冲刺2025年中考数学之二次函数特殊三角形存在性

宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数特殊三角形 类型一、等腰三角形存在性 、几何构造法(两圆一线)(原理:圆的半径相等,垂直平分线定理) ①两圆:分别以两个定点为圆心,以两定点距离长为半径画圆,与目标直线的交点,即为等腰三角形的第三点。 ②一线:作两定点线段的垂直平分线,与目标直线的交点,即为等腰三角形的第三点。 推理:A,B分别是x轴和y轴上的两个定点,C是x轴上一点,使 ABC为等腰三角形 ①以A为圆心,以AB长为半径画圆,与x轴交于点C,点C即为使 ABC为等腰三角形的所求点 解法:AB=AC,B、C关于原点对称,OB=OC ②以B为圆心,以AB长为半径画圆,与x轴交于点C,点C即为使 ABC为等腰三角形的所求点 解法:AB=BC=r,C的横坐标为B的横坐标加/减半径 ③做AB的垂直平分线,与x轴交于点C,交点C即为使 ABC为等腰三角形的所求点 解法:利用k1•k2= -1和中点坐标,求垂直平分线解析式,再求与x轴的交点坐标(勾股定理方程法也可以解决) 、代数构造法(距离公式列方程) 原理:等腰三角形腰相等 即在 ABC中,①A为顶点,AB=AC;②B为顶点,BA=BC;③C为顶点,CA=CB 解法:设C点坐标,然后利用距离公式表示出三条边AB,AC,BC的长度,再分类讨论三条线段两两相等列方程,解方程即可。 注意:舍去不符合题意的结果,如果有条件限制则需注意有几种分类情况(例如:若以AB为腰,则有两种情况AB=AC和AB=BC,若以AB为底,则是一种情况AC=BC) ①两定一动型 例1、如图1,抛物线过点,点,与轴交于点.在轴上有一动点,,过点作直线轴,交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式及点坐标; (2)当时,是直线上的点且在第一象限内,若是以为底角的等腰三角形,求点的坐标; (3)如图2,连接并延长交轴于点,连接,,设的面积为,的面积为,若,求的值. 例2、抛物线过点,点,顶点为. (1)求抛物线的表达式及点的坐标; (2)如图1,点在抛物线上,连接并延长交轴于点,连接,若是以为底的等腰三角形,求点的坐标; (3)如图2,在(2)的条件下,点是线段上(与点,不重合)的动点,连接,作,边交轴于点,设点的横坐标为,求的取值范围. 【模考专练】 (2024 四川达州 中考真题)如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点.点是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,连接,,直线交抛物线的对称轴于点,若点是直线上方抛物线上一点,且,求点的坐标; (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点,是否存在以点,,为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由. (2024 四川雅安 中考真题)在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于,两点,与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式; (2)如图①,若点P是线段上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,当线段的长度最大时,求点Q的坐标; (3)如图②,在(2)的条件下,过点Q的直线与抛物线交于点D,且.在y轴上是否存在点E,使得为等腰三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (2024 云南怒江 一模)已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)点D是直线上方抛物线上的点,连接、,求的最大值; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2024济南市中二模)25. 如图,已知,抛物线交x轴于点A、点B,交y轴于点C.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.过点P作轴,垂足为点交于点Q.过点P作垂足为点N. (1)求抛物线的解析式和点B的坐标; (2)①请用含m代数式表示线段的长_; ②连接,在第一象限的抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由; (3)连接,若为等腰三角形,请直接写出m的值. ②两动一定型 例3、综合与实践:如图,抛物线y与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C.点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动,设运动的时间为t秒. (1)求点A,B,C的坐标; (2)求t为何值时, BDE是等腰三角形; (3)在点D和点E的运动过程中,是否存在直线DE将 BOC的面积分成1:4两份,若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由 例4、如图,抛物线经过,两点,与轴交点为,连接. (1)求抛物线的解析式; (2)在第四象限抛物线上,连接,,求点的坐标; (3)点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿方向运动,点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿方向运动,,同时出发,运动时间为秒,,连接,,当为等腰三角形时,直接写出的值. 【模考专练】 (2024济南高新一模)26.(12分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3),P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点,设点P的横坐标为m,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M. (1)求这个二次函数的表达式; (2)将线段CA绕点C顺时针旋转90 ,点A的对应点为A′,判断点A′是否落在抛物线上,并说明理由; (3)求PM+2BH的最大值; (4)如果 PMC是等腰三角形,直接写出点P的横坐标m的值. (2025济南长清一模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点,与反比例函数交于点. (1)求反比例函数的表达式; (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点,过点M作x轴垂线,交一次函数图象于点N,连接,若是以为底边的等腰三角形,求的面积; (3)点P为反比例函数图象上一点,连接,若,求点P的坐标. (2025济南历下一模)已知抛物线与x轴交于点,与y轴交于点,点M是抛物线对称轴上的一动点,过点M作轴交抛物线于点C和点D(点C在对称轴的左侧). (1)如图1,求该抛物线的解析式; (2)作交抛物线于点E,连接. ①如图2,当点E在x轴上时,求点M的坐标; ②若是以为底角的等腰三角形,求点E的坐标. 