空间向量与立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

空间向量与立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 空间向量与立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题 专项训练 考点一 异面直线所成之角（线线角） 1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 5．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 6．（24-25高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱锥中，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若底面，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 考点二 直线与平面所成之角（线面角） 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25高二下·甘肃金昌·阶段练习）如图，在长方体 中，，，. (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 4．（2025·贵州·模拟预测）如图所示，三棱柱中，，，点在线段上，四边形是正方形，平面平面． (1)当是线段的中点时，证明平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2025·山东聊城·模拟预测）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，． (1)若点为中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2025·陕西汉中·二模）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． (1)证明：平面平面． (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 考点三 平面与平面所成之角（二面角） 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在几何体中，底面是梯形，且，平面平面，是等边三角形，已知，，点M为棱上的一点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 2．（2025·贵州·二模）如图，在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是棱中点，AD的延长线与的延长线的交于点P. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的夹角的余弦值. 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，， (1)求证：平面； (2)M为线段CD的中点，求二面角的余弦值. 6．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，是线段上的动点． (1)当是线段中点时，求证：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点的位置． 考点四 空间距离问题 1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 2．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且. (1)求证：； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点D到平面PBC的距离. 4．（2025·天津和平·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 5．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 6．（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，四棱柱中，. (1)若四边形为菱形，. ①证明：平面； ②若四边形的面积为，证明：四棱柱的体积； (2)若，求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 空间向量与立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题 专项训练 考点一 异面直线所成之角（线线角） 1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知平行六面体. (1)若，求的长度； (2)若，求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题知，又， 所以, 所以. （2）令，因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.    (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为底面，， 所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，，是棱的中点， ， 则，，，，，. 则，. 所以，，. 设异面直线AE和PD所成角为， 则. （2）因为，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，取，可得，，则. 又因为， 所以点B到平面CDE的距离为. 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 5．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知，， 且，所以，则， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，且平面， 平面平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面，且， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，   ，，，， ，， ，解得：， 设，， ，，, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， ， 所以二面角的余弦值为. 6．（24-25高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱锥中，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若底面，直线与直线所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在线段上取一点，使得，连接、，如下图所示： 在中，、分别为线段、上的点，且， 所以，且， 又因为，则，即且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 由题意可得，解得， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 易知平面的一个法向量为，所以，， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 考点二 直线与平面所成之角（线面角） 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，，可得，， 因四边形为菱形，可得， 则， 所以向量，，共面， 又因为平面，且平面内， 故平面. （2）解：在平面内，作， 因为四边形是边长为2的菱形，可得 所以，且. 因为平面平面，平面平面，且， 所以平面. 以C为坐标原点，，，所在直线，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，由，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，..轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 由（1）知平面CDE的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以. 故c， 平面CDE与平面ABE夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 , 解得或. 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 3．（24-25高二下·甘肃金昌·阶段练习）如图，在长方体 中，，，. (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， . 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 因为，所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 4．（2025·贵州·模拟预测）如图所示，三棱柱中，，，点在线段上，四边形是正方形，平面平面． (1)当是线段的中点时，证明平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图1所示，连接交于，四边形是正方形，则是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为，，即，所以． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以． 因为四边形是正方形，所以． 故，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 所以，，， 因为，所以． 