2.1 函数的概念及其表示-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第１节　函数的概念及其表示 ★[课程标准] １．通过实例,体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域． ２．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． ３．通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P１７ １．函数的定义及相关概念 (１)函数定义:给定实数集R中的两个非空数集A 和 B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A 中的 每一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数y 和 它对应,那么就把对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数．记作y＝f(x),x∈A． (２)相关概念:集合A 称为函数的定义域,x称为自变 量;与x值对应的y 值称为函数值,集合{f(x)|x ∈A}称为函数的值域． (３)同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对 应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值 相同,那么这两个函数是同一个函数． ２．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． ３．分段函数 若函数y＝f(x),x∈A,根据自变量x在A 中不同 的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函 数为分段函数．分段函数虽由几个部分组成,但它 表示的是一个函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有０ 个或１个交点． ２．函数定义域的基本要求 (１)分式函数中分母不等于零． (２)偶次根式函数的被开方式大于或等于０． (３)y＝x０ 的定义域是{x|x≠０}． (４)对数型函数的真数大于０． ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有２个 交点． (　　) (２)函数f(x)＝x２－２x 与g(t)＝t２－２t是同一 函数． (　　) (３)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函 数是相等函数． (　　) (４)f(x)＝|x|x 与g(x)＝ １(x≥０), －１(x＜０){ 表示同一 函数． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ◆[小题查验] １．(多选)下列四个图象中,是函数图象的是 (　　) 解析:ACD　[根据函数的定义,一个自变量值对应 唯一一个函数值,或者多个自变量值对应唯一一个 函数值,显然只有B不满足．] ２．(BSD必修第一册P５７习题２－２A组T４ 改编)下列 函数中,与函数y＝x＋１是同一个函数的是(　　) A．y＝(x＋１)２ B．y＝ ３ x３＋１ C．y＝x ２ x＋１ D．y＝ x ２＋１ 答案:B ３．(２０２５􀅰吉林模拟)已知f(x)＝ ２x－１,x＜１, x ２ ,x≥１,{ 若 f(a)＝１,则实数a的值为 (　　 ) A．１　　　B．４　　　C．１或４　　　D．２ 解析:B　[当a＜１时,f(a)＝２a－１＝１,则a－１＝０, 解得a＝１(舍去);当a≥１时,f(a)＝ a２＝１ ,则 a ＝２,解得a＝４．] ４．函数f(x)＝ ３x x＋４ ＋ １６－x２的定义域是　　　　． 答案:(－４,４] ５．(忽视变量的范围致误)已知f (x)＝x－１,则 f(x)＝　　　　　　． 解析:令t＝ x,则t≥０,x＝t２,所以f (t)＝t２－１ (t≥０),即f(x)＝x２－１(x≥０)． 答案:x２－１(x≥０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 　　　　　　　　学生用书　P１８ 　　　函数的定义域 ▶[命题点１]　求给定函数解析式的定义域 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函 数 y＝ lg (２－x) １２＋x－x２ ＋(x－１)０ 的 定 义 域 是 　　　　． 解析:由 ２－x＞０, １２＋x－x２＞０, x－１≠０, ì î í ïï ï 得 x＜２, －３＜x＜４, x≠１, { 所以－３＜ x＜２且x≠１,故所求函数的定义域为{x|－３＜x＜２ 且x≠１}． 答案:{x|－３＜x＜２且x≠１} ２．