类型二、直角三角形存在性 、几何构造法(两线一圆)(原理:做垂线即可出直角,直径所对的圆周角为直角) ①两线:分别过两个定点作定点线段的垂线,与目标直线的交点,即为直角三角形的第三点。 ②一圆:以两定点线段中点为圆心,线段距离为直径作圆,与目标直线的交点,即为直角三角形的第三点。 (直角三角形的构造即直角顶点轮流坐庄) 推理:A,B分别是第二象限和第一象限的两个定点,C是y轴上一点,使 ABC为直角三角形 ①过A作AB的垂线,与y轴交于点C,交点C即为使 ABC为直角三角形的所求点 解法:围绕直角顶点A构造一线三等角相似,设C坐标,表示出相似三角形对应边的长度,利用对应边比例关系计算 ②过B作AB的垂线,与y轴交于点C,交点C即为使 ABC为直角三角形的所求点 解法:围绕直角顶点B构造一线三等角相似,设C坐标,表示出相似对应边的长度,利用对应边比例关系计算 ③以AB中点为圆心,AB长为直径作圆,与y轴交于点C,交点C即为使 ABC为直角三角形的所求点 解法:围绕直角顶点C构造一线三等角相似,设C坐标,表示出相似三角形对应边的长度,利用对应边比例关系计算(注:这个比例关系列出来的是一个一元二次方程,如果无解,则这种情况是不存在的,如果有两个相等的解可构造出一个同的解,则会构造出两个直角三角形,这两个解也正是这两个直角三角形对应所求) 、代数构造法(两直线垂直k1 k2=-1) 原理:直角三角形有直角,即在 ABC中,①∠BAC=90 ;②∠ABC=90 ;③∠ACB=90 解法①:设C点坐标,然后利用k值公式表示出kAB,kAC,kBC的值,再分类讨论三条线段两两垂直,k1 k2=-1列方程,解方程即可。如果有条件限制则需注意有几种分类情况(例如:若以AB为直角边,则有两种情况∠BAC=90 和∠ABC=90 ,若以AB为斜边,则是一种情况∠ACB=90 ) 解法②:设C点坐标,然后利用距离公式表示出AB,AC,BC的长度,再分类讨论利用勾股定理列方程,解方程即可。如果有条件限制则需注意有几种分类情况(例如:若以AB为直角边,则有两种情况∠BAC=90 和∠ABC=90 ,若以AB为斜边,则是一种情况∠ACB=90 ) 例1、抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,直线经过点.点在抛物线上,设点的横坐标为. (1)求抛物线的表达式和,的值; (2)如图1,连接,,,若是以为斜边的直角三角形,求点的坐标; (3)如图2,若点在直线上方的抛物线上,过点作,垂足为,求的最大值. 例2、如图,抛物线交轴于点,且过点,点是抛物线上一个动点,过作,以为圆心,2为半径的圆交直线于、两点(点位于点下方). (1)求抛物线的解析式; (2)连接交于点,连接,.若是以为直角边的直角三角形,求的度数; (3)取的中点,连接,求线段的最小值.(直接写出答案) 例3、已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点. (1)求抛物线的表达式; (2)点在直线下方的抛物线上,连接交于点,当最大时,求点的坐标及的最大值; (3)在(2)的条件下,过点作轴的垂线,在上是否存在点,使是直角三角形,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 例4、抛物线过点,点与轴交于点,顶点为,点在轴负半轴上. (1)求抛物线的表达式及点的坐标; (2)若是直角三角形,求点的坐标; (3)点是抛物线在第一象限内的点,连接交轴于点,连接交抛物线于点,点在线段上,且,连接,若,,求点的坐标. 【模考专练】 (2023 江苏 中考真题)如图,二次函数的图像与x轴相交于点,其顶点是C. (1)_; (2)D是第三象限抛物线上的一点,连接OD,;将原抛物线向左平移,使得平移后的抛物线经过点D,过点作x轴的垂线l.已知在l的左侧,平移前后的两条抛物线都下降,求k的取值范围; (3)将原抛物线平移,平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q,且其顶点P落在原抛物线上,连接PC、QC、PQ.已知是直角三角形,求点P的坐标. (2024 湖南 模拟预测)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,连接. (1)求抛物线的表达式. (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点,连接,,求面积最大时点的坐标; (3)在抛物线上是否存在点,使得以点,,为顶点的三角形是直角三角形?如果存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由. (2024济南章丘一模)25.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和B(3,0),点D为线段BC上一点,过点D作y轴的平行线交抛物线于点E,连结BE. (1)求抛物线的解析式; (2)当 BDE为直角三角形时,求线段DE的长度; (3)在抛物线上是否存在这样的点P,使得∠ACP=45 ,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2024济南长清二模)25. 如图,已知抛物线,与轴交于点和点,与轴交于点. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)如图1,点P是第一象限内抛物线上一动点,连接、、,设点P的横坐标为t.当t为何值时,是以点为直角顶点的直角三角形; (3)如图2,过抛物线顶点作轴于,若是轴上一动点,是线段上一点,若,请求出实数的取值范围. 类型三、等腰直角三角形存在性 、几何构造法:先做出等腰直角三角形,然后利用一线三等角全等求点坐标 推理1(两定一动):A,B分别是x轴和y轴上的两个定点,C是第一象限内一点,使 ABC为等腰直角三角形 ①过A作AC⊥AB,且AB=AC,连接BC,点C即为使 ABC为等腰直角三角形的所求点 解法:围绕直角顶点A构造一线三等角全等,根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度,利用线段长度表示出点C坐标 ②过B作BC⊥AB,且AB=BC,连接AC,点C即为使 ABC为等腰直角三角形的所求点 解法:围绕直角顶点B构造一线三等角全等,根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度,利用线段长度表示出点C坐标 ③找一点C使得AC⊥BC且AC=BC,连接AC,BC,点C即为使 ABC为等腰直角三角形的所求点 解法:围绕直角顶点C构造一线三等角全等,设出对应边长度,利用矩形对边相等列方程组,解出对应边长度,表示出点C坐标 推理2(两动一定):A是y轴上的一个定点,B是x轴上一点,C函数图像上一点,使 ABC为等腰直角三角形 ①利用等腰直角三角板,把直角放在点A处,旋转三角板,使得AC=AB,在x轴和反比例图像上做好点B,点C的位置标记,连接AC,AB,BC,此时 ABC即为以A为直角的等腰直角三角形 