2.4 幂函数与二次函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

[解析]　以A 点为中心 滚动 时,B 点 轨 迹 为 以 (－２,０)为圆心,２为半径 的１ ４ 圆弧; 当以D 点为中心滚动时,B 点轨迹为以(０,０)为圆 心,２ ２为半径的１４ 圆弧; 当以C 点为中心滚动时,B 点轨迹为以(２,０)为圆 心,２为半径的１４ 圆弧; 当以B 点为中心滚动时,B 点不动,然后周期循环, 周期为８． 画出函数图象,如图所示, g(０)＝f(０)－２ ２＝０,g(８)＝f(８)－２ ２＝f(０) －２ ２＝０,A正确; 根据图象和周期知B正确; 函数y＝f(x)在[０,２]上单调递减,故在[－８,－６] 上单调递减,C错误; 取x＝－２,易知f(２)≠－ １f(－２) ,故D错误． [答案]　AB [例１０]　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x) ＝－f(４－x),且f(x＋１)＝f(１－x),则 (　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的图象关于x＝２对称 C．f(x＋２)为偶函数 D．f(x)是周期为４的函数 [解析]　因为f(x＋１)＝f(１－x),所以f(x)关于 x＝１对称． 因为f(x)＝－f(４－x),所以f(x＋２)＝－f(２－x), 所以f(x)关于点(２,０)对称． 对于A,由点(２,０)关于x＝１的对称点为(０,０),(２,０) 为f(x)的对称中心,且f(x)关于x＝１对称,所以 (０,０)为f(x)的对称中心,即f(－x)＝－f(x),所以 f(x)为奇函数．故A正确; 对于B,因为f(x)＝－f(４－x),所以f(x＋２)＝－f(２ －x),f(２＋x)＝f(２－x)未必成立,所以f(x)的图象 不一定关于x＝２对称,故B错误; 对于C,因为f(x)＝－f(４－x),令x＋２代换x,得到 f(x＋２)＝－f(２－x)．① 对于f(x＋１)＝f(１－x),令x＋１代 换x,得 到 f(x＋２)＝f(－x)．② 由①②得f(－x)＝－f(２－x),令－x 代换x,得 到f(x)＝－f(２＋x), 与②结合得f(x＋２)＝f(－x)＝－f(x), 所以f(x＋２)为奇函数,故C错误; 对于D,对于f(x＋１)＝f(１－x),令x－１代换x,得到 f(x)＝f(２－x), 又因为f(x)＝－f(４－x),所以f(２－x)＝－f(４－x), 令２－x代换x,得到f(x)＝－f(２＋x), 令x－２代换x,得到f(x－２)＝－f(x), 所以f(x－２)＝f(x＋２), 令x＋２代换x,得到f(x)＝f(x＋４),即f(x)是 周期为４的函数．故D正确． [答案]　AD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数的 四大性质,在高考中常常将它们综合到一起命题, 解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周 期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转 化,再利用单调性解决相关问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第４节　幂函数与二次函数 ★[课程标准] １．通过具体事例,了解幂函数及其图象的变化规律． ２．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 　　　　　　　　学生用书　P２７ １．幂函数 (１)幂函数的定义 一般地,形如y＝xα(α为常数)的函数,即底数是 自变量,指数是常数的函数称为幂函数． (２)常见的５种幂函数的图象 (３)常见的５种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x２ y＝x３ y＝x １ ２ y＝x－１ 定义域 R R R [０,＋∞) {x|x≠０} 值域 R [０,＋∞) R [０,＋∞) {y|y≠０} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R 上单 调递 增 在(－∞, ０]上单调 递 减,在 [０,＋∞) 上单调 递增 在R上 单调 递增 在[０,＋∞) 上单调 递增 在(－∞, ０)和 (０, ＋∞)上 单调递减 公共点 (１,１) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．