(２０２５􀅰 全国模拟)函 数 y＝ log５(１－２sinx) －π２≤x≤ π ２ æ è ç ö ø ÷的定义域是 (　　) A．－π２ ,０[ ] B．－π２, π ６[ ö ø ÷ C．－π２ ,０[ öø÷ D．－ π ２ ,π ６[ ] 解析:A　[由题意,得 １－２sinx＞０, log５(１－２sinx)≥０, －π２≤x≤ π ２ , ì î í ï ï ï ï 则 sinx＜１２ , １－２sinx≥１, －π２≤x≤ π ２ , ì î í ï ïï ï ï 即 sinx≤０, －π２≤x≤ π ２ ,{ ∴x∈ －π２ ,０[ ]．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)已知函数的解析式求定义域,构建使解析式有 意义的不等式(组)求解．如果所给解析式较复 杂,切记不要化简后再求定义域． (２)所求定义域须用集合或区间表示． (３)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又 要考虑实际问题的要求． ▶[命题点２]　求抽象函数的定义域 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(２０２５􀅰江苏模拟)若函数f(x)的定义域 为[－１,２],则函数g(x)＝f (x－２) x－１ 的定义域是 (　　) A．[１,４] B．(１,４] C．[１,２] D．(１,２] [解析]　由于函数f(x)的定义域为[－１,２],对于 函数g(x)＝f (x－２) x－１ ,有 －１≤x－２≤２ , x－１＞０,{ 解得１＜ x≤４．因此函数g(x)＝f (x－２) x－１ 的定义域是(１,４]． [答案]　B ◉[互动探究] 若将本例改为“已知函数y＝f(x２－４)的定义域是 [－１,５]”,则函数y＝f(２x＋１)的定义域为　　　　． 解析:y＝f(x２－４)的定义域是[－１,５], 则x２－４∈[－４,２１], 即函数f(x)的定义域为[－４,２１], 令２x＋１∈[－４,２１],解得x∈ －５２ ,１０[ ]． 则函数y＝f(２x＋１)的定义域为 －５２ ,１０[ ]． 答案:－５２ ,１０[ ] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求抽象函数的定义域的策略 (１)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函 数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出; (２)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域． ▶[命题点３]　已知定义域确定参数问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　(１)(多选)若函数y＝ ax＋１ 在区间[－２, －１]上有意义,则实数a可能的取值是 (　　) A．－１ B．１ C．３ D．５ [解析]　函数y＝ ax＋１ 在区间[－２,－１]上有意 义,等价于a x＋１≥０ 在区间[－２,－１]上恒成立, 由x＜０,得a≤－x在区间[－２,－１]上恒成立,所 以a≤１． [答案]　AB (２)当x∈ １２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 时,函数f(x)＝ １ ２ax－lnx 和g(x)＝log２[２x２－(２a＋３)x＋２]有意义,则实 数a的取值范围是　　　　　　　． [解析]　由题意知,当x∈ １２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 时,不等式组 ２ax－lnx＞０, ２x２－(２a＋３)x＋２＞０{ 成立． 对于２ax－lnx＞０,整理得２a＞lnxx , 令h(x)＝lnxx ,则h′(x)＝１－lnx x２ , 当x∈ １２ ,eæ è ç ] 时,h′(x)＞０,h(x)单调递增; x∈(e,＋∞)时,h′(x)＜０,h(x)单调递减,所以 h(x)max＝h(e)＝ １ e ,则２a＞１e ,解得a＞１２e ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 对于２x２－(２a＋３)x＋２＞０,整理得２a＋３２ ＜x＋ １ x ,由于G(x)＝x＋１x 在 １ ２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 上的最小值为 G(１)＝２,所以２a＋３２ ＜２ ,解得a＜１２． 综上可得１ ２e ＜a＜１２． [答案]　 １２e ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (１)调整思维方向,根据已知函数,将给出的定义域 问题转化为方程或不等式的解集问题; (２)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值 或范围． １．