解法:根据B,C的位置特征分别设出B,C的坐标,围绕直角顶点A构造一线三等角全等,利用点坐标分别表示出全等三角形对应边的长度,利用全等三角形对应边相等列方程组可求出点B,点C的坐标 ②利用等腰直角三角板,把直角放在点B处,旋转三角板,使得AB=BC,在x轴和反比例图像上做好点B,点C的位置标记,连接AC,AB,BC,此时 ABC即为以B为直角的等腰直角三角形 解法:根据B,C的位置特征分别设出B,C的坐标,围绕直角顶点B构造一线三等角全等,利用点坐标分别表示出全等三角形对应边的长度,利用全等三角形对应边相等列方程组可求出点B,点C的坐标 ③利用等腰直角三角板,把直角放在点C处,旋转三角板,使得AC=BC,在x轴和反比例图像上做好点B,点C的位置标记,连接AC,AB,BC,此时 ABC即为以C为直角的等腰直角三角形 解法:根据B,C的位置特征分别设出B,C的坐标,围绕直角顶点C构造一线三等角全等,利用点坐标分别表示出全等三角形对应边的长度,利用全等三角形对应边相等列方程组可求出点B,点C的坐标 、代数构造法(等腰直角三角形腰相等,勾股定理a2+b2=c2确定直角) 解法:设C点坐标,然后利用距离公式表示出三条边AB,AC,BC的长度,再分类讨论三条线段两两相等和勾股定理a2+b2=c2列方程组,消元解方程组即可。此方法因计算太过繁琐,不推荐使用,只做了解 ①两定一动型 例1、二次函数的图像交轴于点A(-1,0),B(4,0)两点,交轴于点.动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿方向运动,过点作轴交直线于点,交抛物线于点,连接,设运动的时间为秒. (1)求二次函数的表达式; (2)在直线上存在一点,当是以为直角的等腰直角三角形时,求此时点的坐标. 【模考专练】 (2024 泰安 中考真题)如图,抛物线的图象经过点,与轴交于点A,点. (1)求抛物线的表达式; (2)将抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到抛物线,求抛物线的表达式,并判断点是否在抛物线上; (3)在轴上方的抛物线上,是否存在点,使是等腰直角三角形.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. ②两动一定型 例2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点,点B(3,0),经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为,与y轴交点为D,点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与点A、C重合). (1)求该抛物线的解析式. (2)点在抛物线的对称轴上运动,当是以为直角边的等腰直角三角形时,请直接写出符合条件的点的坐标. 例3、如图,抛物线与x轴交于点,点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式; (2)在对称轴上找一点Q,使的周长最小,求点Q的坐标; (3)点P是抛物线对称轴上的一点,点M是对称轴左侧抛物线上的一点,当是以为腰的等腰直角三角形时,请直接写出所有点M的坐标. 【模考专练】 (2023 湖南娄底 中考真题)如图,抛物线过点、点,交y轴于点C. (1)求b,c的值. (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时,的面积最大?并求出面积的最大值; ②过点P作轴,交于点E,再过点P作轴,交抛物线于点F,连接,问:是否存在点P,使为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2023 四川 中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与x轴交于点,,与轴交于点. (1)求抛物线的解析式; (2)已知为抛物线上一点,为抛物线对称轴上一点,以,,为顶点的三角形是等腰直角三角形,且,求出点的坐标; (3)如图,为第一象限内抛物线上一点,连接交轴于点,连接并延长交轴于点,在点运动过程中,是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. (2024 四川眉山 中考真题)如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,点在抛物线上. (1)求该抛物线的解析式; (2)当点在第二象限内,且的面积为3时,求点的坐标; (3)在直线上是否存在点,使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. (2024济南育英三模)26. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线: 交于, 两点,与轴交于,直线与 轴交于点 . (1)求抛物线的函数表达式及对称轴; (2)设直线与抛物线的对称轴的交点为 ,若,求直线的解析式; (3)若在轴上存在一点 , 使, 且,直接写出的值. 类型四、其它三角形存在性 【等边三角形】 (2024莱芜一模)26.(12分)抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D.已知点B(﹣4,0),C(0,4).抛物线的对称轴是直线,P为抛物线上一动点,点P的横坐标为,过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)当 PMD是等边三角形时,求m的值及此时三角形的边长; (3)过点P作x轴的垂线PN,垂足为N,设直线MN交直线BC于点F,是否存在这样的m值,使MN=2MF?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由. 【锐角三角形】 (2023 湖南 中考真题)如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,其中,. (1)求这个二次函数的表达式; (2)在二次函数图象上是否存在点,使得?若存在请求出点坐标;若不存在,请说明理由; (3)点是对称轴上一点,且点的纵坐标为,当是锐角三角形时,求的取值范围. 【钝角三角形】 (2023•济南历城区二模)已知,如图,在平面直角坐标系中,、,把点绕原点逆时针旋转,使其落在轴负半轴点处,抛物线过、、三点,连接. (1)求抛物线的解析式; (2)把直线向上平移,平移后的直线交轴于点,交轴右侧的抛物线于点,连接、,若,求点的坐标; (3)点为直线上一个动点,设点的横坐标为,若以、、三点组成的三角形为钝角三角形,试求出的取值范围. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数特殊三角形 类型一、等腰三角形存在性 Ⅰ、几何构造法（两圆一线）（原理：圆的半径相等，垂直平分线定理） ①两圆：分别以两个定点为圆心，以两定点距离长为半径画圆，与目标直线的交点，即为等腰三角形的第三点。 ②一线：作两定点线段的垂直平分线，与目标直线的交点，即为等腰三角形的第三点。 