设是平面的一个法向量，则，即， 取，则，，得． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成的角的正弦值为． 5．（2025·山东聊城·模拟预测）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，． (1)若点为中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接， 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为，且和分别是腰和的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）解：连接，由平面，且，，，， 可得，所以，所以， 以为坐标原点，分别以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 所以， 设点，因为，即， 解得，即，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成夹角为， 则， 所以直线与平面所成夹角的正弦值为. 6．（2025·陕西汉中·二模）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线．    (1)证明：平面平面． (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以． 因为为该圆柱的母线，所以平面，平面， 所以，又，平面． 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）设点在圆柱下底面的射影为，连接． 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，，所以， 所以， ． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 由， 得与平面所成角的正弦值为． 考点三 平面与平面所成之角（二面角） 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在几何体中，底面是梯形，且，平面平面，是等边三角形，已知，，点M为棱上的一点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在，，，， 所以，即， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2） 由（1）可知，在平面内过点D作平面， 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，， 则，， 设平面的法向量, 则，即， 令，则，所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以 则， 故二面角的余弦值为. 2．（2025·贵州·二模）如图，在四棱锥中，，，，．    (1)证明：平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在四棱锥中，由，，得， 则，而，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）取中点，连接，由，得， 又平面，则平面，而平面， 则，由平面，平面，得， 又平面，因此平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，由，得四边形是平行四边形， 则，由，得点， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是棱中点，AD的延长线与的延长线的交于点P. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：如图，连接与交于点，连接，由四边形是平行四边形，知为的中点. 由题意为的中点， 由 即为的中点， 为的中位线，则，又平面， 平面. （2）由题意，在矩形中，与互相平分，又则四边形为正方形，从而. 又，则得， .从而两两垂直，且. 现分别以为轴，建立起空间直角坐标系，则有 ，设平面的法向量为， 由， 取，则. 又， 设平面的法向量为， 由， 取，可得， . 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， 又是的中点，则且， 由是的中点，底面为矩形，则， 故，，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面. （2）底面为矩形，可得， 平面平面，平面平面，，平面PAB， 所以平面，则，， 可以以，，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， 所以， 设平面EFD的一个法向量为， 则，令，则， 依题意，可得平面PAB的一个法向量为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：（2）底面为矩形，，平面平面， 平面平面，平面，所以平面PAB. 延长，交于点，连接， 过点作，垂足为点，连接. 平面，平面， ，，平面， 平面ADH，， 为二面角的平面角， ，，，， ，，， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，， (1)求证：平面； (2)M为线段CD的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点， 由，得，解得， ，， ，则，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面的法向量为，， 设平面的法向量为，则，取，得， 由图知二面角的平面角是锐角，设为， 因此， 所以二面角的余弦值为. 6．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，是线段上的动点． (1)当是线段中点时，求证：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)是靠近的三等分点． 【详解】（1）记的中点为，连接，如图所示， 因为是线段中点，所以且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）因为平面 平面，所以， 又，所以两两垂直， 以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 则， 当与重合时，二面角为，不合题意， 设，则， 设平面，平面的法向量分别为， 则， 取，得， 由题可知，解得（负根舍去）， 故是靠近的三等分点． 考点四 空间距离问题 1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 2．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； （2）设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）由，平面的法向量， 则点A到平面PBC的距离， 所以点到平面的距离为． 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.    (1)求证：； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点D到平面PBC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 由，得， 解得，即， 所以，， 所以，又，所以. （2）解：由（1）得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：由题意知，由（2）得平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为 4．（2025·天津和平·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）平面平面，交线为，过在平面内作， 故平面，又因为， 因此以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系. 由已知，求得， 所以. ，因为， 设平面的法向量为，则 令，则， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为. （2）易知平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为， 则点到平面的距离为. 5．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，在平面内过作的垂线为轴所在直线， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知，，平面的法向量， 则点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 6．（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，四棱柱中，.    (1)若四边形为菱形，. ①证明：平面； ②若四边形的面积为，证明：四棱柱的体积； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【详解】（1）①因为四边形为菱形，所以， 因为， 所以，所以.    又是的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，因为，从而，所以. 又，所以， 又平面，所以平面. ②连接，因为，所以四边形为平行四边形，从而与互相平分， 又平面，所以点到平面的距离为， 从而四棱锥的体积， 因为三棱锥与三棱锥等底等高，所以； 又四边形为平行四边形，所以，从而， 所以，所以四棱柱的体积 （2）解：因， 所以， 因为不共面，以作为一组基底， 设平面的一个法向量为，则    即 化简，得令，解得，所以， 所以， ， 设点到平面的距离为，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$