期中重难点真题特训之易错必刷题型（95题40个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（95题40个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 易错必刷题二、利用算术平方根的非负性解题 3．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）若，则的立方根为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）已知实数满足关系式 (1)求的值； (2)若，且是整数，求的立方根． 易错必刷题三、实数的混合运算 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是有理数的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）计算 (1) (2) 易错必刷题四、实数与数轴 7．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 易错必刷题五、与算术平方根有关的规律探索题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（   ） x 15 225 x ①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 易错必刷题六、与实数运算相关的规律题 11．（23-24七年级下·河北沧州·期中）观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 易错必刷题七、新定义下的实数运算 13．（23-24七年级下·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 易错必刷题八、对顶角相等 15．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，与相交于点O，且，直线过点O，若，则的度数为（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 16．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，直线，相交于点，，平分． (1)的邻补角是___________，图中对顶角有___________对； (2)若，求的度数． 易错必刷题九、利用邻补角互补求角度 17．（24-25七年级下·云南楚雄·阶段练习）如图，平行线，被直线所截，，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）如图，直线，交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 易错必刷题十、垂线段最短 19．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（  ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 20．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）操作题： (1)如图1，要把水渠中的水引到点，在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． (2)只用直尺画出图2的方格纸上已知直线的垂线 易错必刷题十一、点到直线的距离 21．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 易错必刷题十二、同位角、内错角、同旁内角 23．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，下列说法中错误的是（   ） A．与是内错角 B．与是邻补角 C．与是同旁内角 D．与是同位角    24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点B，直线分别交于点． (1)写出上图中的所有内错角； (2)上图中的与是哪两条直线被哪一条直线所截形成的一组什么角？ 易错必刷题十三、平面内两直线的位置关系 25．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 易错必刷题十四、同位角相等、内错角相等两直线平行 27．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如下图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，平分，，试说明：． 28．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 易错必刷题十五、同旁内角互补两直线平行 29．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）填空：如图，，，图中哪些直线会平行？ 解：∵（已知）， ∴________________（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（________）， ∴________（________）， ∴（________）． 易错必刷题十六、写出命题的题设与结论 31．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法中正确的个数是（    ） ①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题 ②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ④同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 易错必刷题十七、图形的平移 33．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A．四钱纹样式 B．梅花纹样式 C．拟日纹样式 D．海棠纹样式 34．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，平移后得到，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应点和对应线段．    易错必刷题十八、用反证法证明命题 35．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 36．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 易错必刷题十九、利用平移的性质求解 37．（2025七年级下·全国·专题练习）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8 38．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移线段的长度得到直角三角形，已知，，求图中四边形的面积． 易错必刷题二十、利用平移解决实际问题 39．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在一个的网格中，个单位正方形已经被2张L形和1张田字形纸片互不重叠地占据．有4个形状的纸片，均由4个单位正方形所组成．将这4个形状的纸片平移，旋转，能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（   ） A．a B．b C．c D．d 40．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 易错必刷题二十一、写出直角坐标系中点的坐标 41．（2024·宁夏中卫·三模）如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为______； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为_____． 易错必刷题二十二、求点到坐标轴的距离 43．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，下列说法①点到轴的距离是2；②点到轴的距离是3；③轴；④；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 44．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知平面直角坐标系中有一点，若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 易错必刷题二十三、已知点所在的象限求参数 45．（2025七年级下·全国·专题练习）若点在第三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 46．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，则m的值为 ； (2)若点P位于第四象限，且点P到x轴的距离等于2，求点P的坐标． 易错必刷题二十四、坐标系中的对称 47．