热点04 复数（九大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点04 复数 考点一、数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 考点二、复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 考点三、复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 考点四、复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时, 热点一 复数的四则运算 例1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知是虚数单位，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）已知复数（是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 变式1-3．在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为 . 热点二 求复数的模 例3．已知为复数，为纯虚数，为实数，则（   ） A．2 B． C． D．3 例4．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知复数，则实数m的值是 ． 变式2-2．已知复数（其中a为实数，i为虚数单位），若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知复数的模不大于5，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 热点三 求复数的实部与虚部 例5．已知复数已知的实部与的虚部相等，则实数 例6．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之和为 . 变式3-2．复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D．1 变式3-3．（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 热点四 复数的相等 例7．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 例8．已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．，，并且，则的取值范围为 . 变式4-2．知，若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 热点五 已知复数类型求参数 例9．若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 例10．（多选）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 变式5-1．已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 变式5-2．若复数是纯虚数，其中，则 ． 变式5-3．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ． 热点六 复数与其对应的点 例11．已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例12．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（   ） A． B．1 C． D． 变式6-1．已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式6-2．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 变式6-3．已知复数，其中是虚数单位， (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 热点七 复数范围内方程的根 例13．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 例14．已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 变式7-1．若复数是关于的方程的一个根，则 . 变式7-2．已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（   ） A． B． C． D． 变式7-3．若关于的方程有两个虚根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 热点八 与复数模相关的轨迹（图形）问题 例15．已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 例16．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 变式8-1．已知复数z满足，则复数z在复平面对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式8-2．（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 变式8-3．若，则的最大值为 ． 热点九 复数的三角形式 例17．计算： (1)； (2)． 例18．复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 变式9-1．复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 变式9-2．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式9-3．（多选）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 一、单选题 1．（2024·25高三上·山东威海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高二上·贵州毕节·期中）在复平面内，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．的共轭复数 4．（2024·25高二上·广西钦州·期末）已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．25 D．49 5．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·25高三上·广东·期末）已知复数为纯虚数，则的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 7．（2024·25高一下·山东济南·期中）已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·25高三上·河北唐山·期中）设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（2024·25高三上·江苏南通·期末）已知，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 10．（2024·25高三上·广东湛江·期末）已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 11．（2024·25高三上·江西南昌·期末）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 三、填空题 12．（2024·25高三上·宁夏银川·期末）若，则 . 13．（2024·25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 14．（2024·四川·一模），若与关于复平面虚轴对称，则 ． 四、解答题 15．（2022·23高一下·新疆喀什·期中）计算： (1) (2) (3) 16．（2024·25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17．（2023·24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 18．（2024·25高二上·湖北恩施·期中）已知 (1)求； (2)若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围． 19．（2024·25高二上·上海·期中）已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 复数 考点一、数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 考点二、复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 考点三、复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 考点四、复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时, 热点一 复数的四则运算 例1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数， 则对应点为. 故选：D. 例2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 故选：B. 变式1-1．已知是虚数单位，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则. 故选：A. 变式1-2．（多选）已知复数（是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以， ，故选项A正确；   ，  而，与相等，故选项B正确； ，故选项C正确； ， ， 所以，故选项D错误. 故选：ABC 变式1-3．在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为 . 【答案】/ 【详解】∵复数的对应点坐标为，∴， ，∴的共轭复数为. 故答案为：. 热点二 求复数的模 例3．已知为复数，为纯虚数，为实数，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为为复数，为纯虚数，为实数， 所以. 所以. 故选：B 例4．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，则， 因此. 故选：B. 变式2-1．已知复数，则实数m的值是 ． 【答案】或 【详解】由， 所以，解得或. 故答案为：或. 变式2-2．已知复数（其中a为实数，i为虚数单位），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，即， 所以. 故选：C 变式2-3．已知复数的模不大于5，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 热点三 求复数的实部与虚部 例5．已知复数已知的实部与的虚部相等，则实数 【答案】 【详解】复数的实部为1，复数的虚部为， 则，解得. 故答案为：. 例6．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数满足，所以， 可得：，所以，故的虚部为. 故选：B 变式3-1．已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之和为 . 【答案】 【详解】， 所以的实部与虚部之和为， 故答案为：. 变式3-2．复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，即， 所以， 所以复数，故虚部为. 故选：C. 变式3-3．（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 热点四 复数的相等 例7．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 例8．已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 由复数相等的概念可得，解得，即， 故. 故选：D. 变式4-1．