二次函数 (１)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０)． 顶点式:f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０),顶点坐标为 (m,n)． 零点式:f(x)＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０),x１,x２ 为f(x)的零点． (２)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax ２＋ bx＋c(a＞０) f(x)＝ax２＋ bx＋c(a＜０) 图象 定义域 (－∞,＋∞) (－∞,＋∞) 值域 ４ac－b ２ ４a ,＋∞[ öø÷ －∞, ４ac－b２ ４a æ è ç ] 单调性 在 －∞,－b２a æ è ç ] 上 单 调递减; 在 －b２a ,＋∞[ öø÷ 上 单 调递增 在 －∞,－b２a æ è ç ] 上单调递增; 在 －b２a ,＋∞[ öø÷ 上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－b２a 对称 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法 如下 ①当α＜０时,其图象可类似y＝x－１画出; ②当０＜α＜１时,其图象可类似y＝x １ ２画出; ③当α＞１时,其图象可类似y＝x２ 画出． ２．关于x的一元二次不等式恒成立的条件 (１)“ax２＋bx＋c＞０(a≠０)在 R上恒成立”的充要条 件是“a＞０,且Δ＜０”． (２)“ax２＋bx＋c＜０(a≠０)在 R上恒成立”的充要条 件是“a＜０,且Δ＜０”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝２x １ ２是幂函数． (　　) (２)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定 是原点． (　　) (３)当n＜０时,幂函数y＝xn 是定义域上的减 函数． (　　) (４)二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０),x∈[m,n]的 最小值一定是４ac－b ２ ４a ． (　　) (５)关于x的不等式ax２＋bx＋c＞０恒成立的充要 条件是 a＞０, b２－４ac＜０．{ (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)× ◆[小题查验] １．若幂函数的图象经过点 ２,１４ æ è ç ö ø ÷,则它的单调递增 区间是 (　　) A．(０,＋∞)　　　　　B．[０,＋∞) C．(－∞,＋∞) D．(－∞,０) 解析:D　[设f(x)＝xα,则２α＝１４ ,α＝－２,即f(x) ＝x－２,它是偶函数,单调递增区间是(－∞,０)．] ２．下面给出４个幂函数的图象,则图象与函数对应 的是 (　　) A．①y＝x １ ３,②y＝x２,③y＝x １ ２,④y＝x－１ B．①y＝x３,②y＝x２,③y＝x １ ２,④y＝x－１ C．①y＝x２,②y＝x３,③y＝x １ ２,④y＝x－１ D．①y＝x １ ３,②y＝x １ ２,③y＝x２,④y＝x－１ 解析:B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于 １,排除A,D．图象②中幂函数是偶函数,幂指数必 为正偶数,排除C．] ３．已知函数f(x)＝ax２＋x＋５的图象在x 轴上方, 则a的取值范围是 (　　) A．０,１２０ æ è ç ö ø ÷ B．－∞,－１２０ æ è ç ö ø ÷ C．１２０ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ D．－１２０ ,０æ è ç ö ø ÷ 解析:C　[由 题 意 知 a＞０ , Δ＜０{ 即 a＞０, １－２０a＜０,{ 解 得 a＞１２０． ] ４．在函数f(x)＝ax２＋bx＋c中,若a,b,c成等比数 列且f(０)＝－４,则f(x)有最　　　 　值(填“大” 或“小”),且该值为　　　　 　． 解析:由已知得,f(０)＝c＝－４,a,b,c成等比数列, b２＝ac＝－４a,a＜０, 所以,f(x)＝ax２＋bx＋c有最大值, 最大值为４ac－b ２ ４a ＝ ４ac－ac ４a ＝ ３ ４c＝－３． 答案:大　－３ ５．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x２－ x＋a(a＞０),若f(m)＜０,则f(m－１)　　０(填 “＞”“＜”或“＝”)． 