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）点和点在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)点、分别为点A、B关于y轴的对称点，请画出四边形，并写出、的坐标； (2)在（1）的条件下，过点A画一条直线与x轴正半轴相交，使该直线将四边形分成的两个图形中，有一个图形是轴对称图形． 48．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，已知∶ (1)写出点坐标为（ ， ）；点坐标为（ ， ）； 点坐标为（ ， ），并求出的面积； (2)作出关轴的对称图形； (3)把向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，则点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）． 易错必刷题二十五、实际问题中用坐标表示位置 49．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）小李、小明、小刚、小强、小华和小亮家的位置如图所示．小李说：“如果以我家为中心，你们家各自的位置在哪儿，知道吗？”其余小伙伴说：“当然知道了．”小李说：“这样吧，你们若回答出下列问题，就证明你们知道．” (1)南偏东方向上有谁家？ (2)小明家在小李家的什么方向上？ (3)距小李家图上距离为的地方有谁家？ (4)要确定每个小伙伴的家的位置，需要哪些数据？ 易错必刷题二十六、用方向角和距离确定物体的位置 51．（2024七年级下·云南·专题练习）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．北偏东方向上的1200米处 C．南偏西方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 52．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）算一算，并在平面图上标出三人的位置． (1)红红在广场的北偏西方向300米处． (2)小力在广场的北偏东方向900米处． (3)小彬在广场的南偏西方向750米处． 易错必刷题二十七、根据方位描述确定物体的位置 53．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话 从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（  ） A．先向东走500米，再向南走100米 B．先向东走100米，再向南走500米 C．先向东走200米，再向南走300米 D．先向东走300米，再向南走200米 54．（23-24七年级下·福建三明·期中）这是一个动物园游览示意图，彤彤同学为了描述这个动物园图中每个景点位置建了一个平面直角坐标系，南门所在的点为坐标原点，回答下列问题： （1）用坐标表示狮子所在的点_____________； （2）动物园又新来了一位朋友大象，若它所在点的坐标为(3，﹣3)，请直接在图中标出大象所在的位置；（描出点，并写出大象二字） （3）若丽丽同学建了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系下，南门所在的点的坐标是(﹣4，-1)则此时坐标原点是_______所在的点，此时飞禽所在的点的坐标是______． 易错必刷题二十八、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 55．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．    (1)写出点A，B，C的坐标：A（________，________）；B（________，________）；C（________，________）； (2)若把三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（________，________）；（________，________）；（________，________）； (3)若三角形中有一点，则平移后对应点的坐标是（________，________） 易错必刷题二十九、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 57．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，三角形经过一定的平移得到三角形，如果三角形上的点P的坐标为，那么这个点在三角形上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到．    (1)请画出并写出点，，的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转90度得到，请画出． 易错必刷题三十、已知图形的平移，求点的坐标 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点A3向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 60．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)写出两点的坐标； (2)将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到，请画出，并直接写出、的坐标． 易错必刷题三十一、坐标系中的平移 61．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 62．（23-24七年级下·河南郑州·期中）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 易错必刷题三十二、算术平方根和立方根的综合应用 63．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 64．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 易错必刷题三十三、实数运算的实际应用 65．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 66．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 易错必刷题三十四、利用平行线间距离解决问题 67．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 68．（23-24六年级·上海·假期作业）梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米． 易错必刷题三十五、根据平行线的性质探究角的关系 69．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 70．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于”，当时是用“撕角”的办法来说明的．请你再用平行线的性质定理或判定定理说明其正确．如图，，，是的三个内角，说明． 易错必刷题三十六、根据平行线判定与性质求角度 71．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，已知，若，，求的度数． 72．（24-25七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．若，求的度数． 易错必刷题三十七、平行公理推论的应用 73．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知：，说明．    74．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点C，D，点A在直线上，且在点C的左侧，点B在直线上，且在点D的左侧，点Р是直线上的一个动点（点Р不与点C，D重合）．当点Р在点C，D之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 独立思考： (1)请解答老师提出的问题．实践探究： 勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点Р在C，D两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？ (2)如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出，，之间的数量关系． 易错必刷题三十八、根据平行线判定与性质证明 75．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，，且，试说明． 76．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 易错必刷题三十九、平行线的性质在生活中的应用 77．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 78．（23-24七年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 易错必刷题四十、平移综合题(几何变换) 79．