推理：A，B分别是x轴和y轴上的两个定点，C是x轴上一点，使△ABC为等腰三角形 ①以A为圆心，以AB长为半径画圆，与x轴交于点C，点C即为使△ABC为等腰三角形的所求点 解法：AB=AC，B、C关于原点对称，OB=OC ②以B为圆心，以AB长为半径画圆，与x轴交于点C，点C即为使△ABC为等腰三角形的所求点 解法：AB=BC=r，C的横坐标为B的横坐标加/减半径 ③做AB的垂直平分线，与x轴交于点C，交点C即为使△ABC为等腰三角形的所求点 解法：利用k1•k2= -1和中点坐标，求垂直平分线解析式，再求与x轴的交点坐标(勾股定理方程法也可以解决） Ⅱ、代数构造法（距离公式列方程） 原理：等腰三角形腰相等，即在△ABC中，①A为顶点，AB=AC；②B为顶点，BA=BC；③C为顶点，CA=CB 解法：设C点坐标，然后利用距离公式表示出三条边AB，AC，BC的长度，再分类讨论三条线段两两相等列方程，解方程即可。注意舍去不符合题意的结果，如果有条件限制则需注意有几种分类情况（例如：若以AB为腰，则有两种情况AB=AC和AB=BC，若以AB为底，则是一种情况AC=BC） ①两定一动型 例1、如图1，抛物线过点，点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作直线轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）当时，是直线上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2，连接并延长交轴于点，连接，，设的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为，点；（2）或；（3） 【详解】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为， 当时，，故点； （2）当时，点，设点的坐标为， 由点、、的坐标得，，同理可得：，， ①当时，即，解得； ②当时，同理可得（舍去负值）； 故点的坐标为或； （3），则设点， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为， 当时，，故点，则； ， ， 解得或（舍去负值）， 故． 例2、抛物线过点，点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点；（2）；（3） 【详解】（1）将点，点代入得： ， 解得：． 抛物线的表达式为． ， 顶点． （2）设交轴于点，连接，过点作轴于点，如图， ，， ，，． ，． ，， ， ，为的中点． 是以为底的等腰三角形， ． ， ． ． ． ． ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． ， 解得：，． ． （3）过点作于点，如下图， 则，， ， ， ． ． 由（2）知：． 设，，则． ， ． ， ， 又， ． ． ． ． ． 当时，即有最大值． ，的最大值为． 点在线段上，点的横坐标的取值范围为． 【模考专练】 （2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． （2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． （2024·云南怒江·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)最大值为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）分别令、计算即可得解； （2）求出直线的解析式为：，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则，求出，再由并结合二次函数的性质即可得解； （3）设，则，，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 点在点左侧， ，， 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则， ， ， 当时，的面积最大，最大值为； （3）解：点在抛物线对称轴上，且对称轴为：， 设，则，，， 是等腰三角形，需分3种情况讨论： ①当时，，解得：， 此时点的坐标为或； ②当时，，解得：， 此时点的坐标为或； ③当时，，解得：， 此时点的坐标为． 综上所述，满足条件的点有5个，分别为或或或或 （2024济南市中二模）25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）①请用含m代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由 即可求解；②证明是的角平分线，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解； 当或时，同理可解. 【小问1详解】 抛物线经过两点， 将代入抛物线得， ，解得 抛物线的函数关系式为， 令，得到 解得（舍），，则B点坐标为； 【小问2详解】 ①设直线的解析式为， 由点的坐标得，解得 直线的表达式为：， 设点 则点 则， 而 则 因为， 则 ， 则 ， 故答案为：； ②存在． 如图，过点C作，交直线于D， ， 四边形是矩形， ， ， ， 当时， 则， ， 由①知，， ， 化简得， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ． 【小问3详解】 或． 点的坐标分别为， 解析式 则 ①当时，如图1， 图1 则， ， ， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ②当时，如图2， 图2 ， ， 由勾股定理得， 即 （，放舍去） ③当时，点Q在的垂直平分线上， ， ∴点B在的垂直平分线上， ∴点Q和点B重合，不符合题意， 这种情况不存在． 综上，为等腰三角时，或． ②两动一定型 例3、综合与实践：如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形； (3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3） (2)t的值为，和 (3)存在，1或4 【分析】（1）令y＝0，求出方程0x2x﹣3，可得点A（﹣1，0），点B（4，0），再令x＝0，可得点C（0，﹣3），即可求解； （2）根据勾股定理可得 ，然后分三种情况：当BD＝BE时，当BE＝DE时，当BD＝DE时，即可求解； （3）过点E作EH⊥BD于H，根据锐角三角函数可得HEt，然后分两种情况：当S△BDES△BOC时，当S△BDES△BOC时，即可求解． 【详解】（1）解：令y＝0，可得0x2x﹣3， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A（﹣1，0），点B（4，0）， 可得y＝﹣3， ∴点C（0，﹣3）； （2）解：∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣3）， ∴AB＝5，OB＝4，OC＝3， ∴ ， 当BD＝BE时，则5﹣t＝t， ∴t； 当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H， ∴DH＝BHBD， ∵cos∠DBC， ∴， ∴t； 当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F， ∴EF＝BFBEt， ∵cos∠DBC， ∴， ∴t， 综上所述：t的值为，和； （3）解：∵S△BOCBO×CO＝6， ∴S△BOC，S△BOC， 如图1，过点E作EH⊥BD于H， ∵sin∠DBC， ∴， ∴HEt， 当S△BDES△BOC时，则（5﹣t）t， ∴t1＝1，t2＝4， 当S△BDES△BOC时，则（5﹣t）t， ∴t2﹣5t+16＝0， ∴方程无解， 综上所述：t的值为1或4． 