指数对数运算【6个题型归纳】讲义-2025届高三数学一轮复习

2025高考一轮复习考点通关 【专题2.5指数对数运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：指数运算】 知识讲解 指数的基本概念 指数的定义：一般地，形如（，为正整数）的式子叫做指数式，其中叫做底数，叫做指数。表示个相乘，即（个）。例如，。 指数的推广： 当时，规定（）。因为任何非零数的次方都等于，这是为了保证指数运算的连续性和一致性。 当为负整数时，（）。例如，。 当为分数时，（，$m,n$为互质的正整数，）。例如，。 指数运算法则 同底数幂相乘：（，$m,n$为实数）。例如，。 同底数幂相除：（，$m,n$为实数）。例如，。 幂的乘方：（，$m,n$为实数）。例如，。 积的乘方：（，为实数）。例如，。 商的乘方：（，为实数）。例如，。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则． 故选：B. 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式 故答案为：. 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】根据根式、指数运算来求得正确答案. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式. 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算性质即可求解； 【详解】（1）原式 ； （2）原式． . 【相似题3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简求值即可； （2）利用指数幂的运算性质化简求值即可； （3）利用指数幂的运算性质化简求值即可； （4）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，即可求解； 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 【题型2：指数对数互化】 知识讲解 转化的依据 1. 若（，且），那么叫做以为底的对数，记作。其中，叫做对数的底数，叫做真数。 2. 例如，，根据指数与对数的转化关系，可写成。 转化的规则 1. 指数式与对数式是等价的，它们之间的转化规则如下： 指数式中的底数，在对数式中仍然是底数。 指数式中的指数，在对数式中成为对数的值。 指数式中的幂，在对数式中是真数。 特殊情况 1. 当时，对数通常记为，称为常用对数。例如，，可写成。 2. 当（，是自然常数）时，对数记为，称为自然对数。例如，，可写成。 转化的应用 1. 求解指数方程：通过将指数方程转化为对数方程来求解未知数。例如，对于方程，转化为对数形式，因为，所以。 2. 求解对数方程：有时也需要将对数方程转化为指数方程来求解。例如，方程，转化为指数形式，即。 3. 简化计算：在一些复杂的计算中，利用指数与对数的转化可以将乘法、除法运算转化为加法、减法运算，从而简化计算过程。例如，计算，可先将其转化为指数形式，再利用指数运算法则，因为，，所以，即。 例题精选 【例题1】（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算求出，再结合对数和指数的运算化简即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：A. 【例题2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 【例题3】（23-24高二下·福建南平·期末）若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：. 【相似题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【详解】，则，则． 故答案为： 【相似题3】（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案. 【详解】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 【题型3：对数的加减运算以及对数恒等式】 知识讲解 基本性质 1. 零和负数没有对数：因为对数函数的定义域是正实数，所以在中，。例如，是无意义的。 2. ：因为（且），所以。例如，。 3. ：由于（且），所以。例如，。 对数运算公式 1. 积的对数：（，，，）。例如，。 2. 商的对数：（，，，）。例如，。 3. 幂的对数：（，，）。例如，。 4. 换底公式：（，，，，）。例如，计算，可以利用换底公式转化为以$10$为底的对数，即。 由换底公式还可以得到以下两个推论： 推论1：（，，，）。例如，。 推论2：（，，，）。例如，。 对数恒等式 1. （，，）。例如，。这个恒等式表明，对数运算和指数运算互为逆运算，将以为底取对数后再进行以为底的指数运算，结果还是。 2. （，）。例如，。它体现了对数函数与指数函数的对应关系，的次幂的以为底的对数就是指数。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 【例题2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先由，得，进而结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由，得，又， 所以 . 故选：C. 【例题3】（2025·湖南·二模）已知实数满足，且，则 . 【答案】 【分析】由对数式的定义，利用对数的运算律与换底公式，可得答案. 【详解】由可知， 所以，即，所以. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·天津·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可求得的值； （2）利用对数的运算性质、换底公式以及根式的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为，则， 故； （2）原式 . 【相似题2】（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，，求ab的值. 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）利用对数的运算公式进行求解； （2）利用指数和对数的运算公式求解. 【详解】（1）原式 ； （2）由，，可得，． 所以. 【相似题3】（22-23高一上·云南昭通·阶段练习）计算求值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） . （2） . 【题型4：对数的换底公式】 知识讲解 1. 换底公式：（，，，，）。 例如，计算，可以利用换底公式转化为以$10$为底的对数，即。也可以转化为以为底的自然对数来计算，。 2. 换底公式的推论1：（，，，）。 例如，，因为，所以。 3. 换底公式的推论2：（，，，）。 例如，。 例题精选 【例题1】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 【例题2】（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算. 