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、，经一次平移后得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，其中的坐标为．    (1)平移的距离为______； (2)请画出平移后的； (3)若为边上的一个点，平移后点的对应点的坐标为______； (4)平移过程中，边扫过的面积为______； 80．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．    (1)写出点的坐标：（______，______）、（______，______）； (2)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请画出平移后的； (3)求的面积； (4)在轴正半轴上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）2025年2月13日，据猫眼专业版数据电影全球票房（含预售及海外）《哪吒之魔童闹海》突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影．如图是一张哪吒图片，下列哪张图片是通过平移得到的？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列命题中，是真命题是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．无限小数是无理数 D．点到直线的距离是垂线段 3．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）如图，添加下列条件，其中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·北京·期中）如图是北京地铁部分线路图．若祟文门站的坐标为，复兴门站的坐标为，则北海北站的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是（   ） A．2 B．0 C．1 D． 6．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）（1）用开平方法解，可得 ， ； （2）用开平方法解，可得其中一个一元一次方程是，另一个一元一次方程是 ． 7．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知直线，，，那么的度数是 ． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为 ． 9．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）某商场重新装修，准备在楼梯铺上地毯地毯厚度忽略不计如图是该楼梯的侧面截面图，长，高，若楼梯的宽度是，则该地毯的面积为 ． 10．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）阅读理解下面内容，并解决问题：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． （1）∵1000是两位数； （2）只有个位数是9的立方数是个位数依然是9，的个位数是9； （3）如果划去59319后面的三位319得到59，，．的十位数是3．所以，的立方根是39． 已知整数50653是整数的立方，则 ． 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）计算： (1) (2)． 12．（24-25七年级下·北京·阶段练习）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 14．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形； (2)三角形的面积为 (3)点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 15．（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（95题40个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】题主要考查了立方根，平方根，算术平方根，正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先根据立方根和平方根的定义得到关于a、b的值，再由绝对值的性质可求出c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是绝对值最小的数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 易错必刷题二、利用算术平方根的非负性解题 3．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）若，则的立方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：D． 4．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）已知实数满足关系式 (1)求的值； (2)若，且是整数，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． （2）解：∵， 又∵，且是整数， ， 由（1）得，， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是． 易错必刷题三、实数的混合运算 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，实数运算等知识，根据实数运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，为无理数，故本选项不符合题意； B、，为无理数，故本选项不符合题意； C、，2为有理数，故本选项符合题意； D、是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方解答即可． （2）去括号，化简绝对值计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方，去括号，化简绝对值，熟练掌握定义和运算法则是解题的关键． 易错必刷题四、实数与数轴 7．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，对应的点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴．先估计，进而得到的范围，在数轴上找到该点所在的区间即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴对应的点可能是点， 故选：D． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【答案】(1)； (2)2； (3)0． 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数与数轴： （1）根据题意可知，点A与原点的距离为该圆的周长，据此求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的运算法则求解即可； （3）根据题意只需要计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴ ， ∴的算术平方根为2； （3）解：由题意得按键表示的是． 易错必刷题五、与算术平方根有关的规律探索题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（   ） x 15 225 x ①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 【详解】解：①，故本选项正确，不符合题意； ②235的算术平方根比大，故本选项错误，符合题意； ③，故本选项错误，符合题意； ④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比 增大，故本选项错误，符合题意； 综上分析可知：错误的有3个． 故选：C． 10．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 易错必刷题六、与实数运算相关的规律题 11．（23-24七年级下·河北沧州·期中）观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 12．（24-25七年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查数字规律，求算术平方根，解题的关键是根据规律发现被开方数是几个连续的奇数和，结果为奇数的个数； （1）根据题目规律求解即可； （2）根据题目规律求解即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：∵到有个奇数， ∴． 易错必刷题七、新定义下的实数运算 13．（23-24七年级下·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 14．