高频考点20 圆的相关证明与计算-【中考123】2025年中考数学总复习高频考点小卷（辽宁省专用）

高频考点20 圆的相关证明与计算 垂径定理及其推论,圆周角定理及其推论.切线的判定和性质 易错易混练 5.(新角度)如图,PA.PB分别与⊙0相切于点A.B,点 C.D分别在PA.PB上.且CD与。O相切于点E,若 1.(情况考虑不周)如图,AB是半圆0的直径,点C在半 △PCD的周长为8,/P=60*,则AB的长为( ) 圆0.上.若/ABC=50{*.则弦BC所对圆周角的度数为 ) A.40* B.50* C.40*或140 5题图 D. 50“或130 1题图 A.23 B.4 C.6 D.4③ 2.(不擅用切线的性质)如图,△ABC内接于0,直线EF 6.(2024.第21题,考点对点)如图,△ABC内接于⊙0 与⊙0相切于点B.若/C=40*,则/ABF= ( A=60*,E为BC的中点,点D在AC的延长线上,且 A.20d B.30 C.40o D.50* ED/BC. (1)求证:ED是。0的切线; (2)若ED=6v3.BC=10/3.求tanD的值 2题图 3题图 3.(对圆心角的概念理解不透彻)如图,量角器的直径与 。 含30*角的直角三角板ABC的斜边AB重合。D为A 6题图 上一点,作射线CD交AB于点E.若/BDE=130*,则点 E在量角器上所对应的读数为 ( ) A.20:160 B.30*.150{ C.40*.140 D.50*.130。 2中考对点练 4.如图,AD是0的直径,弦BC与AD交于点E,连接 AB.AC.CD.若AD平分 BAC. B=65*.则 BAC的 度数是 ) 4题图 A.40: B.45。 C.50。 D.55。 -35- 7.(与特殊四边形结合)如图,AE是半圆0的直径,D是 9.将“滚铁环”游戏抽象为数学问题,如图①,已知铁环 半圆O上不同于A.E的一点,作/FAD=乙DAE,过点 的半径0F为25cxm.设铁环的中心为0.铁环与水平 D作半圆0的切线,分别交射线AF和AE的延长线于 地面的接触点为F,推杆AB与铁环的接触点为A.推 点C,B. 杆AB与手的接触点为B,推杆AB长75cm,BG表示 (1)求证:CD1AF; 点B距离地面的高度 (1)当推杆AB与铁环相切时(如图①),切点A离地面 的高度AM为5cm,求FG的长; 时,四 (2)当推杆与铁环的接触点与点0在同一水平高度 边形0AGD是菱形 时,铁环容易向前滚动,移动推杆,使推杆的一端 从A处提升到与点0同一水平高度的点C处,推 杆的另一端从B处竖直上升到点D处,如图②,求 BD的长(参考数据:5~2.2). 7题图 9题图① 9题图② 8.如图①.在0中,点A是优狐BC上的一点,AV.B/分 别平分乙BAC和乙ABC,延长A1交⊙0于点D.连接 0D交BC于点E.连接BD (1)求证:0D1BC: (2)求证:DB-D: (3)若BC=24,tan20BC=,当B,0,1三点共线时, 6 如图②.过点D作DG/BL.交⊙0于点G.求DC 的长 D 8题图① 8题图② -36- 考法创新练 11.(新考法)【材料阅读 材料1 10.(动点问题)已知AB是0的直径,C是⊙0上一点 材料2 以角内一点为圆心画圆,若 过点C作⊙0的切线与AB的延长线相交于点P. 有一个圆分别和一个三角形 圆与该角的两边相交所截 D是⊙0上一动点,且CD与AB相交于点E 的三条边各有两个交点,截 的两条弦相等,则这一点在 (1)如图①,连接AD,若/P=40*. 得的三条弦相等,我们把这 该角的平分线上.如图①.P ①求乙ADC的度数: 个圆叫做这个三角形的“等 为乙MON内一点,。P在射 ②当△ADE是等腰三角形时,请直接写出乙PCD 弦圆”。如图②.⊙0与△ABC 线OM,ON上截得弦AB. 的度数; 的边分别交于点D,E,F.G CD.且AB=CD,则点P在 H.I.且 DE=FG=HI,则0 (2)如图②,当D是AB的中点时,求证:PC=PE 乙MON的平分线上 是△ABC的等弦圆 M ,0 11题图① 11题图② 10题图① 10题图② 10题备用图 【问题解决】 (1)下列说法正确的是 ___.(填序号) ①一个三角形的等弦圆的圆心是这个三角形的 内心; ②一个三角形有无数个等弦圆; ③边长为4的等边三角形的等弦圆的半径长 为4 (2)如图③.0是Rt△ABC的等弦圆,且经过直角 顶点B.交AC于点D.E.交AB于另一点F.交BC 于另一点G. ①求证:AF=AD; ②若AD·CE=8.