已知f(２x)的定义域是[－１,１],则f(log２x)的定义 域为　　　　． 解析:由已知x∈[－１,１],所 以２x∈ １２ ,２[ ],故 f(x)的定义域为 １２ ,２[ ],所以在函数y＝f(log２x) 中,１ ２≤log２x≤２ ,即log２ ２≤log２x≤log２４,所以 ２≤x≤４,故f(log２x)的定义域为[２,４]． 答案:[２,４] ２．记函数f(x)＝ ２－x＋３x＋１ 的定义域为 A,g(x)＝ lg[(x－a－１)(２a－x)](a＜１)的定义域为B． 若B⊆A,则实数a的取值范围为　　　　． 解析:由已知得A＝{x|x＜－１或x≥１}, B＝{x|(x－a－１)(x－２a)＜０}, 由a＜１,得a＋１＞２a,∴B＝{x|２a＜x＜a＋１}． ∵B⊆A,∴a＋１≤－１或２a≥１, ∴a≤－２或１２≤a＜１． ∴a的取值范围为a≤－２或１２≤a＜１． 答案:(－∞,－２]∪ １２ ,１[ öø÷ 　　　求函数的解析式 [典例]　求下列函数的解析式: (１)已知f(１－sinx)＝cos２x,求f(x)的解析式; (２)已知f x＋１x æ è ç ö ø ÷＝x２＋１ x２ ,求f(x)的解析式; (３)f(x)是一次函数,且满足f(f(x))＝４x－３,求 f(x)的解析式; (４)已知f(x)满足２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x,求f(x)的 函数解析式． [解]　(１)(换元法)设１－sinx＝t,t∈[０,２], 则sinx＝１－t,∵f(１－sinx)＝cos２x＝１－sin２x, ∴f(t)＝１－(１－t)２＝２t－t２,t∈[０,２]． 即f(x)＝２x－x２,x∈[０,２]． (２)(配凑法)∵fx＋１x æ è ç ö ø ÷＝x２＋１ x２ ＝ x＋１x æ è ç ö ø ÷ ２ －２, ∴f(x)＝x２－２,x∈(－∞,－２]∪[２,＋∞)． (３)(待定系数法)因为f(x)是一次函数, 所以设f(x)＝kx＋b(k≠０), 所以f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k２x＋kb＋b, 又因为f(f(x))＝４x－３, 所以k２x＋kb＋b＝４x－３, 故 k２＝４, kb＋b＝－３,{ 解得 k＝２, b＝－１{ 或 k＝－２, b＝３,{ 所以f(x)＝２x－１或f(x)＝－２x＋３． (４)(方程组法)将１x 代入２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x, 得２f １x æ è ç ö ø ÷＋f(x)＝３x ,因此 ２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x, ２f １x æ è ç ö ø ÷＋f(x)＝３x , ì î í ï ï ïï 解得f(x)＝２x－１x (x≠０)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 函数解析式的求法 (１)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x),可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替 代g(x),便得f(x)的解析式; (２)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数),可用待定系数法; (３)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用 换元法,此时要注意新元的取值范围; (４)消去法:已知关于f(x)与f １x æ è ç ö ø ÷ 或f(－x)的 表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等 式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． １．(２０２５􀅰贵州安顺市月考)已知函数f(x)满足 f(cosx－１)＝cos２x－１,则f(x)的解析式为 (　　) A．f(x)＝２x２＋４x(－２≤x≤０) B．f(x)＝２x２＋４x(x∈R) C．f(x)＝２x－１(－２≤x≤０) D．f(x)＝２x－１(x∈R) 解析:A　[函数f(x)满足f(cosx－１)＝cos２x－１ ＝２cos２x－１－１＝２cos２x－２, 设cosx－１＝t,则cosx＝t＋１, 由cosx∈[－１,１]知,t∈[－２,０], 故原函数可转化为f(t)＝２(t＋１)２－２＝２t２＋４t, t∈[－２,０], 即f(x)的解析式为f(x)＝２x２＋４x(－２≤x≤０)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．