统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 考点一 条件概率 1．（2025·重庆·模拟预测）用数字、、、、组成没有重复数字的三位数组成集合，现从集合中任取一个数，它能被整除的条件下，这个数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西大同·阶段练习）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）一个盒子中装有个白球和个黑球（且），从中随机取出n个球，发现这n个球颜色相同，则这n个球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·一模）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字，，，，，.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为”，事件“两次点数的最大值为”，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机事件，．若，，，则 ． 7．（2025高三下·天津·模拟预测）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 8．（24-25高三下·安徽六安·阶段练习）随机事件A，B满足，，则＝ ． 9．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 11．（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； 12．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 13．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. (1)求甲取到的2个球颜色不相同的概率； (2)求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 14．（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率； (2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率； (3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率. 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（    ） A．28% B．32% C．35% D．40% 6．（24-25高二上·江西九江·期末·多选）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽马鞍山·一模·多选）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 10．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为 . 11．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 12．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为 ． 13．（24-25高一下·山西长治·阶段练习）两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是0.04，第二台车床出现不合格品的概率是0.08，将加工出来的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数量是第二台车床加工的零件数量的2倍． (1)求任取一个零件是合格品的概率； (2)若取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率． 14．（2025·河南驻马店·模拟预测）2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 15．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 16．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 考点三 全概率公式与数列综合 1．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率 ． 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． (1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； (2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为． ①求甲获胜的概率； ②求． 4．（2025·湖南怀化·模拟预测）已知甲、乙两个箱子中均装有1个黑球和2个白球（各球大小，质地均相同），每次操作从甲、乙两个箱子中各任取一个球交换放入另一箱子. (1)当进行1次操作后，设甲箱子中黑球个数为，求的分布列及数学期望； (2)重复次这样的操作后，记甲箱子中恰有1个黑球的概率为，求. 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 6．（2025·广西柳州·三模）某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. (1)求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； (2)求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； (3)记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 9．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 10．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练 考点一 条件概率 1．（2025·重庆·模拟预测）用数字、、、、组成没有重复数字的三位数组成集合，现从集合中任取一个数，它能被整除的条件下，这个数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除， 、、、、中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 所以，， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：B. 2．（24-25高二下·山西大同·阶段练习）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”，“第二次抽到的卡片所标数字为奇数”， 由题意得，， 所以． 故选：C 3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）一个盒子中装有个白球和个黑球（且），从中随机取出n个球，发现这n个球颜色相同，则这n个球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件A为摸出n个球颜色相同，事件B为摸出n个黑球，则 （第二个等式是因为） ，，因此 由组合数性质，故. 故选：A 4．（2024·广东深圳·一模）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字，，，，，.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为”，事件“两次点数的最大值为”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件包含，，，，，，，共7种情况， 其中只有和满足“两次点数的最大值为”，故. 故选：C. 5．（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机事件，．若，，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 7．（2025高三下·天津·模拟预测）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 【答案】 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 8．（24-25高三下·安徽六安·阶段练习）随机事件A，B满足，，则＝ ． 【答案】0.04 【详解】已知条件概率公式，已知，，将其代入公式可得： 因为事件可以拆分为与同时发生以及与同时发生这两个互斥事件的和，即. 将，代入上式可得： 故答案为：0.04. 9．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则 ， ． 【答案】 /0.375 /0.5 【详解】在4到19这16个整数中与10互质的整数有，共6个，因此； 若为整数的存在，则当时，或满足题意； 当时，满足题意；当时，满足题意； 当时，满足题意的不存在，因此， 所以. 故答案为：； 11．（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，， 由条件概率公式，； （2）由题意：，1，2. ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了个“1指向”光子”， 由（2）知：，，， 则，，， 由全概率公式，得： . 12．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. （2）设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 13．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同.甲从中任意取出1个球不放回，若取出的是红球，则往袋中加入1个红球，甲再从袋中取出1个球；若取出的是黑球，则不往袋中加入任何球，甲再从袋中取出1个球. (1)求甲取到的2个球颜色不相同的概率； (2)求在甲第二次取到红球的前提下，甲取到的2个球颜色不相同的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设第一次取到红球为事件，第二次取到红球为事件，甲取到的2个球颜色不相同为事件， 则， 因为，显然事件为互斥事件， 所以. （2）由题意可知：, , 所以. 14．（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率； (2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率； (3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，， 第一次抽到选择题的概率为，此时剩下2道选择题和2道论述题， 第二次抽到论述题的概率为； 第一次抽到论述题的概率为，此时剩下3道选择题和1道论述题，第 二次抽到论述题的概率为， 所以，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率 . （2）由（1）知，； 也可, 即第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率. （3）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以丙取出的第一道题是选择题的概率为. 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设击中次数为，则， 所以， ， 由全概率公式得，目标被摧毁的概率. 