高频考点14 二次函数的综合应用-【中考123】2025年中考数学总复习高频考点小卷（辽宁省专用）

6.解：(1)以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,如答图所示.(建立平面 直角坐标系的方法不唯一) Y由题意知AB=10,0C=4,∴B(5,0),C(0,4). ct 设抛物线的解析式为y=ax2+4(a≠0), a=-45,将B(5,0)代入，得25a+4=0,解得 y=-245x2+4.∴抛物线的解析式为 y=25y=-245x2+4,当x=2时，(2)对于) 25-2.8=0.56>0.4,∴该游船能安全通过此拱桥. o BA 6题答图 高频考点14 二次函数的综合应用 1.解：(1)A(-1,0),B(4,0),C(0,4). (2)将C(0,4)向下平移至C',使CC'=PQ,连接BC'交抛物线的对称轴l于点Q,如答图. ∵CC'=PQ,CC'//PQ,∴四边形CC'QP是平行四边形， y4 ∴CP=C'Q, ∴CP+PQ+BQ=C'Q+PQ+BQ≥BC'+PQ ∵B,Q,C'三点共线， ∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值. ∵C(0,4),CC'=PQ=1,∴C'(0,3). ∵B(4,0),∴BC'=√32+42=5, ∴BC'+PQ=5+1=6,∴CP+PQ+BQ的最小值为6. 2.解：(1)∵A(1,0)且AB=4,∴B(-3,0), {e=2-3,{9-3b+c=0,解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)过点Q作QE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,如答图. 设P(m,0),则PA=1-m. B∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴C(-1,-4),CF=4 ∵PQ//BC,∴△PQA～△BCA, F=AB,即4=4m,∴QE=1-m, ∴Sc=Sma-Sarm=PA·CF-2PA·QE =2(1-m)×4-2(1-m)(1-m) =-(m+1)2+2. ∵-3≤m≤1,根据二次函数的性质，可知当m=-1时，S△cro有最大值为2, ∴△CPQ面积的最大值为2,此时点P的坐标为(-1,0). ck P C' Q A 0 N \B 1题答图 y F EP 0 A O C 2题答图 3.(1)解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 把A(-1,0),B(0,3),C(3,0)代入，得 8+解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 参考答案 第31页(共47页) (2)证明：∵四边形OBDC为正方形，∴∠OBC=∠DBC,BD=OB. ∵BF=BF,∴△BOF≌△BDF,∴∠BOF=∠BDF. (3)解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E, ∴令y=3,则3=-x2+2x+3,解得x?=0,x?=2,∴E(2,3). ①如答图①, 当M在线段BD的延长线上时， ∵∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角. ∵△MDF为等腰三角形， ∴DF=DM,∴∠M=∠DFM, ∴∠BDF=∠M+∠DFM=2∠M. ∵BM//OC,∴∠M=∠MOC.由(2)得∠BOF=∠BDF, ∴∠BDF+∠MOC=3∠M=90°,∴∠M=30°. 在Rt△BOM中， ∵∠M=30°,∴BO=2MO=3,即MO=6,∴BM=√MO2-BO2=3√3, ∴ME=BM-BE=3√3-2; ②如答图②, 当M在线段BD上时，∠DMF为钝角. ∵△MDF为等腰三角形，∴MF=DM,∴∠BDF=∠MFD, ∴∠BMO=∠BDF+∠MFD=2∠BDF.由(2)得∠BOF=∠BDF, ∴∠BMO=2∠BOM,∴∠BOM+∠BMO=3∠BOM=90°,∴∠BOM=30°. 在Rt△BOM中， y ED MB 下 o C 3题答图① y MEDB F o C 3题答图② ∵∠BOM=30°,:BM=2Mo 又∵BO2+BM2=MO2,即32+BM2=(2BM)2,解得BM=√3,∴ME=BE-BM=2-√3 综上所述，ME的长为3√3-2或2-√3. 4.解：(1)∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0), {e=3-,1,{a+6+c=0, ∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3∴A(-1,0),∴{ 解得 (2,3-2)或(233+2)或(4,1)或(-2,1).(2)存在.点F的坐标为| -()+6 e=3,解得{(2,-4)代入y=-x2+bx+c,得5.解：(1)将(0,3)和 ∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)设直线AB的解析式为y=kx+n(k≠0), 2m2(2,-4)代入，得 解得把(0,3)和( y=-2x+3.