高频考点17 全等三角形与相似三角形(含位似)-【中考123】2025年中考数学总复习高频考点小卷（辽宁省专用）

高频考点17 全等三角形与相似三角形(含位似) (7,) 7.(6-2a,-2b)1.A 2.3:5 3.B 4.B 5.2:56.(2,0)或( 8.(1)证明：∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, ∴∠A=∠CBE=∠D=90°,∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°, ∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB. (2)解:由(1)知△ABC一△DEB,龄=B=4.BD=3 9.(1)解：0<AP<3 (2)证明：∵BE⊥CD,∠E=∠A=60°, ∴∠DMP=∠EMC=90°-60°=30°. 又∵∠D=180°-∠A=120°, ∴∠DPM=180°-120°-30°=30°=∠DMP, ∴DP=DM. 又∵AD=CD,∴AP=CM. 又∵EP=AP,∴.EP=CM. 又∵∠C=∠E=60°,BE=BA=BC, ∴△BCM≌△BEP. (3)解：AP的长为12-6√3或3√3+3. [解析]分两种情况讨论.①当PE⊥AB时，如答图①,延长EP交AB于点F,设BE交AD于点G,则 LEPD=∠APF=90°-60°=30°,∴∠BGP=60°+30°=90°,即BE⊥AD,∴BG=ABsin 60°=6×3 =3√3,∴EG=6-3√3,∴AP=PE=2EG=12-6√3;②当PE⊥BC时，如答图②,设PE交BC于点H, 则∠HBE=90°-60°=30°,∴HE=BE=3,BH=BE=3√3,∠ABE=120°+30°=150°,:∠PBE =75°,∴∠PBH=45°,∴PH=BH=3√3,∴AP=EP=PH+HE=3√3+3.综上可知，当PE与菱形 ABCD的一边垂直时，AP的长为12-6√3或3√3+3. EP DA. GF B C 9题答图① D PA CB H E 9题答图② 10.(1)证明：∵△ABC≌△DEC,∴AC=DC. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=DC. ∵CB平分∠ACD,∴∠DCB=∠ACB,∴∠ABC=∠DCB,∴AB//CD, ∴四边形ABDC是平行四边形. ∵AB=AC,∴四边形ABDC是菱形. (2)解：∠ACE+∠EFC=180°. 证明：∵△ABC≌△DEC,∴∠ABC=∠DEC. 参考答案 第36页(共47页) ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ACB=∠DEC. ∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°,∴∠CEF=∠ACF. ∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°,∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°,∴∠ACE+∠EFC=180°. (3)解：如答图，在AD上取点M,使AM=BC,连接BM. BM= LDC,在△AMB和△CBD中， ∴△AMB≌△CBD(SAS), ∴BM=DB,∠ABM=∠CDB, EC B A2 M D 10题答图 ∴∠BMD=∠BDM. ∵∠BMD=∠BAD+∠MBA,∴∠ADB=∠BCD+∠BDC. 设∠BCD=∠BAD=α,∠BDC=β,则∠ADB=α+β. ∵CA=CD,∴∠CAD=∠CDA=α+2β, ∴∠BAC=∠CAD-∠BAD=2β, ∴∠ACB=2×(180°-2β)=90°-β,:∠ACD=90°-β+a. ∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°, ∴90°-β+α+α+2β+α+2β=180°, ∴α+β=30°,即∠ADB=30°. 11.解：(1)告=3 DE=-AD=4,DG=2DC=AB=3.(2)不变.证明：∵E,G分别是AD,DC的中点，. C=6=4.C=G 又：∠ADE=∠CDG,:△ADEM△CDG,CG=CD=3 313+3313-3(3)CG的长为 [解析]分两种情况讨论.①当点E在线段AF上时，如答图①,过点D作DH⊥AE于点H.