【详解】因为，，所以，， 所以，，因此，． 故选：B. 【例题3】（24-25高三下·河南·开学考试）已知且，则a=（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式化简，再解方程得解. 【详解】由，得，整理得， 由，得，解得，所以. 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，用，表示 ． 【答案】 【分析】由已知直接利用对数的运算性质以及换底公式求解. 【详解】因为，，， ， 所以，， . 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算公式法则和换底公式计算. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 【相似题3】（24-25高三上·河南信阳·期末）已知，则 . 【答案】4 【分析】利用换底公式化简得到，令，求出，从而，解得. 【详解】，， ， 令，故，即，解得， 故，解得. 故答案为：4 【相似题4】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知（），则 . 【答案】16 【分析】换元令，可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以. 故答案为：16. 【相似题5】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用对数法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【详解】（1）原式 ； （2）由，得，由得， . 【题型5：指数运算的实际应用】 知识讲解 1. 理解题意： 仔细阅读题目，明确题目所描述的实际情境，确定是人口增长、金融复利、放射性衰变等哪一类指数应用问题。 找出题目中给出的关键信息，如初始值、增长率或衰减率、时间等相关数据。 2. 选择合适的公式： 根据问题类型，选择对应的指数运算公式。例如，人口增长用，复利计算用或，放射性衰变用等。 3. 代入数据进行计算： 将题目中给出的具体数值代入所选公式中。 注意单位的统一和数据的准确性，按照指数运算规则进行计算。 例题精选 【例题1】（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】C 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 【例题2】（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解. 【详解】当时，，当时，， 所以，； 当时，. 故选：A. 【例题3】（24-25高二上·云南曲靖·期中）2023年8月29日，华为发布了备受瞩目的Mate 60系列智能手机，在国际市场上引起了广泛关注.尽管面临外国技术封锁和制裁，华为仍然凭借自主研发的创新技术，成功推出了这款被网友称为“争气机”的新一代旗舰产品.Mate 60系列手机搭载了华为自主研发的最新芯片，其性能和稳定性得到了极大提升.在电池续航、图像处理和用户体验等方面均有显著突破，展现了华为在高科技领域的实力和韧性.华为Mate 60智能手机的核心部件之一是其自主研发的芯片，研究发现，该芯片的性能随着时间的推移会经历指数型衰减.假设芯片的性能衰减可以用函数大致描述，其中表示时间（单位：年），是经过年后的性能指标，是测试开始时的初始性能指标量.则根据上述函数模型，若该芯片使用5年，性能大约降至最初的（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题给条件将5代入函数，利用指数的负指数幂化正指数幂公式化简可求得，再根据即可求解. 【详解】该芯片使用5年，性能指标为. . 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】根据题意:,, 所以. 故选：D 【相似题2】（24-25高三上·黑龙江·期末）已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的能量为，则，则题意可得，进而计算，可得结论. 【详解】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到， 所以，所以， 则再经过时间时，该物质的能量为. 故选：C. 【题型6：对数运算的实际应用】 知识讲解 1. 精准审题： · 全面剖析题目所描绘的实际场景，确定其所属的应用领域，比如是在化学中计算酸碱度（pH 值）、在天文学里衡量天体亮度，还是在工程领域处理信号强度等问题。 · 仔细筛选出题目中给出的各项关键信息，包括已知的对数值、真数、底数以及其他与之相关的数据。 2. 匹配公式与模型： · 依据所确定的问题类型，快速从对数运算的知识体系中调取适配的公式或模型。例如，若涉及酸碱度计算，会用到 pH=-lg [H⁺]（其中 [H⁺] 表示氢离子浓度）；在天文学中，星等与亮度关系常涉及对数运算模型等。 · 倘若题目中所给的对数底数并非常用的 10（常用对数）或 e（自然对数），可能需要考虑运用换底公式，将其转换为便于计算的底数形式。 3. 数据代入运算： · 把从题目中提取出的准确数据，逐一对应代入已选定的公式或模型之中。 · 在进行对数运算时，严格遵循对数的运算法则，像积的对数、商的对数、幂的对数等，确保计算过程的准确性。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·湖北恩施·阶段练习）“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过t min后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C．6min D． 【答案】B 【分析】令，则，两边同时取对，将代入即可得出答案. 【详解】由题可知，函数， 令，则，两边同时取对，得， 即，即. 故选：B 【例题2】 （2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 【例题3】（24-25高三上·重庆·开学考试）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 【答案】C 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·江西九江·期末）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可． 【详解】解：依题意，得， 化简得，解得. 设这块面包总共经过分钟，温度降为30°， 则，化简得， 解得， 故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°， 故选：C. 【相似题2】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．16 B．72 C．74 D．90 【答案】C 【分析】由题可知题目相当于解不等式，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案. 【详解】由题意知，只要解不等式，化简得． 