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 【答案】(1) (2)①的值为4，5，6，7，8；②所有满足条件的n的个数为21 【分析】本题考查无理数的估算，新定义，解答本题的关键是明确题意． （1）根据，即可写出相应的结果； （2）①根据，，即可写出相应的结果；②根据，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：①当时，， ∴的值为4，5，6，7，8． ②当时，， 的值为100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120． 所有满足条件的n的个数为21． 易错必刷题八、对顶角相等 15．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，与相交于点O，且，直线过点O，若，则的度数为（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线，垂直的定义，对顶角相等， 先根据对顶角相等得，再根据垂直的定义得，最后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 16．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，直线，相交于点，，平分． (1)的邻补角是___________，图中对顶角有___________对； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题主要考查垂直定义、对顶角、邻补角及角平分线的意义，熟练掌握垂直定义、对顶角、邻补角及角平分线的意义是解题的关键； （1）根据邻补角及对顶角的意义可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：的邻补角是，图中对顶角有与，与，共2对； 故答案为，2； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题九、利用邻补角互补求角度 17．（24-25七年级下·云南楚雄·阶段练习）如图，平行线，被直线所截，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，根据两直线平行，同位角相等可知，结合，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 又， ． 故选D． 18．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）如图，直线，交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义、角平分线的定义． （1）根据邻补角的定义求得，然后根据垂直的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义以及对顶角的性质求得，然后根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题十、垂线段最短 19．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（  ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，根据题意的分析，可以运用点到直线的距离的定义以及跳远比赛的规则作出分析和判断． 【详解】解：在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是线段的长度， 故选：C． 20．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）操作题： (1)如图1，要把水渠中的水引到点，在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． (2)只用直尺画出图2的方格纸上已知直线的垂线 【答案】(1)见详解，垂线段最短， (2)见详解 【分析】本题考查了垂线段最短，网格作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，过点C作，交于一定D，结合垂线段最短进行作答即可； （2）结合网格的特征，作已知直线的垂线，即可作答． 【详解】（1）解：渠岸的垂线段，如图所示： ∴理由是：线段中，垂线段最短； （2）解：直线如图所示： 易错必刷题十一、点到直线的距离 21．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解． 【详解】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意； 选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意． 故选：D． 22．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）借助网格，根据垂线的定义画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． （3）解：线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 易错必刷题十二、同位角、内错角、同旁内角 23．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，下列说法中错误的是（   ） A．与是内错角 B．与是邻补角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据三线八角的定义解答即可． 【详解】解：A．与是内错角，正确； B．与是邻补角，正确； C．与不是同旁内角，故错误；     D．与是同位角，正确； 故选C． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点B，直线分别交于点． (1)写出上图中的所有内错角； (2)上图中的与是哪两条直线被哪一条直线所截形成的一组什么角？ 【答案】(1)与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角； (2)与是直线和直线被直线所截形成的一组同旁内角． 【分析】本题主要考查内错角和同旁内角，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据内错角的定义进行判断即可； （2）根据同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角，与是一组内错角； （2）解：与是直线和直线被直线所截形成的一组同旁内角． 易错必刷题十三、平面内两直线的位置关系 25．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）CF；（3）3 【分析】（1）根据网格的特点即可作图，画出直线CD，CE，标出F点的位置； （2）根据点到直线的距离的定义即可判断； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】(1) 如图，直线CD，CE为所求，F点为所求； (2)由图可知，线段CF的长度是点C到AB的距离； 故答案为：CF； (3)△ABC的面积为3． 【点睛】此题主要考查直线、线段、垂线的作图，解题的关键是熟知垂线的定义． 易错必刷题十四、同位角相等、内错角相等两直线平行 27．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如下图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，平分，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行线判定，解题的关键是掌握平行线判定定理． 由角平分线得到，等量代换得到，即可证明． 【详解】解：平分， ． ， ， ． 28．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 易错必刷题十五、同旁内角互补两直线平行 29．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，由同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，不能判定，符合题意； C、，由同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，由内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B ． 30．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）填空：如图，，，图中哪些直线会平行？ 解：∵（已知）， ∴________________（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（________）， ∴________（________）， ∴（________）． 【答案】；；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．利用同旁内角互补，两直线平行证明，根据，，得出，根据同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 易错必刷题十六、写出命题的题设与结论 31．