∵DG// EF,∴∠AED=∠GDE=60°,∴DH=DE·sin 60°=2√3,HE=DE·cos 60°=2,∴AH=√AD2-DH2 =√82-(2√3)2=2√13,∴AE=AH+HE=2√13+2,:.CG=3AE=3√13+3;②当点E在线段 AF的延长线上时，如答图②,过点D作DMIAE,交AE的延长线于点M.∵DG//EF,∴∠MED= ∠GDE=60°,∴DM =DE·sin 60°=2√3,ME=DE·cos 60°=2,∴AM= √AD2-DM2= √82-(2/3)2=2√13,.AE=AM-ME=2√13-2,.c=3AE=3√3-3.综上可知，CG的长 为33+3或33-3 DA G H E FB C 11题答图① M E. F A D G B C 11题答图② 参考答案 第37页(共47页) 12.57.5 13.解：根据题意可知MN=8,BC=32. 过点A作AD⊥BC于点D,交MN于点E. AD=BC,即A=32,∵MN//BC,∴AE⊥MN,△AMN∽△ABC,∴ ,∴AD=24,∴DE=AD-AE=18. 故这条景观河的宽度为18米. 高频考点18 锐角三角函数的实际应用 1.12 2.解：如答图，过点E分别作EM⊥BC交BC的延长线于点M,EN1 AB于点N,则四边形 EMBN是矩形. 在Rt△CME中，∠ECM=37°,CE=20, ∴MC=CE·cos∠ECM≈20×s=16, EM=CE·sin∠ECM~20×3=12, ∴BN=EM=12,EN=BM=MC+BC=16+30=46 在Rt△AEN中，∠AEN=30°, :AN=EN·tan∠AEN=46×3~26.1, ∴AB=AN+BN=26.1+12≈38. 答：大楼的高度约为38m. 4 D5.30° NE: 37° M C B 2题答图 3.解：如答图，过点C作CE⊥MB于点E,过点D作DF⊥MB于点F,过点C作CG⊥DF于点G, M则四边形 EFGC是矩形，∴FE=CG,CE//DF. GF∵∠MAC=75°,∠ACB=15°, E∴∠EBC=∠MAC-∠ACB=60°,∠ECA=180°-∠AEC-∠EAC=15°. CA 在Rt△ECB中，∠EBC=60°,BC=60 cm=0.6m, B ∴EB=BC·cosLEBC=0.6×2=0.3(m) ∵CE//DF,∴∠D=∠ECA=15°. 在Rt△CGD中，∠D=15°,CD=80 cm=0.8m, 3题答图 ∴EF=GC=CD·sin∠D=0.8×0.26≈0.21(m), ∴BF=EB+EF=0.3+0.21=0.51(m), ∴点D到地面的距离为0.51+5.14=5.65≈5.7(m). 答：点D到地面的距离约为5.7m. D 4.解：过点B作BD⊥EF于点D. ∵AE⊥OB,∠ABO=45°, ∴BO=AO=1.5m. 由题意可知四边形OBDE为矩形，则OE=BD,DE=BO=1.5m, ∴DN=DE-EN=1.5-1.2=0.3(m). 在Rt△BDN中， ∵∠BND=71°, ∴BD=DN·tan∠BND≈0.3×2.90=0.87(m), ∴AE=AO+OE=AO+BD=1.5+0.87≈2.4(m). 答：AE的高度约为2.4m. 参考答案 第38页(共47页) 高频考点17全等三角形与相似三角形（含位似） 全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，位似 倒易错易混练 线段OA,AB上的点.将△OAB沿CD折叠后，点A恰 好落在x轴上的点E处.若△OCE与△OAB相似，则 1.(误用“SSA”判定三角形全等)如图，AB=AC,要说明 点E的坐标为 △AEB≌△ADC,需添加的条件不能是 A.BE =CD B.AE=AD C.∠B=∠C D.∠AEB=∠ADC 6题图 7题图 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C的相似 比为1：2，点A是位似中心，已知点A(2,0),点 1题图 2题图 C(a,b),∠C=90°，则点C'的坐标为 ·(结果 2.(混淆“平行线分线段成比例”与“相似三角形对应边 用含a,b的式子表示)》 成比例”)如图，在△ABC中，DE∥AB,且AE:EC= 8.如图，CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点，且 CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4 2:3,则DE:AB= (1)证明：△ABC∽△DEB: ②中考对点练 (2)求线段BD的长 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥AE于 点D,CE⊥AE于点E.