解析:f(x)＝x２－x＋a图象的对称轴为直线x＝ １ ２ ,且f(１)＞０,f(０)＞０, 而f(m)＜０,∴m∈(０,１),∴m－１＜０, ∴f(m－１)＞０． 答案:＞ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 　　　　　　　　学生用书　P２９ 　　　幂函数的图象与性质 １．(２０２５􀅰全国模拟)已知幂函数 y＝x p q (p,q∈Z且p,q互质) 的图象关于y 轴对称,如图所 示,则 (　　) A．p,q均为奇数,且pq＞０ B．q为偶数,p为奇数,且pq＜０ C．q为奇数,p为偶数,且pq＞０ D．q为奇数,p为偶数,且pq＜０ 解析:D　[因函数y＝x p q 的图象关于y 轴对称,于 是得函数y＝x p q 为偶函数,即p为偶数, 又函数y＝x p q 的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),且 在(０,＋∞)上单调递减,则有pq＜０ , 又因p,q互质,则q为奇数,所以只有选项D正确．] ２．(２０２５􀅰河南濮阳模拟)设a＝ln０．３５ln０．５３ ,b＝０．３５０．５３, c＝０．５３０．３５,则 (　　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 解析:D　[由a＝ln０．３５ln０．５３＝log０．５３０．３５＞ log０．５３０．５３＝１, ∵y＝０．３５x,y＝０．５３x 在R上单调递减, y＝x０．３５在(０,＋∞)上单调递增, ∵０．３５０．５３＜０．３５０．３５＜０．５３０．３５＜０．５３０＝１, ∴a＞c＞b．] ３．如图是幂函数y＝xm 与y＝xn 在第一象限内的图 象,则 (　　) A．－１＜n＜０＜m＜１　　B．n＜－１,０＜m＜１ C．－１＜n＜０,m＞１ D．n＜－１,m＞１ 解析:B　[如图,作直线x＝２,y＝x, 直线x＝２与各幂函数的图象及y＝x 的图象的交 点的纵坐标分别为２n,２－１,２m,２１, 从图中可观察得２n＜２－１＜１＜２m＜２１, 由指数函数y＝２x 在R上是增函数,可得n＜－１, ０＜m＜１．] ４．(２０２５􀅰北京模拟)已知函数f(x)＝(m２－m－５)􀅰 xm ２－６是幂函数,对任意x１,x２∈(０,＋∞),且x１≠x２, 满足f (x１)－f(x２) x１－x２ ＞０,若a,b∈R,且a＋b＞０,则 f(a)＋f(b)的值 (　　) A．恒大于０ B．恒小于０ C．等于０ D．无法判断 解析:A　[∵函数f(x)＝(m２－m－５)xm ２－６是幂 函数,∴m２－m－５＝１,解得m＝－２或m＝３． ∵对 任 意 x１,x２∈(０,＋ ∞),且 x１≠x２,满 足 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０, ∴函数f(x)在(０,＋∞)为增函数,∴m２－６＞０, ∴m＝３(m＝－２舍去), ∴f(x)＝x３ 为增函数．对任意a,b∈R,且a＋b＞０, 则a＞－b,∴f(a)＞f(－b)＝－f(b), ∴f(a)＋f(b)＞０．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．幂函数的解析式 y＝xα(α∈R),其中只有参数α,因此只需一个条 件即可确定其解析式． ２．幂函数的图象特征 ①在(０,１)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠 近x轴(简记为“指大图低”),在(１,＋∞)上,幂 函数中指数越大,函数图象越远离x轴．②曲线在 第一象限的凹凸性:α＞１时,曲线下凸;０＜α＜１时, 曲线上凸;α＜０时,曲线下凸． ３．幂函数的性质 (１)若α为偶数,则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数; 若α为奇数,则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数． 反之,不成立．当α是分数时,一般将其先化为 根式,再判断奇偶性． (２)若幂函数y＝xα 在(０,＋∞)上单调递增,则 α＞０;若在(０,＋∞)上单调递减,则α＜０． ４．幂值大小的比较 结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调 性进行比较． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 高考总复习　数学(BS) 　　　　二次函数的图象与性质(多维探究) ▶[命题点１]　二次函数的图象 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．