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法中正确的个数是（    ） ①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题 ②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ④同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据真假命题的定义，平行公理，平行线的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题，正确； ②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ④两直线平行，同旁内角互补，原说法不正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了真假命题的定义，平行公理，平行线的性质，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键． 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【分析】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【详解】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 易错必刷题十七、图形的平移 33．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A．四钱纹样式 B．梅花纹样式 C．拟日纹样式 D．海棠纹样式 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 34．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，平移后得到，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应点和对应线段．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平移的定义和相关概念； 根据平移后得到结合平移的相关概念可得答案． 【详解】解：如图，平移的方向是从点C到点G方向， 经测量可得，平移的距离为， 其中与E为对应点；B与F为对应点；C与G为对应点；与为对应线段；与为对应线段；与为对应线段．      易错必刷题十八、用反证法证明命题 35．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 36．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 易错必刷题十九、利用平移的性质求解 37．（2025七年级下·全国·专题练习）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 38．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移线段的长度得到直角三角形，已知，，求图中四边形的面积． 【答案】9 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．根据平移的性质可得，，在根据即可得到答案． 【详解】解：∵沿的方向平移距离得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即四边形的面积为9． 易错必刷题二十、利用平移解决实际问题 39．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在一个的网格中，个单位正方形已经被2张L形和1张田字形纸片互不重叠地占据．有4个形状的纸片，均由4个单位正方形所组成．将这4个形状的纸片平移，旋转，能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 把逆时针旋转，再平移即可． 【详解】解：把逆时针旋转，再通过平移可把原图中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠． 故选：D． 40．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 易错必刷题二十一、写出直角坐标系中点的坐标 41．（2024·宁夏中卫·三模）如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质”是解本题的关键．根据平行四边形对边平行且相等可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：的顶点A，B，D的坐标分别是， ， ∵轴，， 轴， ． 故选：D． 42．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为______； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点B的坐标为，点C的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标； （2）根据平移的性质即可将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，进而画出平移后的； （3）结合（2）根据点，可得平移后的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求，点A的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵点， ∴平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 易错必刷题二十二、求点到坐标轴的距离 43．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，下列说法①点到轴的距离是2；②点到轴的距离是3；③轴；④；其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形及点到坐标轴的距离，掌握平面直角坐标系中坐标与图形及点到坐标轴的距离是关键．根据平面直角坐标系中坐标与图形及点到坐标轴的距离进行判断． 【详解】解：①点到轴的距离是，故①错误； ②点到轴的距离是，故②正确； ③点，的纵坐标相同，轴，故③错误； ④，故④正确； 所以正确的有2个． 故选：B． 44．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知平面直角坐标系中有一点，若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 【答案】或 【分析】根据题意，得，去绝对值，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解距离的内涵是解题的关键． 【详解】解：，且点M到y轴的距离为2， 则， 故或 故或． 易错必刷题二十三、已知点所在的象限求参数 45．（2025七年级下·全国·专题练习）若点在第三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征以及各象限角平分线上的点的特征是解题的关键．根据第三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等解答． 【详解】解：点在第三象限的角平分线上， 解得． 故选B． 46．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，则m的值为 ； (2)若点P位于第四象限，且点P到x轴的距离等于2，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据轴上的点的纵坐标为0可得答案； （2）因为点在第四象限，点到轴的距离为2，点的纵坐标是，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． 故答案为：3； （2）解：点位于第四象限， ，， 点到轴的距离为2， ， 解得， ． 易错必刷题二十四、坐标系中的对称 47．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）点和点在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)点、分别为点A、B关于y轴的对称点，请画出四边形，并写出、的坐标； (2)在（1）的条件下，过点A画一条直线与x轴正半轴相交，使该直线将四边形分成的两个图形中，有一个图形是轴对称图形． 【答案】(1)作图见解析；； (2)作图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，轴对称图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系的相关知识点是解本题的关键． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征即可表示、的坐标，然后描点连线作图即可； （2）过点作，交轴于点，等腰是轴对称图形． 