求劣孤DE的长 11题图③(2)解：①菱形 ②如答图，过点E作EG⊥BC,交BC的延长线于点G, EG即为EF与BC之间的距离. 由题意可得HC=40,BC=30,BE=DC=80, ∴HB=√HC2+BC2=50. BC-跳，即C-80,EG=64,易得HC//EG,∴△BCH∽△BGE, 即EF与BC之间的距离为64 cm. Ar D E F Hk P C iGB 17题答图 18.解：(1)答案一：选择甲方案，甲方案可以得到四边形 BEDF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC,AB=CD,AB//CD,∴∠BAE=∠DCF. 又∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF, ∴BE=DF,∠BEA=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE//DF,∴四边形 BEDF是平行四边形. 答案二：选择乙方案，乙方案可以得到四边形 BEDF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,AD=BC,∴∠BCE=∠DAF. 由垂直平分线的性质可得BE=CE,DF=AF, ∴∠EBC=∠BCE=∠DAF=∠ADF,∴△BEC≌△DFA, ∴BE=DF,∠BEC=∠DFA,∴ BE//DF,∴四边形 BEDF是平行四边形. OE=2EF,0A=2AC.(2)连接BD交AC于点0,则 AC=3,∴OA=3,B=2,S=2,∴S△BoD=2SAp=4,∴S△DEP=2S△Eop=8, ∴S平行四边形BEDR=2S△DEr=16. 高频考点 20 圆的相关证明与计算 1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.(1)证明：如答图，连接OE. ∵E为BC的中点，∴OE⊥BC. ∵ED//BC,∴OE⊥ED. ∵OE是⊙0的半径，∴ED是⊙0的切线. (2)解：如答图，连接CE,AE.设OE交BC于点F. ∵E为BC的中点，∠BAC=60°, ∴BF=CF=BC=53,∠BCE=∠BAE=2∠BAC=30°, EF=FCx tan30°=5√3×3=5. 过点C作CG⊥ED,垂足为G,则四边形 FEGC为矩形， ∴EF=CG=5,FC=EG=5√3. ∵ED=63,∴GD=ED-EG=6√3-5√3=√3, tmD=G-方-533 A O+ (cB F GDE 6题答图 参考答案 第42页(共47页) 7.(1)证明：连接OD,则OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD. 又∵∠FAD=∠DAE, ∴∠ODA=∠FAD, ∴OD//AC. ∵DC是半圆0的切线，∴OD⊥DC, ∴CD⊥AF. AC=4,0A=0E,B=3(2)解： ∵OD//AC,∴△BOD∽△BAC, AC=B,即=3..oD=号， 号即半圆0的半径是 2(3)解： 8.(1)证明：如答图①,连接OB,OC,DC. ∵AI平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∴∠BOD=∠COD, ∴DB=DC. 又∵OB=0C, ∴OD⊥BC. (2)证明：设∠BAC=2α,∠ABC=2β, 由(1)知∠BAD=∠CAD=α. ∵BI平分∠ABC, ∴∠ABI=∠CBI=β. 又∵∠CBD=∠CAD=α, ∴∠DBI=∠CBI+∠CBD=β+α. 又∵∠DIB=∠BAD+∠ABI=α+β, ∴∠DBI=∠DIB,∴DB=DI. (3)解：如答图②,延长DO交⊙0于点F,连接FG. 由(1)知OD垂直平分BC. ∵BC=24,:BE=2BC=2×24=12. 在Rt△OEB中，an∠OBE=E=9=5, ∴OE=5, ∴OB=√122+52=13, ∴DF=2OB=26. A 0I B cE D 8题答图① F A 0 i cB E G D 8题答图② 参考答案 第43页(共47页) ∵DG//BI,∴∠FDG=∠BOE. ∵FD是⊙0的直径， ∴∠DGF=90°=∠OEB, ∴△DGF～△OEB, -,即号=3,,解得DG=10. 9.解：(1)如答图①,过点A作FG的平行线， 分别交OF,BG于点H,I,则四边形HFGI,HFMA均是矩形， ∴OH=0F-HF=0F-AM=25-5=20,∴HA=√OA2-OH2=15. ∵AB是⊙0的切线，∴∠0AB=90°, ∴∠OAH+∠BAI=90°=∠OAH+∠AOH,∴∠BAI=∠AOH. 