若０＜a＜１,当x∈(０,a)时,f′(x)＞０,f(x)单调 递增, 当x∈(a,１]时,f′(x)＜０,f(x)单调递减, 此时f(x)的最大值为f(a)＝alna－３a; 若－２＜a＜０,则０＜－a２＜１ ,当x∈ ０,－a２ æ è ç ö ø ÷ 时, f′(x)＞０,f(x)单调递增, 当x∈ －a２ ,１æ è ç ] 时,f′(x)＜０,f(x)单调递减, 此时f(x)的最大值为f －a２ æ è ç ö ø ÷＝aln －a２ æ è ç ö ø ÷＋３a; 若a≤－２,则－a２≥１ ,当x∈(０,１]时,f′(x)≥０, f(x)在区间(０,１]上单调递增, 此时f(x)的最大值为f(１)＝－２－a２． 综上可得,f(x)max＝ －２－a２,a≤－２或a≥１, alna－３a,０＜a＜１, aln －a２ æ è ç ö ø ÷＋３a,－２＜a＜０． ì î í ï ï ï ï 　　　　利用导数研究生活中的优化问题 [典例]　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两 端均为半球形,按照设计要求,容器的容积为８０π ３ 立 方米,且l≥２r．假设该容器的建造费用仅与其表面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８􀅰 高考总复习　数学(BS) 积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为３千 元,半球形部分每平方米建造费用为c(c＞３)千元, 设该容器的建造费用为y千元． (１)写出y关于r 的函数表达式,并求该函数的定 义域; (２)求该容器的建造费用最小时的r． [思维导引]　(１)建造费用＝表面积×单价,用r 把l表示出来,再由l≥２r得到r的取值范围,即函 数y的定义域;(２)利用导数求该容器的建造费用 最小时的r． [解]　(１)设容器的容积为V,由题意知 V＝πr２l＋４３πr ３,又V＝８０π３ ,故l＝ V－４３πr ３ πr２ ＝８０ ３r２ －４３r＝ ４ ３ ２０ r２ －ræ è ç ö ø ÷．由于l≥２r, 因此４ ３ ２０ r２ －ræ è ç ö ø ÷≥２r, 整理得４０ r２ ≥５r,故０＜r≤２．所以建造费用 y＝２πrl×３＋４πr２c＝２πr×４３ ２０ r２ －ræ è ç ö ø ÷×３＋４πr２c． 因此y＝４π(c－２)r２＋１６０πr ,０＜r≤２． (２)由(１)得y′＝８π(c－２)r－１６０πr２ ＝８π (c－２) r２ r３－ ２０c－２ æ è ç ö ø ÷,０＜r≤２． 由于c＞３,所以c－２＞０, 当r３－ ２０c－２＝０ 时,r＝ ３ ２０ c－２． 令 ３ ２０ c－２＝m ,则m＞０, 所以y′＝８π (c－２) r２ (r－m)(r２＋rm＋m２)． ①当０＜m＜２,即c＞９２ 时,当r＝m 时,y′＝０; 当r∈(０,m)时,y′＜０;当r∈(m,２)时,y′＞０． 所以r＝m 是函数y 的极小值点,也是最小值点． ②当m≥２,即３＜c≤９２ 时, 当r∈(０,２]时,y′＜０,函数单调递减, 所以r＝２是函数y的最小值点． 综上所述,当３＜c≤９２ ,建造费用最小时r＝２; 当c＞９２ ,建造费用最小时r＝ ３ ２０ c－２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (１)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际 问题的 数 学 模 型,写 出 相 应 的 函 数 关 系 式 y＝f(x)． (２)求导数f′(x),解方程f′(x)＝０． (３)判断使f′(x)＝０的点是极大值点还是极小 值点． (４)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题 中作答．一般地,对于实际问题,若函数在给定 的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最 值点． (２０２５􀅰绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验 表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售 价格x(单位:元/千克)满足关系式y＝ ax－３＋ １０(x－６)２,其中３＜x＜６,a为常数．已知销售价格 为５元/千克时,每日可售出该商品１１千克． (１)求a的值; (２)若该商品的成本为３元/千克,试确定销售价格 x的值,使 商 场 每 日 销 售 该 商 品 所 获 得 的 利 润 最大． 解:(１)因为x＝５时,y＝１１,所以a２＋１０＝１１ , 即a＝２． (２)由(１)可知,该商品每日的销售量为y＝ ２x－３＋ １０(x－６)２(３＜x＜６)．所以商场每日销售该商品所 获得的利润为f(x)＝(x－３) ２x－３＋１０ (x－６)２[ ] ＝２＋１０(x－３)(x－６)２(３＜x＜６)． 从而f′(x)＝１０[(x－６)２＋２(x－３)(x－６)] ＝３０(x－４)(x－６)． 于是,当 x 变 化 时,f′(x),f(x)的 变 化 情 况 如 下表: x (３,４) ４ (４,６) f′(x) ＋ ０ － f(x) 单调递增 极大值４２ 单调递减 由上表可得,x＝４时,函数f(x)在区间(３,６)内的 极大值点,也是最大值点．所 以 当x＝４时,函 数 f(x)取得最大值,且最大值等于４２．所以当销售价 格为４元/千克时,商场每日销售该商品所获得的 利润最大． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用