解析几何：三角形的面积问题、四边形的面积问题、周长问题 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

解析几何：三角形的面积问题、四边形的面积问题、周长问题专项训练 解析几何：三角形的面积问题、四边形的面积问题、周长问题专项训练 考点一 三角形的面积问题 1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知椭圆的左焦点为为坐标原点，过点的直线交于两点，当与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率存在且不为0，线段的垂直平分线与轴交于点. （i）求点横坐标的取值范围； （ii）求面积的最大值. 2．（2025·四川·模拟预测）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设是过点的动直线． ①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点. (1)求的离心率； (2)已知； （i）证明：点在轴的异侧； （ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值. 4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点. (1)若，求的值； (2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆．记椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于不同的两点、． (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程和离心率； (2)设，若直线过点，且以线段为直径的圆过点，求直线的方程； (3)设，若，求的面积． 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． (1)求的方程； (2)设是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值． 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 8．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 考点二 四边形的面积问题 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 2．（2025·山东潍坊·一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D． （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点，，是椭圆上的两点． (1)求的方程； (2)若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值． 5．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. (1)求抛物线的标准方程； (2)求四边形面积的最小值； (3)证明：直线与直线的交点在定直线上. 6．（24-25高二下·广东河源·期中）已知双曲线：的左顶点为，且过点．的右支上有三点满足，． (1)求的方程； (2)求的面积； (3)求四边形面积的最小值． 7．（2025·江苏南京·一模）已知点是圆上的动点，，线段的中垂线与直线交于点，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线的另一交点为，过且垂直于的直线与曲线交于点，． ①若为轴上的一点，且△的内心恒在轴上，求点坐标； ②求四边形面积的最小值． 8．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 考点三 周长问题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的三个顶点分别是，， (1)求边AC的高BH所在直线方程； (2)已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值. 2．（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 3．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 4．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴的上方． (1)当时，求的值： (2)将平面沿x轴折叠成直二面角，点A，B在折叠后分别到达点，位置． （i）若，求k的值； （ii）是否存在k，使得的周长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线交于两点． ①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长； ②若，求面积的取值范围． 7．（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，半焦距为，原点到经过，两点的直线距离为. (1)求椭圆的离心率； (2)过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，求的周长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：三角形的面积问题、四边形的面积问题、周长问题专项训练 解析几何：三角形的面积问题、四边形的面积问题、周长问题专项训练 考点一 三角形的面积问题 1．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知椭圆的左焦点为为坐标原点，过点的直线交于两点，当与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率存在且不为0，线段的垂直平分线与轴交于点. （i）求点横坐标的取值范围； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意设椭圆方程为，半焦距， 当与轴垂直时，设点在轴上方， 由，解得，所以，， 所以，又，则，解得或（舍去）， 所以，故椭圆的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 与联立得，则， 设点的中点为， 则， 所以，. 直线的垂直平分线的方程为， 令，则， 因为，所以， 即点横坐标的取值范围是. （ii）由（i）得， 则 ， 所以. 令，则， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，此时，即， 所以面积的最大值为. 2．（2025·四川·模拟预测）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设是过点的动直线． ①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①存在， ② 【详解】（1） 设，，则 因为，所以，整理得， 代入 中得，整理得， 所以曲线的方程为. （2）①的直线方程为，整理得， 如图，，与椭圆相切于点，当在如图所示的位置时，点到直线的距离最小， 设：， 联立得， ，解得或-5（舍去）， 则，解得，则， 所以存在点到直线的距离最小，坐标为. ② 设的方程为，，，则， 联立得， ，解得或， 则，， ， 直线的方程为，令得， 所以，则点到直线的距离， ， 令，则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以面积的最大值为. 3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点. (1)求的离心率； (2)已知； （i）证明：点在轴的异侧； （ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，2 【详解】（1）由题设，. 则，即，且，即. 则的离心率为. （2）（i）由（1）可得，设. 则. 由，得，即0. 故必存在一点在第一象限，另一点在第四象限，即点在轴的异侧. （ii）记的面积为，点到的距离为，则. 要使最小，则必须使与同时达到最小值. 显然当运动至的右顶点时最小，此时， 而， 当且仅当或时取等号，最小值为. 此时. 