若CE=1,BD=5,则DE的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 8题图 3题图 4题图 5题图 4.(2024,第13题，考点对点)如图，已知正方形ABCD. E为BC的中点，连接ED交AC于点F,则SDe:S版 的值为 A c D.g 5.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图 形.若OA:AD=2:3,则△ABC与△DEF的周长比是 6.(多解问题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的 顶点B在x轴正半轴上，OA=6,OB=10,C,D分别是 -26 9.(动点+折叠的综合探究，新角度)如图，在菱形ABCD 10.(与三角形有关的图形变换)已知△ABC≌△DEC,AB 中，∠A=60°，AB=6,点P从点A出发，沿射线AD运 =AC,AB>BC. 动，将△ABP沿BP翻折，得到△EBP,当点A的对应 (1)如图①，CB平分∠ACD,求证：四边形ABDC是 点E运动到射线AB上时，点P停止运动， 菱形： (1)如图①，当点E在AD上方时，AP的长的取值范围 (2)如图②，将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转 为 (旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点 (2)当BE⊥CD时，如图②，设PE与CD交于点M,连 F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系， 接BM,求证：△BCM≌△BEP; 并证明： (3)在点P移动的过程中，当PE与菱形ABCD的一边 (3)如图③，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转 垂直时，请直接写出AP的长 (旋转角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求 ∠ADB的度数， A 9题图① 9题图② 10题图①D 10题图② 10题图③ 9题备用图① 9题备用图② —27 11.(旋转+类比探究，新考法) 感考法创新练 【问题背景】如图①，在口ABCD中，∠B=60°，AB=6. 12.(数学文化，新课标)《九章算术》中记载 D AD=8,E,G分别是AD,DC边的中点，过点E,G分别 了一种测量古井水面以上部分深度的方 作DC,AD的平行线，两线交于点F,显然，四边形 法：今有井径五尺，不知其深立五尺木于 DEFG是平行四边形 井上，从木末望水岸，入径四寸.问井深几 【独立思考】 何.大意为：示意图如图所示，有一口井的 (1)线段AE,CG的数量关系为 ； 直径为5尺，不知其深度.在井口B处立 C (2)将口DEFG绕点D逆时针旋转，在旋转过程中， 12题图 一根垂直于井口的木杆BD,其长为5尺， (1)中AE,CG的数量关系是否发生变化？若不 从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的 变，请就图②加以证明：若变化，请说明理由； 直径AB交于点E,且BE长为4寸，问古井水面以上 【问题解决】 部分深度AC是多少尺.通过计算可知，AC的长为 (3)在口DEFG旋转过程中，当A,E,F三点共线时， 尺（温馨提示：1尺=10寸） 请直接写出CG的长 13.(利用相似测河宽，新考法)古希腊思想家，科学家、 哲学家泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆 的高度、金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测 量原理用到了我们学过的图形的相似，小明也想利用 11题图① 11题图② 图形的相似知识测量家附近一条景观河（河两岸平 行)的宽度.如图，他站在距岸边6米的A处，此时河 两岸的树B,M的位置及A处在同一直线上，河两岸 的树C,N的位置及A处也在同一直线上，岸边的树 M,N是相邻的两棵树，河对岸的树B,C之间还有 11题备用图①D 11题备用图② 3棵树.已知岸边每相邻两棵树之间的距离都是8米， 请你帮助小明计算出这条景观河的宽度， 66母66 13题图 28