【详解】（1）解：如图所示，，． （2）解：如图所示，直线即为所求． 48．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，已知∶ (1)写出点坐标为（ ， ）；点坐标为（ ， ）； 点坐标为（ ， ），并求出的面积； (2)作出关轴的对称图形； (3)把向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，则点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）． 【答案】(1) ； ；  ，的面积 (2)见解析 (3)，，． 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标系中轴对称变换与平移. 熟练掌握轴对称的作图方法，以及平移的点的变化规律，是解题的关键． （1）根据坐标系即可得出点的坐标； （2）根据对称的性质找出对应点，再描点连线画出即可； （3）根据平移规则，找出对应点，画出，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：写出点A坐标为；点B坐标为； 点C坐标为， 的面积； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 由图可知：点坐标为，点坐标为，坐标为． 易错必刷题二十五、实际问题中用坐标表示位置 49．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标． 根据A，B两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为， ∴B点向右移动3位即为原点的位置， ∴点的坐标为， 故选：A． 50．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）小李、小明、小刚、小强、小华和小亮家的位置如图所示．小李说：“如果以我家为中心，你们家各自的位置在哪儿，知道吗？”其余小伙伴说：“当然知道了．”小李说：“这样吧，你们若回答出下列问题，就证明你们知道．” (1)南偏东方向上有谁家？ (2)小明家在小李家的什么方向上？ (3)距小李家图上距离为的地方有谁家？ (4)要确定每个小伙伴的家的位置，需要哪些数据？ 【答案】(1)南偏东方向上有小刚家和小亮家 (2)小明家在小李家的北偏东方向上 (3)距小李家图上距离为的地方有小刚家和小强家 (4)要确定每个小伙伴的家的位置，需要各家相对于小李家的方向及与小李家的距离． 【分析】（1）根据方向角的定义即可得到南偏东的方向上有小刚家和小亮家；根据平面内的点与有序实数对一一对应，所以要确定小刚家的位置，还需要知道小刚家与小华家的距离； （2）先在图中找出小明家的位置，再运用方向角的定义即可求解； （3）观察图象易得距小李家图上距离为处的地方有小刚家和小强家； （4）根据平面内的点与有序实数对一一对应求解． 本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．会利用两点间的距离公式计算线段的长． 【详解】（1）解：南偏东的方向上有小刚家和小亮家； （2）小明家在小李家的北偏东方向上； （3）距小李家图上距离为处的地方有小刚家和小强家； （4）确定他们每个小伙伴的家的位置，需要各家相对于小李家的方向和与小李家的距离． 易错必刷题二十六、用方向角和距离确定物体的位置 51．（2024七年级下·云南·专题练习）如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．北偏东方向上的1200米处 C．南偏西方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：用点表示小明家，点表示学校，射线表示正北方向，过的直线表示南北方向， ， ∵， ∴， ∴小明家相对于学校的位置为南偏西方向上的1200米处， 故选：C． 52．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）算一算，并在平面图上标出三人的位置． (1)红红在广场的北偏西方向300米处． (2)小力在广场的北偏东方向900米处． (3)小彬在广场的南偏西方向750米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握平面中方位角和距离确定位置的方法．根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：红红所在的位置为，如图： （2）解：小力所在的位置为，如图； （3）解：小彬所在位置为，如图． 易错必刷题二十七、根据方位描述确定物体的位置 53．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话 从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（  ） A．先向东走500米，再向南走100米 B．先向东走100米，再向南走500米 C．先向东走200米，再向南走300米 D．先向东走300米，再向南走200米 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，先根据对话话确定出生活超市与电影院的位置，再根据图形解答即可． 【详解】解：依题意，小明能从生活超市走到电影院的路线是先向东走500米，再向南走100米 故选：A． 54．（23-24七年级下·福建三明·期中）这是一个动物园游览示意图，彤彤同学为了描述这个动物园图中每个景点位置建了一个平面直角坐标系，南门所在的点为坐标原点，回答下列问题： （1）用坐标表示狮子所在的点_____________； （2）动物园又新来了一位朋友大象，若它所在点的坐标为(3，﹣3)，请直接在图中标出大象所在的位置；（描出点，并写出大象二字） （3）若丽丽同学建了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系下，南门所在的点的坐标是(﹣4，-1)则此时坐标原点是_______所在的点，此时飞禽所在的点的坐标是______． 【答案】（1）（-4，5）；（2）见解析；（3）两栖动物，（-1，3） 【分析】（1）直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出答案； （2）利用已知平面直角坐标系得出大象的位置； （3）利用飞禽所在的点的坐标是（-4，-1）得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：（1）狮子所在的点为（-4，5）； （2）如图所示： （3）∵南门所在的点的坐标是(﹣4，-1) ∴两栖动物所在位置为原点 ∴飞禽所在的位置坐标是（-1，3） 故答案为：（1）（-4，5）；（3）两栖动物，（-1，3） 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 易错必刷题二十八、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 55．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 56．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上．    (1)写出点A，B，C的坐标：A（________，________）；B（________，________）；C（________，________）； (2)若把三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标：（________，________）；（________，________）；（________，________）； (3)若三角形中有一点，则平移后对应点的坐标是（________，________） 【答案】(1)，1；； (2)图见解析；0，4；；4；0 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换性质． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （3）利用（1）中的平移规律，把P点的横坐标加2，纵坐标加3得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图形得，，， 故答案为：，1；；； （2）解：三角形，如图所示，    由图形得，，； 故答案为：0，4；；4；0； （3）解：∵点，∴， 故答案为：． 易错必刷题二十九、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 57．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，三角形经过一定的平移得到三角形，如果三角形上的点P的坐标为，那么这个点在三角形上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形平移，解题的关键是掌握图形平移和图形上的每个点的平移之间的关联．从图中三角形三个顶点的坐标，求出平移的方法，从而得到的坐标． 【详解】解：从图上看，经过先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以点也是经过这样的平移得到，即点向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点， 所以对应点的坐标为， 故选：B． 