且， 故，解得.    4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点. (1)若，求的值； (2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 【答案】(1)3 (2)8 【详解】（1）抛物线的焦点，准线，设， 由，得，即， 所以. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由得：，，， 由，得，求导得， 则切线的方程为，即，同理，切线的方程为， 由，解得，即， 则点到直线的距离为， 由，化简得：， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为8. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆．记椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于不同的两点、． (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程和离心率； (2)设，若直线过点，且以线段为直径的圆过点，求直线的方程； (3)设，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）已知椭圆过点， 将点代入椭圆方程可得：，解得，则椭圆的标准方程为. 又因为，所以，，则离心率. （2）当时，椭圆方程为，. 当斜率不存在时，此时，，，，则.满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为，，. 联立，消去得： 则，即. 由韦达定理得，. 因为以线段为直径的圆过点，所以. ，，则. ，代入上式可得： ， ， ， 将，代入上式得： ， ， ， ，解得，满足. 所以直线的方程为，即. 故直线的方程为或. （3）当时，椭圆的方程为，即， 焦点坐标. 设轴正方向转到与向量相同的方向所转过的角为，根据椭圆的对称性，不妨设. 再设，由得，且同向. 则向量， 所以， 分别代入椭圆方程， ， ， 整理得， ， 由，分别解得， 所以， 解得，所以，， 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． (1)求的方程； (2)设是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由题知，可得， 可得，因为斜率为1，所以， 因为，所以，则， 则，于是的方程为. （2） 由（1）知，因为，所以不垂直于轴， 设直线：，联立得， 当时， 设，则， 因为，所以，， 故，根据， 故可得， 得， 因，整理可得，则， 故直线经过定点. 由①可知， 因为， 因，故， 所以的面积， 设，则，则，， 设，则， 当时，，则， 所以当，即时，面积取最大值. 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 8．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 考点二 四边形的面积问题 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）设点、， 联立可得，   ， 由韦达定理可得，，可得， ， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 所以，四边形的面积为. 当且仅当时，四边形的面积取最小值. 2．（2025·山东潍坊·一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得， 故抛物线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 由题意可知，直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线、的方程得可得，所以，. 因此，点在定直线上. （3）如下图所示：    易知点，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得可得，故点，则， 且，， 所以， ， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，. 因此，四边形面积的最小值为. 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D． （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）6 【详解】（1）由题知双曲线即，其焦点坐标为， 故椭圆的焦点为为椭圆焦半距）， 故可设椭圆的方程为，将点代入可解得， 则 所以椭圆的方程为 （2）（i）由题意知，由椭圆对称性可知， 不妨设； 根据题意可知直线斜率均存在，且； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得，. ，解得， 则； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得； ，解得，则； 则， ； 所以； 即可知为钝角，所以点在以为直径的圆内； （ii）四边形的面积为 ， 设，则，当且仅当时等号成立； 又在上单调递增，所以， 可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点，，是椭圆上的两点． (1)求的方程； (2)若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②3 【详解】（1）由已知得，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为； （2） ①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为两点都在轴上方，且，， 所以， ，设直线， 由，消去得， ， 设，，则，， 因为，即，所以， 由，得， 代入，得，解得， ， 所以， ， 所以； ②由①知，且，所以， 所以， 令，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，所以，此时， 所以四个点，，，所构成的四边形面积的最大值为3. 5．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. (1)求抛物线的标准方程； (2)求四边形面积的最小值； (3)证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)； (2)32； (3)证明见解析. 【详解】（1）由焦点为，即，所以抛物线的标准方程； （2）当直线的斜率为0时，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立，可得，恒成立， 设，， 所以，同理， 则四边形的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为32； （3）设， 由（2）知，同理， 直线的方程为，化简得直线的方程为①， 同理直线的方程为②， 联立①②得， ， ， ， ， ，故直线与直线的交点在定直线上. 6．（24-25高二下·广东河源·期中）已知双曲线：的左顶点为，且过点．的右支上有三点满足，． (1)求的方程； (2)求的面积； (3)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由左顶点为可得，则双曲线方程为， 将点代入得，解得， 故的方程为. （2）设，其中，且， 因为，所以直线的斜率为，方程为， 与双曲线联立，解得， 同理可知直线的方程为， 与双曲线联立，解得， 则中点为， 故直线的方程为，由 即 则点到直线的距离， 而， 故. （3）设坐标原点，为弦的中点， 则由（2）知， 故为线段中点. 则点到直线的距离等于点到直线距离和的一半， 又， 由几何关系与面积公式可得，， 同理，由为中点， 可得， 所以， 因此，四边形的面积， 下面求的最小值. 由直线的方程为， 故点到直线的距离，而是定值， 所以取最小值当且仅当取到最小值. 记，与联立得， 关于的二次方程， 设， 函数开口向上，对称轴为， 由点在双曲线右支上，故方程在内有解， 故，解得，或. 当时，，且， 故方程在内无解，在不满足题意； 当时，，则方程在内恒有解. 综上，要使关于的二次方程在内有解， 则，且当时，等号成立， 所以当时，四边形面积取得最小值. 7．（2025·江苏南京·一模）已知点是圆上的动点，，线段的中垂线与直线交于点，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线的另一交点为，过且垂直于的直线与曲线交于点，． ①若为轴上的一点，且△的内心恒在轴上，求点坐标； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）因为点是圆上的动点， 所以，，由题意知，， 所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，即，， 所以，所以曲线的方程为．    （2）①由题意知，直线的斜率不可能为，设的方程为，，， 联立，消去得，， 所以，，， 设，因为的内心恒在轴上，所以直线和直线的斜率互为相反数， 即，而，，所以， 即，所以， 整理得，所以，解得， 所以点坐标为． ②由①知，， 因为，且直线过点，所以直线的方程为， 设，，联立，消去得，， 所以，，， 所以， 所以四边形面积， 令，则，且， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值，故四边形面积的最小值为．    8．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析，定值 【详解】（1）设双曲线C的焦点坐标为， 因为实轴长是虚轴长的2倍，则， 又因为焦点到渐近线的距离为1， 则，可得，解得，， 所以双曲线C的标准方程： （2）当直线l的斜率不存在时， P点为MN的中点； 当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：， 联立方程，得， 因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N， 其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P， 所以，即：， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立方程，解得， 联立方程，解得， 则MN的中点坐标：，即， 代入得，， 所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上， 又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P， 可知点P为线段MN的中点； 综上所述：点P为线段MN的中点. （3）由题意可知：， 坐标原点到直线l的距离：， 则， 代入得. 所以平行四边形OEPF面积为定值 考点三 周长问题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的三个顶点分别是，， (1)求边AC的高BH所在直线方程； (2)已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值. 【答案】(1) (2)当时，的周长最小，最小值为. 【详解】（1）因为，，所以， 所以边AC的高BH的斜率为，又因为直线BH过点， 所以BH所在直线方程为：， 化简可得：. 所以BH所在直线方程为. （2）因为M为AB中点，所以，， 直线CM的方程为：，化简可得：， 如图，作出关于直线的对称点， 则，解得：，所以， 作出关于轴的对称点， 连结，交直线CM于，交轴于， ，， 三角形的周长为线段的长， 由两点间线段最短得此时的周长最小， 的周长最小时，最小值为：， 此时直线的斜率为， 直线的方程为：，化简可得：， 令，所以，所以， 令，所以,所以, 所以当时，的周长最小，最小值为. 2．（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【详解】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 3．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的面积不是定值，取值范围是 【详解】（1）扇形的面积为，解得， 半椭圆与轴的交点，右焦点， 所以在中，， 又因为，所以. （2）显然直线的斜率不为，所以， 由（1）知半椭圆方程为，圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点， ①当时，分别在圆弧和半椭圆上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ②当时，在半椭圆上， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ③当时，分别在半椭圆和圆弧上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； 综上，. （3）由（2）知，当时，， 当时，， 所以当时，取得最大值，此时在半椭圆上， 设直线的方程为， 联立得，， ， 点到直线的距离， 所以， 令，因为，所以，， ， 因为在上单调递增，所以即， 所以， 即的面积不是定值，取值范围是. 4．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，则，即， 又因为点在双曲线上，所以， 解得：，所以双曲线的标准方程为：. （2）因为的周长为12，所以①， 由双曲线的定义可得：， 所以②， 所以由①②可得：， 由（1）知，，所以， 因为直线的斜率不为，所以设， 则联立直线与双曲线可得， 当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以， ， 所以， 所以， 解得：（舍去）或，所以， 直线的方程为：，即. 5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴的上方． (1)当时，求的值： (2)将平面沿x轴折叠成直二面角，点A，B在折叠后分别到达点，位置． （i）若，求k的值； （ii）是否存在k，使得的周长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，此时． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知可得且， 再由，可得，，所以椭圆的标准方程为， 由于直线过点且斜率为k，所以直线的方程为，    由消去y并整理得， 设，，则，， 当时，， 所以， 又因为，所以． （2）（i）以原x轴正半轴，y轴正半轴，y轴负半轴分别为折叠后的x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，则，， 若，则，所以， 所以，又因为，所以． （ii）假设存在满足条件的k，因为，所以， 即① 所以， 所以② 由①，②可得， 所以， 所以， 解得，又因为，所以存在k使得的周长为，此时．    6．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线交于两点． ①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长； ②若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①8；② 【详解】（1）由题意知，， 所以动点的轨迹是以和为焦点的椭圆， 故可设椭圆的方程为， 则，所以， 所以曲线的方程为． （2） ①由（1）知，，得为正三角形， 则由，得直线为线段的垂直平分线， 所以，且， 则的周长为 ②（Ⅰ）当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为， （Ⅱ）当直线的斜率存在且都不为零时，设直线， 由，得， 即，则， 则， 同理可得，， 故的面积为 ． 当且仅当，即时取最小值． 综上，的面积的取值范围为． 7．（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的标准方程为， 由的准线方程为，得， 故的标准方程为； （2）将代入，得， 设，则， ， 所以， 所以，即； （3）联立，得， 设， 则，所以， 所以， ， 所以的周长为， 因为函数为增函数，且， 所以方程的解为， 所以.    8．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，半焦距为，原点到经过，两点的直线距离为. (1)求椭圆的离心率； (2)过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，求的周长. 【答案】(1)； (2)13. 【详解】（1）依题意，不妨令，，则，又是直角三角形， 于是，解得， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，，，椭圆的方程为， 如图所示，，，即为正三角形， 又过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则为线段的垂直平分线， 直线的斜率为，直线的方程：， 由消去并整理得：， ，， 解得，得，由垂直平分线段，得， 因此的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$