已知f(x)是二次函数且f(０)＝２,f(x＋１)－f(x) ＝x－１,求f(x)的解析式． 解:∵f(x)为二次函数, ∴f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０),∵f(０)＝c＝２, ∵f(x＋１)－f(x)＝x－１,∴２ax＋a＋b＝x－１, ∴a＝１２ ,b＝－３２ , ∴f(x)＝１２x ２－３２x＋２． ３．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为 R,f(x)＞f(x－１)＋f(x－２),且当x＜３时,f(x) ＝x,则下列结论中一定正确的是 (　　) A．f(１０)＞１００ B．f(２０)＞１０００ C．f(１０)＜１０００ D．f(２０)＜１００００ 解析:B　[由题意可知,当x＜３时,f(x)＝x,所以 可知f(１)＝１,f(２)＝２,又因为∀x∈R,f(x)＞ f(x－１)＋f(x－２),所以f(３)＞f(１)＋f(２)＝３, f(４)＞f(２)＋f(３)＞５,同理可得,f(５)＞８,f(６) ＞１３,f(７)＞２１,f(８)＞３４,f(９)＞５５,f(１０)＞８９, 􀆺f(１５)＞９８７,f(１６)＞１５９７＞１０００,􀆺􀆺,故 选B．] 　　　　分段函数及应用 ▶[命题点１]　求函数值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．(２０２５􀅰 山 东 潍 坊 模 拟)设 函 数 f (x)＝ x－３,x≥１０, f(f(x＋４)),x＜１０,{ 则f(８)＝ (　　) A．１０ B．９ C．７ D．６ 解析:C　[因为f(x)＝ x－３,x≥１０, f(f(x＋４)),x＜１０,{ 则f(８)＝f(f(１２))＝f(９)＝f(f(１３))＝f(１０) ＝７．] ２．(２０２５􀅰浙江省江山中学期中)已知a∈[－１,１], 函 数 f (x)＝ sin[２π(x－a)],x≤a, x２－２(a＋１)x＋a２,x＞a,{ 若 f(f(a))＝１,则a＝　　 　． 解析:f(f(a))＝f(０)＝１, 当０≤a≤１时,f(０)＝sin(－２πa)＝１, 得a＝－１４－k ,故a＝３４ ; 当－１≤a＜０时,f(０)＝a２＝１,故a＝－１． 答案:３ ４ 或－１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 分段函数“两种”题型的求解策略 (１)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定 相应的解析式代入求解． (２)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检 验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自 变量的取值范围． 　提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类 讨论． ▶[命题点２]　解方程问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(２０２５􀅰凉山模拟)已知函数f(x)＝ ex＋１,x＜０, ２,x≥０,{ 则方程f(１＋x ２)＝f(２x)的解集 是　　　　． [解析]　∵函数f(x)＝ ex＋１,x＜０, ２,x≥０,{ 方程f(１＋x２)＝f(２x), ∴当x＜０时,２＝e２x＋１,解得x＝０,不成立; 当x≥０时,f(１＋x２)＝f(２x)＝２,成立． ∴方程f(１＋x２)＝f(２x)的解集是{x|x≥０}． [答案]　{x|x≥０} 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 分段函数与方程问题的求解思路 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所 求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值 范围． 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类 讨论． １．(２０２５􀅰 江 苏 泰 州 模 拟)设 函 数 f (x)＝ x２＋２x,x≤０, －x２,x＞０,{ 若f(f(a))－f(a)＋２＝０,则实数 a的值为 (　　) A．２－１ B．－ ２－１ C．２＋１ D．