例4、如图，抛物线经过，两点，与轴交点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限抛物线上，连接，，求点的坐标； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，，同时出发，运动时间为秒，，连接，，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点的坐标是 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）分别将点，的坐标代入抛物线得到关于，的二元一次方程，求解即可； （2）作的平分线交轴于，过作轴交于，求出，直线解析式为，设，由平分，可得，，故，即可求出，直线解析式为，根据，有，确定直线解析式为，最后联立，求解即可； （3）过作轴于，由，可得，，故，，，分三种情况：①当时，；②当时， ；③当时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，作的平分线交轴于，过作轴交于， ∵抛物线与轴交点为， 当时，得， ∴， 设直线解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（此时在轴左侧，不符合题意，舍去）， ∴， 设直线解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为 ， ∵， ∴， 设直线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）如图，过作轴于， ∵，， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：（舍去）或； ③当时，， 解得：或； 综上所述，的值为秒或秒或秒或秒． 【模考专练】 （2024济南高新一模）26．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM+2BH的最大值； （4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）A′不在抛物线上；理由如下： 过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°， ∵旋转， ∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°， ∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD， ∴△ACO≌△CA′D， ∴OA＝CD，OC＝A′D， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3， ∴OD＝2， ∴A′（3，﹣2）， ∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0， ∴A′（3，﹣2）不在抛物线上； （3）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1， ∴y＝x﹣3； 设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）． ∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m． ∴． 当时，PM+2BH取最大值，最大值为． （4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3）， ∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2， 当△PMC是等腰三角形时，分三种情况， ①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2， 解得：（舍），m＝0（舍），； ②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍），m＝2； ③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1； 综上：m＝1，m＝2，． （2025济南长清一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； 【小问2详解】 解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ； 【小问3详解】 解：取中点C，过点C作交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即为点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． （2025济南历下一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作于点，设，求得，推出，在中，求得，，再求得，利用待定系数法求解即可； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴，令，则， 解得或， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入得， 整理得， 解得或， ∴； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 类型二、直角三角形存在性 Ⅰ、几何构造法（两线一圆）（原理：做垂线即可出直角，直径所对的圆周角为直角） ①两线：分别过两个定点作定点线段的垂线，与目标直线的交点，即为直角三角形的第三点。 ②一圆：以两定点线段中点为圆心，线段距离为直径作圆，与目标直线的交点，即为直角三角形的第三点。 （直角三角形的构造即直角顶点轮流坐庄） 推理：A，B分别是第二象限和第一象限的两个定点，C是y轴上一点，使△ABC为直角三角形 ①过A作AB的垂线，与y轴交于点C，交点C即为使△ABC为直角三角形的所求点 解法：围绕直角顶点A构造一线三等角相似，设C坐标，表示出相似三角形对应边的长度，利用对应边比例关系计算 ②过B作AB的垂线，与y轴交于点C，交点C即为使△ABC为直角三角形的所求点 解法：围绕直角顶点B构造一线三等角相似，设C坐标，表示出相似对应边的长度，利用对应边比例关系计算 ③以AB中点为圆心，AB长为直径作圆，与y轴交于点C，交点C即为使△ABC为直角三角形的所求点 解法：围绕直角顶点C构造一线三等角相似，设C坐标，表示出相似三角形对应边的长度，利用对应边比例关系计算（注：这个比例关系列出来的是一个一元二次方程，如果无解，则这种情况是不存在的，如果有两个相等的解可构造出一个同的解，则会构造出两个直角三角形，这两个解也正是这两个直角三角形对应所求） Ⅱ、代数构造法（两直线垂直k1×k2=－1） 原理：直角三角形有直角，即在△ABC中，①∠BAC=90°；②∠ABC=90°；③∠ACB=90° 解法①：设C点坐标，然后利用k值公式表示出kAB，kAC，kBC的值，再分类讨论三条线段两两垂直，k1×k2=－1列方程，解方程即可。