，，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 变式4-2．知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得 ， 故. 故选：A. 变式4-3．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以， 所以，可得，所以，则， 因此， 故选：B. 热点五 已知复数类型求参数 例9．若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，则，解得. 故选：A. 例10．（多选）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 【答案】ACD 【详解】，故A正确； ，虚部为，故B错误； 为纯虚数，，即，故C正确； 为实数，，解得，故D正确. 故选：ACD 变式5-1．已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以且，解得 故选：C 变式5-2．若复数是纯虚数，其中，则 ． 【答案】3 【详解】因为复数是纯虚数， 所以,解得： 故答案为：3 变式5-3．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ． 【答案】/ 【详解】是实数，则，． 故答案为：. 热点六 复数与其对应的点 例11．已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】， ， 故复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 例12．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为在复平面内对应的点为， 又点关于直线对称的点为，所以， 所以. 故选：A 变式6-1．已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由题意知， 则在复平面内复数z对应的点为，该点位于第三象限. 故选：C. 变式6-2．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】因为，所以 所以复数所对应的点坐标为，位于直线上. 故选：C. 变式6-3．已知复数，其中是虚数单位， (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1)空集 (2) 【详解】（1）复数为纯虚数，则，无解， 所以实数m的值的集合为空集； （2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 热点七 复数范围内方程的根 例13．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即， 可得，解得. 故选：A. 例14．已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【详解】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 变式7-1．若复数是关于的方程的一个根，则 . 【答案】0 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 则该方程的另一根为，于是，解得， 所以. 故答案为：0 变式7-2．已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，． 故选：C． 变式7-3．若关于的方程有两个虚根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的方程化为：， 假定方程有实根，而，则且，解得， 因此由原方程没有实根，得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 热点八 与复数模相关的轨迹（图形）问题 例15．已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆， 所以面积为. 故选：B. 例16．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】为， 表示复平面内复数z对应的点与点的距离为， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离， 而，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式8-1．已知复数z满足，则复数z在复平面对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】设复数，可得 因为，可得， 所以复数z在复平面对应的点在以为圆心，半径为的圆上， 如图所示，可得复数z在复平面对应的点位于第一象限. 故选：A. 变式8-2．（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BC 【详解】对于A，，则， 且，，而，故A错误； 对于B，因为，则，即， 故B正确； 对于C，设，且，由可得，即， 以复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，为半径的圆， 其周长为，故C正确； 对于D，因为，，由可得， 复数对应的点形成的图形是以原点为圆心， 半径与的两个圆所夹圆环内点的集合， 其面积为，故D错误； 故选：BC 变式8-3．若，则的最大值为 ． 【答案】6 【详解】设， 则， 得， 表示以为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 所以. 故答案为：6. 热点九 复数的三角形式 例17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 例18．复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 变式9-1．复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 变式9-2．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 变式9-3．（多选）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 一、单选题 1．（2024·25高三上·山东威海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 故， 故选：C 2．（2024·25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则其共轭复数为， 则点即为点. 故选：B. 3．（2024·25高二上·贵州毕节·期中）在复平面内，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．的共轭复数 【答案】C 【详解】由，所以的虚部为3，A选项错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：C 4．（2024·25高二上·广西钦州·期末）已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ） A．7 B．9 C．25 D．49 【答案】D 【详解】设， 因为的几何意义为在复平面内所对应的点,到点的距离为2， 所以所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以. 故选：D. 5．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设复数， 满足， 所以，则. 故选：B. 6．（2024·25高三上·广东·期末）已知复数为纯虚数，则的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为为纯虚数， 所以的虚部为． 故选:B． 7．（2024·25高一下·山东济南·期中）已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 由题意可得，整理可得， 因此，点在以为圆心，半径为的圆上及圆内， 则， 上式可表示点到的距离， 易知最小值为点到圆心的距离减去半径， 即为. 故选：C. 8．（2024·25高三上·河北唐山·期中）设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据题意，不妨设，， 若在复平面内对应的点位于第一象限，则， 则， 所以的实部，虚部，故对应点在第二象限， 所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”； 若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知， 所以且，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限， 所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”； 由上可知，属于充要条件， 故选：C. 二、多选题 9．（2024·25高三上·江苏南通·期末）已知，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则z是实数 B．若为虚数，则z是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，B，设，则， 若为实数，则，但这不一定能得到，比如， 这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误； 若为虚数，则，这一定能得到，此时是虚数，故B正确； 对于C，D，设， 若，这表明， 所以是实数，故C正确； 若， 这表明， 但不一定等于0， 比如，这个时候有， 但，故D错误. 故选：BC. 10．（2024·25高三上·广东湛江·期末）已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，因为，则， 可得，所以，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，的虚部为，C错； 对于D选项，由复数的几何意义可得，D对. 故选：BD. 11．（2024·25高三上·江西南昌·期末）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 【答案】ABD 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，故A正确； 对于C，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限，故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（2024·25高三上·宁夏银川·期末）若，则 . 【答案】 【详解】由题意，则， 故答案为： 13．（2024·25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，. 故答案为：. 14．（2024·四川·一模），若与关于复平面虚轴对称，则 ． 【答案】或或. 【详解】设，则， 因为，所以，① 因为与关于复平面虚轴对称， 所以，② 由①②解得或， 所以当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或或. 四、解答题 15．（2022·23高一下·新疆喀什·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．（2024·25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 17．（2023·24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得 （2）由（1）得到，又， 则，即有， 所以. 18．（2024·25高二上·湖北恩施·期中）已知 (1)求； (2)若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，所以， 即，所以，即． （2）设，在复平面内对应的点为，由知， 在以为圆心，2为半径的圆上， 即， 所以 ， 即的取值范围是． 19．（2024·25高二上·上海·期中）已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$