已知函数y＝ax２＋bx＋c,如果a＞b＞c且a＋b＋c ＝０,则它的图象可能是 (　　) 解析:A　[由题意,函数y＝ax２＋bx＋c, 因为a＋b＋c＝０,令x＝１,可得y＝a＋b＋c＝０,即 函数图象过点(１,０), 又由a＞b＞c,可得a＞０,c＜０,所以抛物线的开口 向上,可排除B、D项, 令x＝０,可得y＝c＜０,可排除C项．] ▶[命题点２]　二次函数的单调性与最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰山东广饶一中模拟)已知函数f(x)＝x２－ ２ax－３． (１)已知f(x)在[３,＋∞)上单调递增,求a的取值 范围; (２)求f(x)在[－１,２]上的最小值． 解:(１)由函数f(x)＝x２－２ax－３,可得f(x)的图 象开口向上,且对称轴为x＝a, 要使得f(x)在[３,＋∞)上单调递增,则满足a≤３, 所以a的取值范围为(－∞,３]． (２)由函数f(x)＝x２－２ax－３,可得f(x)的图象 开口向上,且对称轴为x＝a, 当a＜－１时,函数f(x)在[－１,２]上单调递增,所 以f(x)的最小值为f(－１)＝２a－２; 当－１≤a≤２时,函数f(x)在[－１,a]上单调递 减,在[a,２]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(a)＝－a２－３; 当a＞２时,函数f(x)在[－１,２]上单调递减,所以 f(x)的最小值为f(２)＝１－４a, 综上可得,f(x)在[－１,２]上的最小值为f(x)min ＝ ２a－２,a＜－１, －a２－３,－１≤a≤２, １－４a,a＞２． ì î í ïï ï ◉[引申探究] 本题条件不变,求f(x)在[－１,２]上的最大值． 解:由函数f(x)＝x２－２ax－３,可得f(x)的图象 开口向上,且对称轴为x＝a, 当a＜－１时,函数f(x)在[－１,２]上单调递增,所 以f(x)的最大值为f(２)＝１－４a; 当－１＜a≤１２ 时,函数f(x)的最大值为f(２) ＝１－４a; 当１ ２＜a≤２ 时,函数f(x)的最大值为f(－１) ＝２a－２; 当a＞２时,函数f(x)在[－１,２]上单调递减,所以 f(x)的最大值为f(－１)＝２a－２． 综上,当a≤１２ 时,函数f(x)的最大值为f(２)＝ １－４a;当a＞１２ 时,f(x)的最大值为f(－１)＝２a－２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 二次函数求最值问题,一般先用配方法化为y＝ a(x－m)２＋n的形式,得顶点(m,n)和对称轴方 程x＝m,结合二次函数的图象求解．常见有三种 类型: (１)顶点固定,区间也固定; (２)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要 讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间 之外; (３)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参 数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明 确函数的单调性,从而确定函数的最值． ▶[命题点３]　二次函数中恒成立问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．已知正实数x,y满足２x＋３y＝１,且tx２－y２≥x－y 对任意x,y恒成立,则实数t的最小值是　　　　　． 解析:依题意, x＞０, y＝１－２x３ ＞０ ,{ 解得０＜x＜１２, 则１ x＞２ , 由tx２－y２≥x－y,得t≥x－y＋y ２ x２ , 其中x－y＋y ２ x２ ＝ x－１－２x３ ＋ １－２x ３ æ è ç ö ø ÷ ２ x２ ＝１１x－２＋４x ２ ９x２ ＝－２９ １ x æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１１９× １ x＋ ４ ９ , ① 则当１ x＝－ １１ ９ －４９ ＝１１４ 时①式取得最大值－２９× １１ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１１９× １１ ４＋ ４ ９＝ １７ ８ ,所以t的最小值是１７８． 答案:１７ ８ ４．