因为，所以， 所以． 故选：C． 【相似题3】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过 ．年，其残留量为初始量的（参考数据：，） 【答案】 【分析】根据可得，代入，根据指对互化和对数运算法则直接求解即可. 【详解】由题意知：当时，，； 当时，， ， . 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·广西柳州·阶段练习）著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 3．（21-22高三上·江苏盐城·开学考试）已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 4．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 6．（24-25高一下·江西宜春·开学考试）已知则 . 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，若，则 ． 三、解答题 8．（24-25高一上·重庆江津·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 10．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）化简与求值： (1)计算； (2)已知，求的值. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 C D A B 1．C 【分析】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 即. 故选：C. 2．D 【分析】根据题意代值计算即可. 【详解】由题知， 所以，可得， 所以，即. 故选：D. 3．A 【分析】由条件指数式化成对数式，利用换底公式和对数运算求解. 【详解】由，可得，， . 故选：A. 4．B 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 5． 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 6．1 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 7．3 【分析】根据指数与对数的互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由得， 故，故． 故答案为：3 8．(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2） . 9．(1) (2) 【分析】（1）根据指数的运算化简可得值； （2）根据对数的运算化简可得值. 【详解】（1） ； （2） . 10．(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）利用指数与对数的相互转化先求得，再结合换底公式计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）由，可得， 所以. 11．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （4）利用对数的运算性质、根式的运算性质计算可得所求代数式的值 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式 . 12．（1）；（2）． 【分析】运用指数幂的性质计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025高考一轮复习考点通关 【专题2.5指数对数运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：指数运算】 知识讲解 指数的基本概念 指数的定义：一般地，形如（，为正整数）的式子叫做指数式，其中叫做底数，叫做指数。表示个相乘，即（个）。例如，。 指数的推广： 当时，规定（）。因为任何非零数的次方都等于，这是为了保证指数运算的连续性和一致性。 当为负整数时，（）。例如，。 当为分数时，（，$m,n$为互质的正整数，）。例如，。 指数运算法则 同底数幂相乘：（，$m,n$为实数）。例如，。 同底数幂相除：（，$m,n$为实数）。例如，。 幂的乘方：（，$m,n$为实数）。例如，。 积的乘方：（，为实数）。例如，。 商的乘方：（，为实数）。例如，。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简 . 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【相似题3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型2：指数对数互化】 知识讲解 转化的依据 1. 若（，且），那么叫做以为底的对数，记作。其中，叫做对数的底数，叫做真数。 2. 例如，，根据指数与对数的转化关系，可写成。 转化的规则 1. 指数式与对数式是等价的，它们之间的转化规则如下： 指数式中的底数，在对数式中仍然是底数。 指数式中的指数，在对数式中成为对数的值。 指数式中的幂，在对数式中是真数。 特殊情况 1. 当时，对数通常记为，称为常用对数。例如，，可写成。 2. 当（，是自然常数）时，对数记为，称为自然对数。例如，，可写成。 转化的应用 1. 求解指数方程：通过将指数方程转化为对数方程来求解未知数。例如，对于方程，转化为对数形式，因为，所以。 2. 求解对数方程：有时也需要将对数方程转化为指数方程来求解。例如，方程，转化为指数形式，即。 3. 简化计算：在一些复杂的计算中，利用指数与对数的转化可以将乘法、除法运算转化为加法、减法运算，从而简化计算过程。例如，计算，可先将其转化为指数形式，再利用指数运算法则，因为，，所以，即。 例题精选 【例题1】（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【例题3】（23-24高二下·福建南平·期末）若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 【相似题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【相似题3】（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【题型3：对数的加减运算以及对数恒等式】 知识讲解 基本性质 1. 零和负数没有对数：因为对数函数的定义域是正实数，所以在中，。例如，是无意义的。 2. ：因为（且），所以。例如，。 3. ：由于（且），所以。例如，。 对数运算公式 1. 积的对数：（，，，）。例如，。 2. 商的对数：（，，，）。例如，。 3. 幂的对数：（，，）。例如，。 4. 换底公式：（，，，，）。例如，计算，可以利用换底公式转化为以$10$为底的对数，即。 由换底公式还可以得到以下两个推论： 推论1：（，，，）。例如，。 推论2：（，，，）。例如，。 对数恒等式 1. （，，）。例如，。这个恒等式表明，对数运算和指数运算互为逆运算，将以为底取对数后再进行以为底的指数运算，结果还是。 2. （，）。例如，。