立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 考点一 表面积与体积问题 1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即，故（负舍）． 故选：D． 2．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为， 又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长， 则圆锥的表面积. 故选：D. 4．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（    ） A．9：1 B．10：1 C．11：1 D．12：1 【答案】C 【详解】 如图，延长交于点D，∵， 由底面，易知, 所以， 所以，又， ∴，∴，∴， ∴D是的中点，又∵E是的中点，平面， ∴， ∴平面即平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为11：1， 故选：C. 5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，母线长分别为，高均为， 由题意可得：，即， 化简可得：， 故选：A. 6．（24-25高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（   ） A．30 cm B． C．36 cm D． 【答案】B 【详解】解：设实心铁球的半径为R，则 ，解得， 则实心铁球的体积为 ， 设正四棱台的实心铁锭的高为h， 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等， 则 ，解得 故选： 7．（2025·河北衡水·模拟预测·多选）半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的内切球半径为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球半径为3 【答案】BCD 【详解】对于A，设的中心为， 由正弦定理可得， 由球的截面性质可得平面， 所以， 所以三棱锥的体积为，故A错误； 对于B，设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可得，解得，故B正确； 对于C，当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 此时棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故C正确； 对于D，三棱锥的外接球即为球，所以半径为3，故D正确. 故选：BCD 8．（24-25高三上·山西太原·期末·多选）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹的长度为 B．的最小值为 C．三棱锥体积的最小值为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确； 对于B，又易得，所以为的中点时，， 此时，所以的最小值为，故B正确； 对于C，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时，故C错误； 因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确》 故选：ABD. 9．（24-25高三上·江苏扬州·期末·多选）已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．如图，某拟柱体的上底面的面积为，下底面的面积为，高为．该拟柱体共有6个侧面，分别为平面、平面、平面、平面、平面、平面分别是棱的中点，为六边形内一点，且六边形的面积为．则下列说法中正确的有（    ） A．三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍 B．四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 C．挖去四棱锥与六棱锥后，该拟柱体剩余部分的体积为 D．该拟柱体的体积为 【答案】BD 【详解】由题意可知且，故，故， 又,故三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，A错误， 对于B，由于互相平行，且， 故，其中为的高， 而, 故四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 由于，故四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，B正确， 对于C，由AB可知：，， 因此可知其他侧面也是相同情况，故与各个侧面得到的棱锥体积之和为 ， 由于到平面的距离均为， 故与各个侧面得到的棱锥体积之和为， 因此挖去四棱锥与六棱锥后， 该拟柱体剩余部分的体积为,C错误， 对于D，拟柱体为，D正确， 故选：BD 10．（24-25高三下·河南·开学考试）已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径与圆锥的母线长均为4，则圆锥的底面半径为 . 【答案】4 【详解】设圆锥的底面半径为，其母线长为4， 则圆锥的侧面积为，球O的表面积为， 由题意可得，故， 故圆锥的底面半径为. 故答案为：. 11．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·辽宁大连·期末）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 . 【答案】 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线， 联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为， 高为3的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为. 故答案为：. 13．（2025·湖北鄂州·一模）如图，棱长为的正方体中，平面与直线交于点. (1)证明：为的重心； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥外接球的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接、、、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，则平面， 因为平面，所以，，同理可得， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，、、平面， 则，，， 因为，则， 即，则为的外心， 易知为等边三角形，故为的重心. （2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以、、、、. 因为为的重心，故， 所以，， 设为平面的一个法向量，则， 取可得， 易知平面的一个法向量为. 所以. 因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）设球心为，由， 可得，解得，即球心为， 所以三棱锥的球心为线段中点，且外接球半径为. 故其外接球体积为. 14．（2025·江苏·一模）如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由为中点，，得， 又平面，因此面，又平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，二面角的平面角为，则， 由平面，得为与平面所成的角， 在中，，则，， 而，则，此时， 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是， 在中，，则， 所以四面体的体积. 考点二 外接球问题 1．（2025·河北秦皇岛·二模）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，点在底面内的射影在的外部，且，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，知且，底面， 若是的中点，而，则，且， 而底面，则，都在平面内，则平面， 由平面，则，又底面，则， 由，则，即， 由点在底面内的射影在的外部，则在边的外侧，如下图， 若在的另一侧，则必与的中点重合，不合题设， 由题意，该三棱锥外接球的球心在过的中点垂直于平面的直线上， 根据几何关系有，则， 所以，可得， （注意时，不成立）， 所以，外接球半径，则，故其表面积. 故选：B 2．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 3．（2025·山西吕梁·一模）在正三棱锥中，棱两两垂直，若的边，则该正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：正三棱锥是正方体的一个角，补成正方体如图所示： 正方体的对角线长是外接球的直径， 因为，所以， 则外接球直径为，所以， 所以外接球的表面积为， 故选：D 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径与球的半径都为，圆柱的高为， 则圆柱的侧面积为，球的表面积为， 则，则， 则圆柱外接球的体积为， 球的体积为，则. 故选：C. 5．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设外接圆半径为， 在中，由余弦定理，， 即，整理得， 所以，故 由正弦定理得，所以， 三棱锥的外接球的半径 三棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故选：A． 6．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 7．