－ ２＋１ 解析:B　[令f(a)＝t,f(f(a))－f(a)＋２＝０, 则f(t)＝t－２, ①t≤０时,t２＋２t＝t－２,则t２＋t＋２＝０无解． ②t＞０时,－t２＝t－２,∴t＝１,∴f(a)＝１, a≤０时,a２＋２a＝１,则a＝－ ２－１;a＞０时, －a２＝１无解,综上,a＝－ ２－１．] ▶[命题点３]　解不等式问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　设函数f(x)＝ x＋１,x≤０, ２x,x＞０,{ 则满足f(x)＋ f x－１２ æ è ç ö ø ÷＞１的x的取值范围是　　　　． [解析]　第一步:解x＞１２ 时,f(x)＋fx－１２ æ è ç ö ø ÷＞１ 由题意得,当x＞１２ 时,f(x)＋f x－１２ æ è ç ö ø ÷ ＝２x＋ ２x－ １ ２＞１恒成立,即x＞１２ ; 第二步:解０＜x≤１２ 时,f(x)＋f x－１２ æ è ç ö ø ÷＞１ 当０＜x≤１２ 时,f(x)＋f x－１２ æ è ç ö ø ÷＝２x＋x－１２＋１ ＞１恒成立,即０＜x≤１２ ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　主题二　第二章　函　数 第三步:解x≤０时,f(x)＋f x－１２ æ è ç ö ø ÷＞１ 当x≤０时,x＋１＋x－１２＋１＞１ ,解得x＞－１４ ,即 －１４＜x≤０． 第四步:取并集计算x的取值范围 综上x的取值范围是 －１４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷． [答案]　 －１４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 分段函数与不等式问题的求解思路:依据分段函数 的解析式,对不同范围的不同段分类讨论求解,最 后将各段结果取并集．注意每段不等式结果与本段 自变量的范围取交集得本段的最后结果． ２．(２０２５ 􀅰 河 北 模 拟 )设 函 数 f (x)＝ (x＋１)２＋２,x＜１, －２x,x≥１,{ 则不等式f(３)＋f(|x|－４)＞０的 解集为 (　　) A．(－１,１) B．(－∞,－１)∪(１,＋∞) C．(－７,７) D．(－∞,－７)∪(７,＋∞) 解析:A　[因为f(x)＝ (x＋１)２＋２,x＜１, －２x,x≥１,{ 所以 f(３)＝－６,f(－３)＝(－３＋１)２＋２＝６, 则f(３)＋f(|x|－４)＞０,即f(|x|－４)＞－f(３) ＝６＝f(－３), f(x)的函数图象如图所示: 由函数图象可知当x＞－３时,f(x)＜６且f(x)在 (－∞,－３)上单调递减,所以f(|x|－４)＞f(－３) 等价于|x|－４＜－３,即|x|＜１,解得－１＜x＜１, 即x∈(－１,１)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　函数的单调性与最值 ★[课程标准] １．借助函数的图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义． ２．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法,并能利用函数的单调性求最值． 　　　　　　　　学生用书　P２０ １．函数的单调性 (１)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D 如果对于任意的x１,x２ ∈D,当x１＜x２ 时,都有 f(x１)＜f(x２),那么就 称函数y＝f(x)是增函 数．特别地,当I是定义 域D上的一个区间时, 也称函数在区间I上单 调递增． 如果对于任意的x１,x２ ∈D,当x１＜x２ 时,都有 f(x１)＞f(x２),那么就 称函数y＝f(x)是减函 数．特别地,当I是定义 域D 上的一个区间时, 也称函数在区间I上单 调递减． 图 象 描 述 自左向右看图 象是上升的 自左向右看图 象是下降的 (２)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递 减,那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调 性．此时,区间I为函数y＝f(x)的单调区间． ２．函数的最值 (１)若存在实数 M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M, 且存在x０∈D,使得f(x０)＝M,则称 M 为函数 y＝f(x)的最大值． (２)若存在实数 M,对所有的x∈D,都有f(x)≥M, 且存在x０∈D,使得f(x０)＝M,则称 M 为函数 y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．单调性定义的推广 设∀x１,x２∈D(x１≠x２),则①x１－x２＞０(或＜０), f(x１)－f(x２)＞０(或＜０)⇔f(x)在D 上单调递 增;x１－x２＞０(或＜０),f(x１)－f(x２)＜０(或＞０) ⇔f(x)在D 上单调递减; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 高考总复习　数学(BS)