它体现了对数函数与指数函数的对应关系，的次幂的以为底的对数就是指数。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【例题3】（2025·湖南·二模）已知实数满足，且，则 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·天津·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）计算. 【相似题2】（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，，求ab的值. 【相似题3】（22-23高一上·云南昭通·阶段练习）计算求值： (1)； (2). 【题型4：对数的换底公式】 知识讲解 1. 换底公式：（，，，，）。 例如，计算，可以利用换底公式转化为以$10$为底的对数，即。也可以转化为以为底的自然对数来计算，。 2. 换底公式的推论1：（，，，）。 例如，，因为，所以。 3. 换底公式的推论2：（，，，）。 例如，。 例题精选 【例题1】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【例题3】（24-25高三下·河南·开学考试）已知且，则a=（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，用，表示 ． 【相似题2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知，则 ． 【相似题3】（24-25高三上·河南信阳·期末）已知，则 . 【相似题4】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知（），则 . 【相似题5】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 【题型5：指数运算的实际应用】 知识讲解 1. 理解题意： 仔细阅读题目，明确题目所描述的实际情境，确定是人口增长、金融复利、放射性衰变等哪一类指数应用问题。 找出题目中给出的关键信息，如初始值、增长率或衰减率、时间等相关数据。 2. 选择合适的公式： 根据问题类型，选择对应的指数运算公式。例如，人口增长用，复利计算用或，放射性衰变用等。 3. 代入数据进行计算： 将题目中给出的具体数值代入所选公式中。 注意单位的统一和数据的准确性，按照指数运算规则进行计算。 例题精选 【例题1】（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【例题2】（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 【例题3】（24-25高二上·云南曲靖·期中）2023年8月29日，华为发布了备受瞩目的Mate 60系列智能手机，在国际市场上引起了广泛关注.尽管面临外国技术封锁和制裁，华为仍然凭借自主研发的创新技术，成功推出了这款被网友称为“争气机”的新一代旗舰产品.Mate 60系列手机搭载了华为自主研发的最新芯片，其性能和稳定性得到了极大提升.在电池续航、图像处理和用户体验等方面均有显著突破，展现了华为在高科技领域的实力和韧性.华为Mate 60智能手机的核心部件之一是其自主研发的芯片，研究发现，该芯片的性能随着时间的推移会经历指数型衰减.假设芯片的性能衰减可以用函数大致描述，其中表示时间（单位：年），是经过年后的性能指标，是测试开始时的初始性能指标量.则根据上述函数模型，若该芯片使用5年，性能大约降至最初的（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三上·黑龙江·期末）已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（   ） A． B． C． D． 【题型6：对数运算的实际应用】 知识讲解 1. 精准审题： · 全面剖析题目所描绘的实际场景，确定其所属的应用领域，比如是在化学中计算酸碱度（pH 值）、在天文学里衡量天体亮度，还是在工程领域处理信号强度等问题。 · 仔细筛选出题目中给出的各项关键信息，包括已知的对数值、真数、底数以及其他与之相关的数据。 2. 匹配公式与模型： · 依据所确定的问题类型，快速从对数运算的知识体系中调取适配的公式或模型。例如，若涉及酸碱度计算，会用到 pH=-lg [H⁺]（其中 [H⁺] 表示氢离子浓度）；在天文学中，星等与亮度关系常涉及对数运算模型等。 · 倘若题目中所给的对数底数并非常用的 10（常用对数）或 e（自然对数），可能需要考虑运用换底公式，将其转换为便于计算的底数形式。 3. 数据代入运算： · 把从题目中提取出的准确数据，逐一对应代入已选定的公式或模型之中。 · 在进行对数运算时，严格遵循对数的运算法则，像积的对数、商的对数、幂的对数等，确保计算过程的准确性。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·湖北恩施·阶段练习）“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过t min后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C．6min D． 【例题2】 （2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【例题3】（24-25高三上·重庆·开学考试）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·江西九江·期末）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 【相似题2】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．16 B．72 C．74 D．90 【相似题3】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过 ．年，其残留量为初始量的（参考数据：，） 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·广西柳州·阶段练习）著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 3．（21-22高三上·江苏盐城·开学考试）已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 4．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 6．（24-25高一下·江西宜春·开学考试）已知则 . 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，若，则 ． 三、解答题 8．（24-25高一上·重庆江津·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 10．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）化简与求值： (1)计算； (2)已知，求的值. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$