∴直线AB的解析式为 ,-2x+3=0,解得x=2,当y=0时， ∴点C的坐标为(2,0). ∵PD⊥x轴，PE//x轴，∴∠ACO=∠DEP,∠EPD=∠AOC=90°,∴Rt△DPE～Rt△AOC, 参考答案 第32页(共47页) P=o=2,⋯PE=3Pp,.PD+PE=sPD. (a,-2a+3),设点P的坐标为(a,-a2+2a+3),则点D的坐标为 PD=(-a2+2a+3)-(-3a+3)=-(a-4)+46 PD+PE=-3(a-4)+245 5<0,:当a=4 245时，PD+PE有最大值，为 (3,)(3,5)(3)点P的坐标为(2,3),点D的坐标为(2,0)或点P的坐标为| ,点D的坐标为 6.解：(1)当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0, 解得x?=-1,x?=2m+1. ∵点A在点B的左侧，m>0, ∴A(-1,0),B(2m+1,0). 当x=0时，y=2m+1, ∴C(0,2m+1), ∴OB=0C=2m+1. 又∵∠BOC=90°, ∴∠OBC=45°. (2)如答图，连接AE. ∵y=-x2+2mx+2m+1=-(x-m)2+(m+1)2, ∴D(m,(m+1)2),F(m,0), ∴DF=(m+1)2,0F=m,BF=m+1. ∵点A,点B关于对称轴对称， ∴AE=BE, ∴∠EAB=∠OBC=45°, ∴∠CEA=90°. ∵∠ACO=∠CBD,∠OCB=∠OBC, ∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACE=∠DBF. ∵EF//OC, ∴ tan∠ACE=CE=CE=oF=m+ ∵∠DFB=90°, tan∠DBF=PF=(m+1)2=m+1, m+1=m+1. 又∵m>0, ∴m=1. (3)0<m<3-1 7.解：(1)当x=0时，y=-4, ∴B(0,-4). 当y=0时，-3x-4=0,解得x=-3, y D Ck E A B 0 |F x 6题答图 参考答案 第33页(共47页) ∴A(-3,0). 将A(-3,0),B(0,-4)代入抛物线的解析式中， -3)+(-)×O+0-ma{得 y=582-2x-4.∴抛物线的解析式为 (2)E(6,3),在抛物线上. 8.解：(1)把A(-1,0),C(0,5)代入y=-x2+bx+c, {c=5,6+c=°’解得{e=5,得 ∴这条抛物线的解析式为y=-x2+4x+5. 令y=0,得-x2+4x+5=0,解得x?=5,x?=-1, ∴B(5,0),∴m=5. (2)∵抛物线的解析式为y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴抛物线的对称轴为x=2. 设D(x,-x2+4x+5), ∵DE//x轴， ∴E(4-x,-x2+4x+5). 由题意得四边形 DEFG是矩形， ∴四边形 DEFG的周长为 2EF+2DE=2(-x2+4x+5)+2[x-(4-x)]=-2x2+12x+2=-2(x-3)2+20, ∴当x=3时，四边形 DEFG的周长最大，此时点D的坐标为(3,8). (3)如答图，过点C作CH⊥对称轴于点H,过点N作NK⊥y轴于点K, 则∠NKC=∠MHC=90°. 由翻折的性质，得CN=CM,∠BCN=∠BCM ∵B(5,0),C(0,5), ∴OB=0C, ∴∠OCB=∠OBC=45°. ∵CH⊥对称轴于点H, ∴CH//x轴， ∴∠BCH=45°, ∴∠BCH=∠OCB, ∴∠NCK=∠MCH, ∴△MCH≌△NCK, ∴MH=NK,CH=CK. ∵抛物线的解析式为y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴抛物线的对称轴为x=2,M(2,9), ∴MH=9-5=4,CH=2, ∴NK=MH=4,CK=CH=2, ∴N(-4,3). 设直线BN的解析式为y=kx+n(k≠0), {5A+n=03∴ 解得 My P c H N< /K e B A 0 /P' 8题答图 参考答案 第34页(共47页) y=-x+5⋯Q(0,5)∴直线BN的解析式为： 设P(2,p), ∴PQ2=22+(p-3)=p2-3+6, BP2=(5-2)2+p2=9+p2, BQ2=52+(-3)=25 ①当∠BQP=90°时，如答图中点P所示，BP2=PQ2+BQ2, ∴9+p2=p2-3P+6+250, p=,解得1 (2,3);∴点P的坐标为( ②当∠QBP=90°时，如答图中点P'所示，P'Q2=BP'2+BQ2, p2-3P+69=9+p2+25, 解得p=-9, ∴点P'的坐标为(2,-9). (2,3))或(2,-9).综上所述，所有符合条件的点P的坐标为 9.解：(1)由抛物线的解析式y=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1),令y=0, 得-(x-3)(x+1)=0, 解得x?=-1,x?=3, 故点A,B的坐标分别为A(-1,0),B(3,0). (2)对于抛物线y=-x2+2x+3,其对称轴为x=-2×(-1=1. ∵P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m, ∴P(1,m). 将直线l与抛物线解析式联立， {=R-12x+3'解得{ {=-5,v=0或{得 故点C的坐标为(4,-5), ∴PA=√[1-(-1)]2+m2=√m2+4, PC=√(4-1)2+(-5-m)2=√m2+10m+34. 