又∵∠OHA=∠AIB=90°,∴△OHA∽△AIB, A=,即号=20,,∴AI=60,∴FG=H=HA+AI=15+60=75(cm). B 0 A IH FM G 9题答图① (2)如答图②,延长OC交DG于点P,过点A作FG的平行线，分别交OF,BG于点H,I, 则四边形OFGP,AMGI均是矩形， ∴CP=0P-OC=FG-OC=75-25=50. 在Rt△CPD中，DP=√CD2-CP2=√752-502=25√5≈55. 在Rt△AIB中，IB=√AB2-AP2=√752-602=45. ∵BG=BI+IG=BI+AM=45+5=50, DG=DP+PG=DP+0F=55+25=80, ∴BD=DG-BG=80-50=30(cm). D B C0 P 、A.H I M GF 9题答图② 10.(1)解：①如答图①,连接OC. ∵PC是⊙0的切线，∴PC⊥OC,即∠OCP=90°, ∴∠AOC=90°+40°=130°, ∴∠ADC=2∠AOC=65° ②75°,82.5°或90°. [解析]当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论.a.当AD =AE时，∠AED =∠ADE=65°, ∴∠PEC=∠AED=65°,∴∠PCD=180°-∠PEC-∠P=75°;b.当DA=DE时，∠AED=∠DAE= 2×(180°-65°)=57.5°,:∠PEC=∠AED=57.5°,:∠PCD=180°-∠PEC-∠P=82.5°;c.当 EA=ED时，∠DAE=∠ADE=65°,∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=50°,∴∠PEC=∠AED= 50°,∴∠PCD=180°-∠PEC-∠P=90°. (2)证明：如答图②,连接OC,OD. 易知∠OCP=90°,∴∠PCE+∠OCE=90°. ∵D是AB的中点，∴∠AOD=∠BOD=90°,∴∠OED+∠ODE=90°. ∵OC=OD,∴∠ODE=∠OCE,∴∠OED=∠PCE. 又∵∠OED=∠PEC,∴∠PCE=∠PEC,∴PC=PE. C A PE B0 D 10题答图① C A PB0 E D 10题答图② 参考答案 第44页(共47页) 11.(1)解：①② (2)①证明：如答图①,连接BE,BD,EF. ∵BF=DE,∴∠BEF=∠DBE 又∵∠BFE=∠BDE,BE=BE,∴△BFE≌△EDB,∴∠FBE=∠DEB, ∴AB=AE,∴AB-BF=AE-DE,即AF=AD. ②解：如答图②,连接OD,OE,OF,OG,OB. ∵∠FBG=90°, ∴FG是直径. 又∵BF=BG=DE,∴∠DOE=∠BOF=∠BOG=90°. 同①中思路可证EC=GC. 设AF=AD=x,EC=GC=y,BF=BG=DE=m, 则AB=x+m,BC=y+m,AC=x+y+m. ∵AB2+BC2=AC2,∴(x+m)2+(y+m)2=(x+y+m)2, 整理，得2xy=m2. ∵AD·CE=8,∴2xy=16,∴DE=m=4, ∴:OD=OE=2DE=2√2 90×18×22=2m∴劣弧DE的长为 A D F E.0 CB G 11题答图① A D F EO CB G 11题答图② 高频考点21 弧长、阴影部分面积及圆锥的相关计算 4.4+3π 5.3π-2√3 6.6π 7.2√2 8.3m-159.4π 10.25 11.100π1.C 2.A 3.B 高频考点22 尺规作图 1.B 2.D 3.D 4.D 5.A 6.D 7.解：(1)如答图，O0即为所求.(作法不唯一，正确即可) A 0 * B C 7题答图 (2)由作图可知BA与⊙0相切于点A,BO平分∠ABC, ∴∠BAO=90°,∠ABO=2∠ABC=30°,:AO=AB·tan30°=√3. 高频考点23 几何体的三视图与对称图形的识别 1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.A 高频考点24 调查方式、数据分析 1.B 2.B 3.A 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B 11.C 12.B 13.87 14.C 15.D 参考答案 第45页(共47页)