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 【答案】/ 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为 ，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【详解】在图1中，延长、于点，如下图所示： 因为，且，所以，， 即，，所以，，， 所以，是边长为的等边三角形， 所以，、分别为、的中点，所以，， 所以，， 易知，所以，， 翻折后，当平面平面时，点到平面的距离取最大值， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以，平面， 所以，的体积的最大值为； 记为外接球球心，半径为， 因为平面，，所以，球心到平面的距离为， 又的外接圆半径，所以，， 所以，球的表面积为， 故答案为：；. 9．（2025·陕西西安·二模）在三棱锥中，，且．记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，平面截三棱锥的外接球的截面面积为 . 【答案】 【详解】如图，过点作平面，垂足为，则， 由平面得. 在中，，在中，， ∴，故. 由，得，且. 当三点构成三角形时，，即，，， 当点在线段上时，由得，，， 此时三棱锥的高最小，体积最小. 当点在线段上时，由得，， 取线段中点，由和为直角三角形得，， 故点为三棱锥外接球的球心，外接球半径， ∵为外接球直径，平面， ∴平面截三棱锥的外接球的截面面积为. 故答案为：. 10．（2025·陕西渭南·二模）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得， 球心到底面的距离为，， 由，得，得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：.    考点三 内切球问题 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得， 故选：B. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 故，， 故圆台上底面半径： 下底面半径： 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ， 则该圆台的内切球的半径： 故内切球表面积： 故选：D 4．（2020·湖北宜昌·一模）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】球心为正方体中心，半径， 法一：连接，相交于点，点为的中点，连接， 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由平面、得：， 则截面圆半径， 所以截面面积； 法二：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以， 则到平面的距离， 截面圆半径，所以截面面积. 故选：A． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 6．（24-25高二上·湖南·开学考试）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积为. 故选：C. 7．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示， 连接和交于点， 因为，，所以，， 又和交于点，平面，所以平面ABCD， 所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等， 距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H， 所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以， 因为正八面体的棱长为4， 所以，，， 所以，， 因为，，所以， 即，所以正八面体内切球的表面积为：． 故答案为： 8．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 . 【答案】/ 【详解】设正四棱锥底面边长为，高为，底面的中心为，连接， 则，，所以， 设外接球球心为，内切球球心为，则，在上， 因为，所以， 在中，，化简得， 因为， 所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，注意到，故. 故答案为：. . 9．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，为圆台的母线长，分别为上，下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点． 则由题意可得：， ． 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为． 故答案为：． 10．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 立体几何：表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 考点一 表面积与体积问题 1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（    ） A．9：1 B．10：1 C．11：1 D．12：1 5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（   ） A．30 cm B． C．36 cm D． 7．（2025·河北衡水·模拟预测·多选）半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的内切球半径为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球半径为3 8．（24-25高三上·山西太原·期末·多选）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹的长度为 B．的最小值为 C．三棱锥体积的最小值为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 9．（24-25高三上·江苏扬州·期末·多选）已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．如图，某拟柱体的上底面的面积为，下底面的面积为，高为．该拟柱体共有6个侧面，分别为平面、平面、平面、平面、平面、平面分别是棱的中点，为六边形内一点，且六边形的面积为．则下列说法中正确的有（    ） A．三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍 B．四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 C．挖去四棱锥与六棱锥后，该拟柱体剩余部分的体积为 D．该拟柱体的体积为 10．（24-25高三下·河南·开学考试）已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径与圆锥的母线长均为4，则圆锥的底面半径为 . 11．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 12．（24-25高二上·辽宁大连·期末）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 . 13．（2025·湖北鄂州·一模）如图，棱长为的正方体中，平面与直线交于点. (1)证明：为的重心； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥外接球的体积. 14．（2025·江苏·一模）如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． (1)求证：平面平面； (2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 考点二 外接球问题 1．（2025·河北秦皇岛·二模）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，点在底面内的射影在的外部，且，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·山西吕梁·一模）在正三棱锥中，棱两两垂直，若的边，则该正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为 ，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 9．（2025·陕西西安·二模）在三棱锥中，，且．记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，平面截三棱锥的外接球的截面面积为 . 10．（2025·陕西渭南·二模）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 考点三 内切球问题 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2020·湖北宜昌·一模）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高二上·湖南·开学考试）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为 . 8．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 . 9．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 10．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$