二项式定理 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

二项式定理专项训练 二项式定理专项训练 考点一 展开式 1．（2025·广西柳州·三模）在展开式中，的系数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．405 2．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在的展开式中项的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）二项式的展开式的第4项的系数是（   ） A．8 B．35 C．280 D．60 4．（2025·辽宁鞍山·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高二下·北京平谷·阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州·二模）的展开式中的系数为 ． 7．（2025·山西临汾·二模）二项式的展开式的常数项是 . 8．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答） 10．（2025·河南·二模）若的展开式中的常数项为，则 . 考点二 展开式 1．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．-1 2．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 3．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 4．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 7．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）在的展开式中，的系数是 . 8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）展开式中的系数为 . 9．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）在的展开式中，的系数是 ． 10．（2025·山东聊城·模拟预测）的展开式中的系数为，则 ． 考点三 展开式 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知的展开式中，常数项为（   ） A．88 B． C．32 D． 2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·阶段练习）展开式中项的系数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 4．（2025·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 5．（24-25高三上·湖南常德·期末）的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 6．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 7．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）的展开式中含项的系数为 ；展开式中各项的系数和为 . 8．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 . 9．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）的展开式中，所有项的系数和为 ． 10．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习） 的展开式中的常数项为 . 考点四 型展开式（系数和） 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习·多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．当时，除以8的余数是1 D．展开式中二项式系数最大项为第3项 3．（2025·甘肃平凉·模拟预测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江湖州·阶段练习·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西长治·阶段练习·多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习·多选）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习·多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江温州·二模·多选）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·河南·阶段练习·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点五 二项式定理的性质 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 3．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 4．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．210 B．252 C．462 D．10 5．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 6．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 7．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为 8．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）的展开式中，所有二项式系数之和为，则二项式系数最大的项是 ． 9．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）在的展开式中，与第5项的二项式系数相等的项是第 项． 10．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 考点六 二项式定理的应用 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2024年是龙年，那么年后是（   ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）今天是星期日，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 4．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，若，，则的值可以是： ①，②，③，④；（填写序号） 7．（24-25高三上·甘肃武威·期末）除以的余数为 . 8．（2025·四川巴中·一模）除以7的余数为 ． 9．（24-25高三上·广西河池·期末）被15除所得余数为 ． 10．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 . 11．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. (1)求的值； (2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； (3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 12．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为． (1)判断以下数列是否为“规范01数列”； ①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1． (2)规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式； (3)设数列对应的生成函数为 ①结合与之间的关系，推导的收缩表达式； ②求数列的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$二项式定理专项训练 二项式定理专项训练 考点一 展开式 1．（2025·广西柳州·三模）在展开式中，的系数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．405 【答案】B 【详解】在展开式中，的项为， 所以所求的系数为90. 故选：B 2．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在的展开式中项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式中项为，所以展开式中项的系数为. 故选：A 3．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）二项式的展开式的第4项的系数是（   ） A．8 B．35 C．280 D．60 【答案】C 【详解】通项为，则， 则第4项的系数是. 故选：C. 4．