(２０２５􀅰烟台模拟)已知函数f(x)＝－x２＋２x＋１, x∈[０,２],函数g(x)＝ax－１,x∈[－１,１],对于任 意x１∈[０,２],总存在x２∈[－１,１],使得g(x２)＝ f(x１)成立,则实数a的取值范围是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 A．(－∞,－３] B．[３,＋∞) C．(－∞,－３]∪[３,＋∞) D．(－∞,－３)∪(３,＋∞) 解析:C　[因为f(x)＝－(x－２)２＋２,x∈[０,２], 所以 f(x)min＝f(０)＝１, f(x)max＝f(２)＝２,{ 即f(x)的值域为[１,２], 因为对于任意x１∈[０,２],总存在x２∈[－１,１],使 得g(x２)＝f(x１)成立, 所以f(x)的值域为[１,２]是g(x)在[－１,１]上值 域的子集, 当a＞０时,g(x)在[－１,１]上为增函数,所以g(－１) ≤g(x)≤g(１),所以g(x)∈[－a－１,a－１], 所以 －a－１≤１, a－１≥２,{ 解得a≥３, 当a＜０时,g(x)在[－１,１]上为减函数,所以g(１) ≤g(x)≤g(－１),所以g(x)∈[a－１,－a－１], 所以 a－１≤１, －a－１≥２,{ 解得a≤－３, 综上,实数a的取值范围是(－∞,－３]∪[３,＋∞)．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (１)一般有两个解题思路:一是分离参数求解;二是 构造函数,数形结合求解． (２)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至 于用哪种方法,关键是看参数是否能分离．这两 个思 路 的 依 据 是:a≥f(x)恒 成 立 ⇔a≥ f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min． 　　　　二次函数零点的分布问题 [典例]　关于x的方程ax２－２(a＋１)x＋a－１＝０, 求a为何值时? (１)方程有一正根一负根; (２)方程两根都大于１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[破题关键点]　构造函数f(x)＝ax２－２(a＋１)x ＋a－１,借助于二次函数的图象与性质,列出不等 式组进行求解． [解]　令f(x)＝ax２－２(a＋１)x＋a－１． (１)方程有一正一负根时,f(x)对应的图象只有如 图①,②两种情况． 因此f(x)＝０有一正一负根等价于 a＞０, f(０)＜０{ 或 a＜０, f(０)＞０,{ 解得０＜a＜１． 所以０＜a＜１时,方程有一正一负根． (２)方程两根都大于１时,f(x)对应的图象只有如 图③,④两种情况． 因此f(x)＝０两根都大于１等价于 a＞０, Δ＞０, ２(a＋１) ２a ＞１ , f(１)＞０ ì î í ï ï ï ï ï ï 或 a＜０, Δ＞０, ２(a＋１) ２a ＞１ , f(１)＜０, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得a∈⌀． 所以不存在实数a,使方程两根都大于１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解决有关根的分布问题应注意以下几点 (１)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题． (２)结合草图考虑四个方面:①Δ与０的大小;②对 称轴与所给端点值的关系;③端点的函数值与 零的关系;④开口方向． (３)写出由题意得到的不等式． (４)由得到的不等式去验证图象是否符合题意． 这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体 现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时 要注意条件的完备性． ◉[互动探究] 本例已知条件不变,求a为何值时? (１)方程有唯一实根; (２)方程一根大于１,一根小于１． 解:(１)令f(x)＝ax２－２(a＋１)x＋a－１． 当a＝０时,方程变为－２x－１＝０,即x＝－１２ ,符 合题意; 当a≠０时,Δ＝４(a＋１)２－４a(a－１)＝０, ∴a＝－１３． 所以当a＝０或－１３ 时,方程有唯一实根． (２)因为方程有一根大于１,一根小于１． f(x)大致图象如图⑤,⑥． 所以必须满足 a＞０, f(１)＜０{ 或 a＜０, f(１)＞０．{ 解得a＞０． 所以当a＞０时,方程有一根大于１,一根小于１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 高考总复习　数学(BS)