故选：C 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 3．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 4．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是随机选择一袋，所以选择第一袋和第二袋的概率均为. 第一袋中有名男生和名女生的报表，从10份报表中随机抽取份的组合数. 从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为. 所以从第一袋中抽到一男一女报表的概率为. 第二袋中有名男生和名女生的报表，从12份报表中随机抽取份的组合数为. 从名男生中选名，从名女生中选名的组合数为. 所以从第二袋中抽到一男一女报表的概率为. 设事件表示“恰好抽到男生和女生报表各份”，事件表示“选择第一袋”，事件表示“选择第二袋”. 根据全概率公式，其中，，，可得： 恰好抽到男生和女生报表各份的概率为. 故选：D. 5．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（    ） A．28% B．32% C．35% D．40% 【答案】B 【详解】由题意选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 所以等待超过15分钟的概率为， 故选：B 6．（24-25高二上·江西九江·期末·多选）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 7．（2025·安徽马鞍山·一模·多选）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意知，， ，， ，， ， . 故选：. 8．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 9．（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【答案】/0.6875 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 10．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为 . 【答案】 【详解】由题知红球、黄球、黑球个数分别为5，5，10. 记“最后打开的盒子中的球是黄球”为事件，“最后打开的盒子中的球是黑球”为事件，显然事件与互斥， 记“红球最先全部开出”为事件，则. 当事件发生时，只需考虑装红球、黑球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黑球，可得， 则. 当事件发生时，只需考虑装有红球、黄球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黄球，可得， 则， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 12．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件A：这一天他迟到，事件B：他骑共享单车去上班， 由题可知， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高一下·山西长治·阶段练习）两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是0.04，第二台车床出现不合格品的概率是0.08，将加工出来的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数量是第二台车床加工的零件数量的2倍． (1)求任取一个零件是合格品的概率； (2)若取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设表示“第台机床加工的零件” ；表示“出现不合格品”；表示“出现合格品”， 则，，， ，， 所以 ． （2）由（1）得，， . 14．（2025·河南驻马店·模拟预测）2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）方案一中，中奖三次的概率为， 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为； 方案二中，中奖三次的概率为, 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为， 因为，所以该顾客选择方案一比较合适. （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”， 由题意得， ，,， , , 所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率. 15．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 (2)应该使用软件来解决这道试题. (3)， 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 16．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 考点三 全概率公式与数列综合 1．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 2．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率 ． 【答案】 【详解】记事件次传球后球在甲手中，设， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 即，所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故. 故答案为：. 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． (1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； (2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为． ①求甲获胜的概率； ②求． 【答案】(1) (2)①；②． 【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局甲胜， 概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率为． （2）①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局： 若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为； 若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束， 根据全概率公式，，同理，，，， 由，，得， 与联立消去，得， 又，，得， 与联立消去，得， 所以甲获胜的概率为． ②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局： 若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局； 若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局， 则，即， 同理，即， ，即， ，即， ，即 联立与，得， 联立与，得， 代入，得， 所以． 4．（2025·湖南怀化·模拟预测）已知甲、乙两个箱子中均装有1个黑球和2个白球（各球大小，质地均相同），每次操作从甲、乙两个箱子中各任取一个球交换放入另一箱子. (1)当进行1次操作后，设甲箱子中黑球个数为，求的分布列及数学期望； (2)重复次这样的操作后，记甲箱子中恰有1个黑球的概率为，求. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1 (2) 【详解】（1）由题意知的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以； （2）重复次这样的操作后，记甲箱子中恰有0个黑球的概率为， 则甲箱子中恰有2个黑球的概率为，根据全概率公式可得， 当时，， ， 由（1）知， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 所以. 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】(1)0.5； (2)证明见解析； (3)第2分钟. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则，， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）依题意，，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，满足上式也满足题意，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首为，公比为的等比数列， ，而满足上式也满足题意，则， 又， 所以为等比数列. （3）由（2）知，显然不是其最大值，设， 当为奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为0； 当为偶数且时，，当时，，最大值为， 则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 6．（2025·广西柳州·三模）某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. (1)求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； (2)求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； (3)记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记事件该同学第天去餐厅，则，，， 由概率乘法公式可得. （2）由对立事件的概率公式可得， 由全概率公式可得. （3）记事件该同学第天去餐厅，则， 由题意可知，，， 由全概率公式可得， 即，则， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，，故. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 【答案】(1)0.176； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲， 所以甲以获胜的概率为. （2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件， ，，， 依题意，， 所以. （3）由（2）知，， 而，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即， 由，得，则数列递增， 所以. 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 9．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 10．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【答案】(1)， (2) (3)1 【详解】（1）根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 （2）由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 （3）由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$