（2025·辽宁鞍山·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】展开式的通项为， 令， 所以的系数是. 故选：D 5．（24-25高二下·北京平谷·阶段练习）二项式的展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以二项式展开式中的常数项为， 故选：D． 6．（2025·贵州·二模）的展开式中的系数为 ． 【答案】220 【详解】的展开式中项为， 所以所求系数为. 故答案为：220 7．（2025·山西临汾·二模）二项式的展开式的常数项是 . 【答案】 【详解】的展开式的通项为 令，解得， 所以展开式的常数项. 故答案为：. 8．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ． 【答案】2 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答） 【答案】2 【详解】展开式的通项为， 令 的展开式中的系数为 ， ∵展开式中x3的系数为80， ∴ . ∴. 故答案为：2. 10．（2025·河南·二模）若的展开式中的常数项为，则 . 【答案】1 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 考点二 展开式 1．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】展开式中项系数为：，项系数为：, 所以展开式中含的项的系数， 解得， 故选：D 2．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【详解】展开式的通项， 显然，则当，即时，， 所以的展开式中常数项为. 故选：A 3．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 4．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】， 的二项展开示的通项为 ①， ②， 在①式中，令得11，故的常数项为， 在②式中，令得，则的常数项为， 故的展开式中的常数项为， 故选：B. 5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 6．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式通项为， 因为， 在的展开式通项中，令， 在的展开式通项， 令，可得， 因此，展开式中的的系数为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）在的展开式中，的系数是 . 【答案】 【详解】因为二项式的展开式为： ， 又， 所以的展开式中的项是， 所以的展开式中的系数是. 故答案为：. 8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由，可得或或或， 故展开式中含的系数为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）在的展开式中，的系数是 ． 【答案】110 【详解】因为二项式的展开式为： ， 所以的展开式中含的项为， 则含的系数为， 故答案为： 10．（2025·山东聊城·模拟预测）的展开式中的系数为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】由多项式的展开式中的系数为， 可得，即，解得. 故答案为：． 考点三 展开式 1．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知的展开式中，常数项为（   ） A．88 B． C．32 D． 【答案】B 【详解】展开式中常数项的构成来源，包括以下情况①全是2，②2个，1个，2个2， 由组合知识可知，展开式中常数项为， 故选：B. 2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，， 对于，有，且为正整数， 令，则，故或或， 所以常数项为. 故选：A 3．（24-25高二下·山西·阶段练习）展开式中项的系数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】D 【详解】展开式中的项可以看成在5个因式中， 有1个因式中取，剩下的4个因式中2个取个取相乘而得， 即, 所以展开式中项的系数为120． 故选：D． 4．（2025·陕西宝鸡·二模）展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【答案】A 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 5．（24-25高三上·湖南常德·期末）的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 【答案】A 【详解】 根据二项式定理，则. 当时，的展开式中不含，，的项. 当时，， 这部分含，，的项系数分别为，，. 将含，，的项系数相加，即. 则的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 6．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】 的展开式的通项公式为，， 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 7．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）的展开式中含项的系数为 ；展开式中各项的系数和为 . 【答案】 12 81 【详解】根据组合的知识，4个因式中选出2个提供，剩余两个因式选一个提供，剩下的因式提供，即可得出， 故其系数为， 令，可得各项系数和为； 故答案为：12；81 8．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 . 【答案】15 【详解】由题意，项的系数为. 故答案为：15. 9．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）的展开式中，所有项的系数和为 ． 【答案】1024 【详解】因为， 二项式的展开式中取，可得展开式中所有项的系数和为， 故答案为：. 10．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习） 的展开式中的常数项为 . 【答案】 【详解】展开式的通项公式为， 其中，， 令， 则当时，常数项为； 当时，常数项为， 当时，得常数项为， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 考点四 型展开式（系数和） 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，令，得，故A正确； 对于B选项，令，得，故B错误； 对于C选项，令，得，故C错误； 对于D选项，将，两式相加， 得，即，故D正确. 故选：AD 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习·多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．当时，除以8的余数是1 D．展开式中二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【详解】对于A，令，可得，令，可得， 所以，故A错误； 对于B，， 两边求导，可得， 令，可得，故B正确； 对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确； 对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC. 3．（2025·甘肃平凉·模拟预测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，， 知，，故A，B正确； 分别令，1和，得，， ， 所以，， 即，，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二下·浙江湖州·阶段练习·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：令，可得：，故A错误； 对于B：因为的通项公式为， 故，A正确； 对于C：令可得： 故C正确； 对于C：因为， 所以为的展开式中各项系数的和， 即， 故D错误； 故选：BC 5．（24-25高二下·山西长治·阶段练习·多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ∴令，则可得：，故选项A正确； 令，则可得：，即，故选项D正确； 展开式第项的通项， 则当时，，即，故选项B不正确； 由展开式第项的通项可知： 当k为偶数时，，当k为奇数时，， ∴， 令则可得：，故选项C正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据二项式定理，展开式的通项为（）. . 要求的系数，在中，令，得， 此时该项系数为； 在中，令，得，此时该项系数为. 所以，故A选项正确. 令，得①； 令，得②. ①-②得，所以，故B选项正确. 令，得， 又因为，所以，故C选项错误. 相当于的各项系数和. 令，则，故D选项正确. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习·多选）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习·多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，则，即，A对； 所以， 令，则，B对； 令，则，而， 两式作差，得，则，C错； 两式相加，得，则，D对. 故选：ABD 9．（2025·浙江温州·二模·多选）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 10．（24-25高二下·河南·阶段练习·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】展开式的通项为， 对于A，令，得，则，，A错误； 对于B，令，得，则常数项为，B正确； 对于C，令，得，C正确； 对于D，令，得，D错误. 故选：BC. 考点五 二项式定理的性质 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 3．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 4．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．210 B．252 C．462 D．10 【答案】A 【详解】由于展开式中只有第6项的系数最大，且展开式的通项为，其系数等于其二项式系数， 所以展开式项数为11，从而，所以展开式的通项为. 令，得，于是得其常数项为. 故选：A 5．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 6．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 7．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为 【答案】 【详解】根据 的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，可得， 所以展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故答案为： 8．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）的展开式中，所有二项式系数之和为，则二项式系数最大的项是 ． 【答案】 【详解】所有二项式系数之和为，， 二项式系数最大项是第四项， 即， 故答案为：. 9．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）在的展开式中，与第5项的二项式系数相等的项是第 项． 【答案】12 【分析】由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】第5项的二项式系数为，与第12项的二项式系数相等． 故答案为： 10．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【答案】12 【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 考点六 二项式定理的应用 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2024年是龙年，那么年后是（   ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 【答案】A 【详解】由 ，故除以12的余数为1. 故除以12的余数为3，所以年后是羊年. 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）今天是星期日，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除， 只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期日，再过天，是星期四. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【答案】A 【详解】因为， 所以可以写成，的形式. 所以除以7所得的余数为4. 故天后为星期二. 故选：A 4．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式通项为， 又因为， 所以，， 当为奇数时，；当为偶数时，. 令，则， 所以，， 所以， 又， 故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为， 被除余数为， 故选：A. 6．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，若，，则的值可以是： ①，②，③，④；（填写序号） 【答案】① 【详解】因为 ， 四个选项中，只有时，除以余数是． 故答案为：①. 7．（24-25高三上·甘肃武威·期末）除以的余数为 . 【答案】1 【详解】因为 ， 所以除以的余数是 故答案为： 8．（2025·四川巴中·一模）除以7的余数为 ． 【答案】1 【详解】解：因为 ， 除以7的余数是 故答案为： 9．（24-25高三上·广西河池·期末）被15除所得余数为 ． 【答案】1 【详解】， 而是15的倍数， 所以被15除所得余数为1. 故答案为：1 10．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 . 【答案】1 【详解】， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1 11．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. (1)求的值； (2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； (3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 【答案】(1)219 (2) (3)证明见解析 【详解】（1） （2） . （3）即证明，， . 12．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【详解】（1），. （2） （3）根据已知条件所给式子， 考虑的展开式中，的系数． 左式为，的系数为， 右式中的系数为， 所以． 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为． (1)判断以下数列是否为“规范01数列”； ①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1． (2)规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式； (3)设数列对应的生成函数为 ①结合与之间的关系，推导的收缩表达式； ②求数列的通项公式． 【答案】(1)①，③是“规范01数列”， ②不是“规范01数列”,理由见解析； (2)，，，；数列的递推公式为或； (3)①；② 【详解】（1）①，③是“规范01数列”， ②不是“规范01数列”,理由如下： ①0，1，0，1，0，1；，，， ，， ，故①为“规范01数列”， ②0，0，1，1，1，0，0，1，，不满足要求； ③0，1，0，0，0，1，1，1，满足，，③为“规范01数列”； （2）时，“规范01数列”只有0，1，故， 时，“规范01数列”有0，0，1，1和0，1，0，1，故， 时，“规范01数列”有0，0，0，1，1，1和0，1，0，1，0，1和0，0，1，0，1，1 和0，1，0，0，1，1和0，0，1，1，0，1，故， 时，“规范01数列”有0，0，0，0，1，1，1，1和0，1，0，1，0，1，0，1 和0，0，1，0，1，1，0，1和0，1，0，0，1，1，0，1和0，0，1，1，0，1，0，1 和0，0，1，1，0，0，1，1和0，1，0，0，1，1，0，1和0，0，0，1，0，1，1，1 和0，0，1，0，0，1，1，1和0，1，0，0，0，1，1，1和0，0，1，0，1，0，1，1 和0，1，0，1，0，0，1，1和0，0，0，1，1，0，1，1和0，0，0，1，1，1，0，1； 故， 方法一： “规范01数列”中，首项，若同时满足： 当时，；②当时，， 此时可将划分为两部分，即和， 由于且，则可构成一个“规范01数列”， 所以数列的递推公式为： ； 方法二：要想满足“规范01数列”，即从左向右扫描，出现0的累计个数大于等于出现1的累计个数， 先从位上选择个位置填入0，剩余的位置填入1，有个， 不合要求的情况为从左向右扫描，出现0的累计个数小于出现累计1的个数， 不合要求的数的特征是从左到右扫描时，必然在某一个奇数，位上首先出现个1的累计数和个0的累计数， 此后的位上有个0，个1， 如果把后面个0，个1，换成个1，个0， 结果得到1个由个1和个0组成的个数的数列， 即一个不合要求的数列对应一个由个1和个0组成的个数的数列， 反过来，任何一个由个1和个0组成的个数的数列，由于1的个数多2个， 为偶数，故必在某一个从左向右数奇数位上，出现1的累计数超过0的累计数， 同样，后面的部分，0和1互换，使之成为一个由个0和个1组成的个数的数列， 用上述方法，建立了由个1和个0组成的个数的数列， 和由个0和个1组成的个数的数列一一对应关系， 其中这些数列从左向右扫描出现1的累计数超过出现0的累计数， 故不满足“规范01数列”个数为个， 故， ， ， 所以； （3）①， 故 ∴， 即， 由于， 当时，（舍去）， 当时，，满足题意， 故的收缩表达式为； ② ， 故数列的通项公式为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$