如果有条件限制则需注意有几种分类情况（例如：若以AB为直角边，则有两种情况∠BAC=90°和∠ABC=90°，若以AB为斜边，则是一种情况∠ACB=90°） 解法②：设C点坐标，然后利用距离公式表示出AB，AC，BC的长度，再分类讨论利用勾股定理列方程，解方程即可。如果有条件限制则需注意有几种分类情况（例如：若以AB为直角边，则有两种情况∠BAC=90°和∠ABC=90°，若以AB为斜边，则是一种情况∠ACB=90°） 例1、抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点．点在抛物线上，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式和，的值； （2）如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 【详解】（1）将代入， ， ， ， 当时，， 解得或（舍， ， 在直线上， ， 解得， ； （2）作轴交于， 点横坐标为， ， ，， 在和中， ，， ， ， ，即， ， 解得（舍或， ； （3）作轴交于，过点作轴交于， ， 轴， ， ， ， ， ，，， ，， 由， ， ， ， 当时，的最大值是． 例2、如图，抛物线交轴于点，且过点，点是抛物线上一个动点，过作，以为圆心，2为半径的圆交直线于、两点（点位于点下方）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接交于点，连接，．若是以为直角边的直角三角形，求的度数； （3）取的中点，连接，求线段的最小值．（直接写出答案） 【详解】（1）交轴于点，且过点， ， ， ． （2）①时，如图1， ，， ． ②时，如图2， 轴， 点的纵坐标为， ， 点的纵坐标为， 将代入，解得， 所以，为等腰直角三角形， ． 综上所述，的度数为或． （3）设，则， ，， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 例3、已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3），点在上， 如图2，当时， 过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图3，当时， 过点作轴交于点， ，， ， ， ，即， ， ； 如图4，当时， 线段的中点，， 设， ， ， 或， 或； 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 例4、抛物线过点，点与轴交于点，顶点为，点在轴负半轴上． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）若是直角三角形，求点的坐标； （3）点是抛物线在第一象限内的点，连接交轴于点，连接交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，，求点的坐标． 【详解】（1）将，点代入解析式得： ， 解得：， ， 顶点的坐标为； （2）在轴负半轴上，，且为锐角，为锐角． △是直角三角形，则或， 设点，，， 则， ， ， 当时，， 即， 整理得， 解得或， ，， 当时，， 即， 解得， ， 综上所述：点坐标为，或，； （3）作的垂直平分线交轴于点，连接， ， ， 设 则， ， 在 中，令，则， ，又， ， 设， ， ， 又 ， 又， ， ，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， ， 化简得， 即， 解得或（舍， ， ， 设直线表达式为， ， 解得：， ， 联立， ， 化简得：， 解得，（舍， 当时，， ，， 点的坐标为，． 【模考专练】 （2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）把代入即可求解； （2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线， 平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解； （3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， 故答案为； （2）解：过点D作DM⊥OA于点M，    ∵， ∴二次函数的解析式为 设， ∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，， ∴， 解得m=或m=8（舍去）， 当m=时，， ∴， ∵， ∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为， 把代入得， 解得a=3或a=（舍去）， ∴平移后得抛物线为 ∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， 在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小， ∴； （3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为， ∵顶点为在上， ∴， ∴平移后的抛物线为，顶点为， ∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1， ∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q， ∴， ∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方， ∴∠PCQ与∠CQP都是锐角， ∵是直角三角形， ∴∠CPQ=90°， ∴， ∴化简得， ∴p=1（舍去），或p=3或p=， 当p=3时，， 当p=时，， ∴点P坐标为或 （2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或 （2024济南章丘一模）25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE． （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度； （3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0）， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3． （2）令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：． ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵点D为线段BC上一点， ∴设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3）， ∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m． ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3． ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． ∵DE∥y轴， ∴∠EDB＝∠OCB＝45°， ∴点D不可能是直角的顶点． ①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F， ∵∠BDE＝45°，∠EBD＝90°， ∴∠DEB＝45°． ∴△BED为等腰直角三角形． ∴EF＝FD＝DE． ∵DF＝3﹣m． ∴3﹣m＝（﹣m2+3m）． 解得：m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）． ∴m＝2． ∴DE＝﹣22+3×2＝﹣4+6＝2． ②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合， ∴m＝1． ∴DE＝﹣12+3×1＝﹣1+3＝2． 综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2． （3）在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，理由： ∵A（1，0）， ∴OA＝1． ∴ABOB﹣OA＝2． ∴AC＝＝． 延长CP交x轴于点F，如图， 由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠AFC+∠FCB＝45°． ∵∠ACP＝45°， ∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°． ∴∠AFC＝∠ACB． ∵∠FAC＝∠CAB， ∴△AFC∽△ACB． ∴． ∴． ∴AF＝5． ∴OF＝OA+AF＝6， ∴F（6，0）． 设直线CF的解析式为y＝dx+e， ∴， 解得：． ∴直线FC的解析式为y＝x﹣3． ∴， 解得：，． ∴点P的坐标为（，﹣）． （2024济南长清二模）25. 如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； （3）如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 【解析】 分析】（1）把点和点代入，得到，解方程即可； （2）表示出三边平方，，，，当时，则，可得，解方程即可； （3）当在左侧时，证明，得到，即，即可求解；当在右侧时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线，与轴交于点和点，代入得： ，解得：， ； 【小问2详解】 解：可得， 当时，， ∴点， ∴， ， 当时， ∴， ∴， 解得：或（舍） ； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ，，， 过作于点，则， 如图2.1，当在左侧时， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 设，则， ， 即， 关于的方程有解，， 得且； 当与重合时，； 如图2.2，当在右侧时，中，，，即， 作交轴于点，则， ， ， 即为点时，， ， 综上，的变化范围为：． 类型三、等腰直角三角形存在性 Ⅰ、几何构造法：先做出等腰直角三角形，然后利用一线三等角全等求点坐标 推理1（两定一动）：A，B分别是x轴和y轴上的两个定点，C是第一象限内一点，使△ABC为等腰直角三角形 ①过A作AC⊥AB，且AB=AC，连接BC，点C即为使△ABC为等腰直角三角形的所求点 解法：围绕直角顶点A构造一线三等角全等，根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度，利用线段长度表示出点C坐标 ②过B作BC⊥AB，且AB=BC，连接AC，点C即为使△ABC为等腰直角三角形的所求点 解法：围绕直角顶点B构造一线三等角全等，根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度，利用线段长度表示出点C坐标 ③找一点C使得AC⊥BC且AC=BC，连接AC，BC，点C即为使△ABC为等腰直角三角形的所求点 解法：围绕直角顶点C构造一线三等角全等，设出对应边长度，利用矩形对边相等列方程组，解出对应边长度，表示出点C坐标 推理2（两动一定）：A是y轴上的一个定点，B是x轴上一点，C函数图像上一点，使△ABC为等腰直角三角形 ①利用等腰直角三角板，把直角放在点A处，旋转三角板，使得AC=AB，在x轴和反比例图像上做好点B，点C的位置标记，连接AC，AB，BC，此时△ABC即为以A为直角的等腰直角三角形 解法：根据B，C的位置特征分别设出B，C的坐标，围绕直角顶点A构造一线三等角全等，利用点坐标分别表示出全等三角形对应边的长度，利用全等三角形对应边相等列方程组可求出点B，点C的坐标 ②利用等腰直角三角板，把直角放在点B处，旋转三角板，使得AB=BC，在x轴和反比例图像上做好点B，点C的位置标记，连接AC，AB，BC，此时△ABC即为以B为直角的等腰直角三角形 解法：根据B，C的位置特征分别设出B，C的坐标，围绕直角顶点B构造一线三等角全等，利用点坐标分别表示出全等三角形对应边的长度，利用全等三角形对应边相等列方程组可求出点B，点C的坐标 ③利用等腰直角三角板，把直角放在点C处，旋转三角板，使得AC=BC，在x轴和反比例图像上做好点B，点C的位置标记，连接AC，AB，BC，此时△ABC即为以C为直角的等腰直角三角形 解法：根据B，C的位置特征分别设出B，C的坐标，围绕直角顶点C构造一线三等角全等，利用点坐标分别表示出全等三角形对应边的长度，利用全等三角形对应边相等列方程组可求出点B，点C的坐标 Ⅱ、代数构造法（等腰直角三角形腰相等，勾股定理a2+b2=c2确定直角） 解法：设C点坐标，然后利用距离公式表示出三条边AB，AC，BC的长度，再分类讨论三条线段两两相等和勾股定理a2+b2=c2列方程组，消元解方程组即可。此方法因计算太过繁琐，不推荐使用，只做了解 ①两定一动型 例1、二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【分析】（1）；（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等． 设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b， 由图可知：，解得：． 故D点坐标为（1,3）． 同理可求此时D点坐标为（3,2）． 思路2：等腰直角的一半还是等腰直角． 如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求． P点横坐标同D点，故可求得D点坐标． 【模考专练】 （2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． ②两动一定型 例2、例2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）． （1）求该抛物线的解析式． （2）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标． 