当PA=PC时，得m2+4=m2+10m+34, 解得m=-3. (3)a=4或a>5或a≤-1. 高频考点15 相交线与平行线、命题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.42°7.15°8.140°9.D 10.35°11.30 高频考点16 与三角形相关的计算 1.B 2.(1,√3)或(2,2√3)3.D 4.D 5.C 6.7或7-2√3 7.∠A=60°(答案不唯一) 8.5或号9.13 参考答案 第35页(共47页) 高频考点14 二次函数的综合应用 与线段有关的问题,与面积有关的问题,与角度有关的问题,与特殊四边形判定有关的问题 与三角形全等、相似有关的问题 中考对点练 3.(与特殊三角形判定有关的问题)已知抛物线经过 A(-1,0),B(0,3),C(3,0)三点,0为坐标原点,抛物 1.(与线段有关的问题)如图,抛物线y=-x2+3x+4与 线交正方形OBDC的边BD于点E,M为射线BD上一 x轴交于A.B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交 动点,连接OM,交BC于点F 于点C.抛物线的对称轴/与x轴交于点N.长为1的 (1)求抛物线的解析式 线段P0(点P位于点0的上方)在x轴上方的抛物线 (2)求证:乙BOF=乙BDF; 对称轴上运动 (3)是否存在点M,使△MDF为等腰三角形?若存在 (1)直接写出A,B,C三点的坐标; 求ME的长;若不存在,请说明理由 (2)求CP+P0+0B的最小值. 3题图 1题图 2.(与面积有关的问题)如图,抛物线y=x2+bx+c(b.c 是常数)的顶点为C,与x轴交于A.B两点,A(1.0). AB=4.P为线段AB上的动点,过点P作P0/BC交 AC于点0. 3题备用图 (1)求该抛物线的解析式; (2)求入CP0面积的最大值,并求此时点P的坐标 2题图 -20- 4.(与特殊四边形判定有关的问题)如图,抛物线v=ax②}+ 5.(与三角形全等、相似有关的问题)如图,已知抛物线 2x+c的对称轴是直线x=1.与x轴交于点A. =-+b+c经过A(0,3)和B(,-4)两点,直 B(3.0).与y轴交于点C.连接AC (1)求此抛物线的解析式 线AB与x轴相交于点C.P是直线AB上方的抛物线 (2)已知E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是 上的一个动点,PD1x轴交AB于点D 否存在点F,使以点B,C,E,F为顶点的四边形为 (1)求该抛物线的解析式; 矩形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在 (2)若PE//x轴交AB于点E,求PD+PE的最大值; 请说明理由. (3)若以A,P,D为顶点的三角形与△A0C相似,请直 接写出所有满足条件的点P,点D的坐标 4题图 5题图 -21 6.(与角度有关的问题)如图,二次函数v=-x2+2mx+ 考法创新练 2m+1(m是常数,且m>0)的图象与x轴交于A.B两 7.(与图形旋转有关的问题)如图,在平面直角坐标系 点(点A在点B的左侧).与y轴交于点C.顶点为D 其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接 中,直线y=- AC.BD. (1)求A.B.C三点的坐标(用数字或含m的式子表 示),并求之0BC的度数; (1)求此抛物线的解析式 (2)若乙ACO=乙CBD.求m的值 (2)若点C的坐标是(0.6),将△AC0绕着点C逆时 (3)若在第四象限内二次函数y=-x2}+2mx+2m+1 针旋转90*得到△ECF,点A的对应点是点E.写出 (m是常数,且m>0)的图象上,始终存在一点P 点E的坐标,并判断点E是否在此抛物线上 使得乙ACP=75*},请结合函数的图象,直接写出m 的取值范围 7题图 6题图 6题备用图 8.(与图形翻折、对称有关的问题)已知抛物线y三-x+ 9.(与平移有关的问题)已知抛物线y=-x}+2x+3与 x+c与x轴交于A(-1.0).B(m.0)两点,与v轴交 x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧) 于点C(0.5). (1)求点A,点B的坐标; (1)求b,c,m的值; (2)如图,过点A的直线l.v=-x-1与抛物线的另一 (2)如图①,D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动 个交点为点C.P为抛物线对称轴上的一点,连接 点,且点D在第一象限内,过点D作x轴的平行线 PA.PC.设点P的纵坐标为m.当PA=PC时,求m 交抛物线于点E,作v轴的平行线交x轴于点C 的值; 过点E作EF1x轴,垂足为点F,当四边形DEFG (3)将线段AB先向右平移1个单位长度,再向上平移 的周长最大时,求点D的坐标 5个单位长度,得到线段MV.若抛物线v=a(-x2+ (3)如图②.点M是抛物线的顶点.将△MBC沿BC翻 2x+3)(a≠0)与线段MN只有一个交点,请直接 折得到△NBC.NB与v轴交于点0.在对称输上找 写出a的取值范围 一点P,使得△P0B是以0B为直角边的直角三角 y 形,求出所有符合条件的点P的坐标 ) 8题图① 9题图 8题图②