【分析】 （1）； （2）①当∠POQ为直角时， 考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必为1，故P的纵坐标为±1．如下图，不难求出P点坐标． 设P点坐标为， 可得：． 解得：，，，（舍）． 如下图，对应P点坐标分别为、、． ②当∠OPQ为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN． 设P点坐标为， 则，QN=， ∴， 若，解得：，（舍）． 若，解得：，（舍）． 如下图，对应P点坐标分别为、． 例3、如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【答案】(1) (2)（1，-2） (3)（-1，0）或（，-2）或（，2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），   由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； （3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS），   ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴，   ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 【模考专练】 （2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积 ，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． （2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． （2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 类型四、其它三角形存在性 【等边三角形】 （2024莱芜一模）26．（12分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点B（﹣4，0），C（0，4）．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）当△PMD是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； （3）过点P作x轴的垂线PN，垂足为N，设直线MN交直线BC于点F，是否存在这样的m值，使MN＝2MF？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，过点B（﹣4，0）， ∴A（1，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+4）， 将C（0，4）代入得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）， 即：y＝﹣x2﹣3x+4， 把x＝﹣代入y＝﹣x2﹣3x+4得， ， ∴顶点D的坐标为（﹣，）； （2）∵点P的横坐坐标为m（m＞﹣）， ∴P（m，﹣m2﹣3m+4）， 设抛物线的对称轴交PM于E， ∵△PMD是等边三角形， ∴∠DPM＝60°，E（﹣，﹣m2﹣3m+4）， ∴DE＝﹣（﹣m2﹣3m+4）＝m2+3m+＝（m+）2， EP＝m+， 在Rt△PED中， ， ∴m＝﹣， ∴EP＝m+＝， ∴， ∴m的值为﹣，此时三角形的边长为； （3）存在， ∵B（﹣4，0），C（0，4）． ∴直线BC的解析式为y＝x+4， ∵P（m，﹣m2﹣3m+4），PM∥x轴， ∴M（﹣3﹣m，﹣m2﹣3m+4），N（m，0）． 当 时，点P在x轴的上方， ∵MN＝2MF， ∴点F为线段MN的中点， ∴， ， 将，代入y＝x+4整理得，m2+3m+1＝0， 解得 ，（不合题意，舍去）， 当m＞0时，如图，设线段NM的中点为R， ∴，， ∵MN＝2MF， ∴M为RF的中点， ∴，， ∴xF＝2xM﹣xR＝2（﹣3﹣m）+＝﹣﹣2m，yF＝2yM﹣yR＝2（﹣m2﹣3m+4）﹣＝﹣m2﹣m+6， ∴点F（﹣﹣2m，﹣m2﹣m+6）， 代入y＝x+4整理得，3m2+5m﹣13＝0， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上可知，存在这样的m值，使MN＝2MF，此时m的值为或 【锐角三角形】 （2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）∵， 顶点坐标为， 当时， 解得： ∴，则 ∵，则 ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴到的距离等于到的距离， ∵，，设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，    设的解析式为，将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为， 解得：或 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或； （3）①当时，如图所示，过点作交于点， 当点与点重合时，是直角三角形， 当时，是直角三角形，    设交于点， ∵直线的解析式为， 则， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ ∵是锐角三角形 ∴； 当时，如图所示， 同理可得 即∴ 解得：或（舍去） 由（2）可得时，    ∴ 综上所述，当是锐角三角形时，或． 【钝角三角形】 （2023•济南历城区二模）已知，如图，在平面直角坐标系中，、，把点绕原点逆时针旋转，使其落在轴负半轴点处，抛物线过、、三点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）把直线向上平移，平移后的直线交轴于点，交轴右侧的抛物线于点，连接、，若，求点的坐标； （3）点为直线上一个动点，设点的横坐标为，若以、、三点组成的三角形为钝角三角形，试求出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或或时，为钝角三角形 【详解】（1）， ， 点绕原点逆时针旋转到点， ， 将、，代入， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在轴右侧的抛物线上， ， ； （3）设直线的解析式为， ， ， ， 点横坐标为， ， 如图：过点作交于点，过点作交于点， ，，，， ， ， ， ， 当时，为钝角； 过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，为钝角； 当时，始终为钝角； 当或或时，为钝角三角形； 综上所述：或或时，为钝角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$