58．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到．    (1)请画出并写出点，，的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转90度得到，请画出． 【答案】(1)见解析；，，； (2)如（1）图，即为所求． 【分析】本题主要查了图形的变换—平移和旋转： （1）根据平移的性质解答，即可求解； （2）根据旋转的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到， 如图，即为所求；   ，，，； （2）解：如图，即为所求． 易错必刷题三十、已知图形的平移，求点的坐标 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点A3向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化，根据题意得出点的横坐标的变化规律是解题的关键． 根据题意得出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，按这个规律平移得到点，则的横坐标为，即可得到答案 【详解】解：根据题意得的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 按这个规律平移得到点，则的横坐标为， 按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为， 故选：B ． 60．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)写出两点的坐标； (2)将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到，请画出，并直接写出、的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析，， 【分析】本题主要考查坐标与图形，图形的平移，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的规律即可作图，根据图示即可写出坐标． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系的图示可得，，； （2）解：如图所示： ∴，． 易错必刷题三十一、坐标系中的平移 61．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形．根据题意得出的纵坐标为，根据，得出点的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴则点的坐标为或， 故选：D． 62．（23-24七年级下·河南郑州·期中）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，“宝藏”点的坐标为 【分析】（）根据点的坐标找到原点的位置，再画出平面直角坐标系即可； （）根据平移找到原点位置，再画出平面直角坐标系即可； 本题考查了坐标与图形，坐标的平移，根据已知点找到原点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：确定的平面直角坐标系如图所示： （2）解：确定的平面直角坐标系如图所示，此时“宝藏”点的坐标为． 易错必刷题三十二、算术平方根和立方根的综合应用 63．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的相关知识点，根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴ ∵是的立方根， ∴ 由①②得： ∴ ∴的平方根为 64．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 易错必刷题三十三、实数运算的实际应用 65．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 66．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 易错必刷题三十四、利用平行线间距离解决问题 67．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 68．（23-24六年级·上海·假期作业）梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米． 【答案】三角形的面积是平方厘米 【分析】四边形是梯形，可知，在梯形中，，在梯形中，，根据题意可知，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴平行线间的距离相等，即三角形的高相等， ∴在梯形中，；在梯形中，；在梯形中，，且， ∴， ∴， ∴三角形的面积是平方厘米． 【点睛】本题主要考查梯形，三角形的综合，掌握平行线间的距离相等，三角形的面积则相等，代数式中等量代换的计算方法等知识是解题的关键． 易错必刷题三十五、根据平行线的性质探究角的关系 69．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，，再根据折叠可知即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，延长至， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴，即， 故选：D． 70．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于”，当时是用“撕角”的办法来说明的．请你再用平行线的性质定理或判定定理说明其正确．如图，，，是的三个内角，说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是即可作答，作出的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点A作，如图所示． ∵， ∴，， ∵， ∴． 易错必刷题三十六、根据平行线判定与性质求角度 71．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，已知，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．过点作．可得．从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 72．（24-25七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．由三角形的外角公式可求出，根据可推得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 易错必刷题三十七、平行公理推论的应用 73．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知：，说明．    【答案】见解析 【分析】过C作，根据平行线的性质得到，结合，得到，从而判断，综合可得，则有，利用对顶角相等可得结论． 【详解】解：如图，过C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴．    【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是适当添加辅助线，充分利用已知条件证明平行． 74．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点C，D，点A在直线上，且在点C的左侧，点B在直线上，且在点D的左侧，点Р是直线上的一个动点（点Р不与点C，D重合）．当点Р在点C，D之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 独立思考： (1)请解答老师提出的问题．实践探究： 勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点Р在C，D两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？ (2)如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点Р作，根据平行线的性质得出，再由平行线的推论得出，利用等量代换即可得出结果； （2）过点作，根据平行线的性质得出，再由平行线的推论得出，利用等量代换即可得出结果； （3）过点作，方法与（1）（2）类似，即可得出结果． 【详解】（1）解：． 理由：如解图1，过点Р作，则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）． 理由：如解图2，过点作，则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）． 如解图3，过点作，则． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及推论，熟练掌握平行线的性质及推论是解题关键． 易错必刷题三十八、根据平行线判定与性质证明 75．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，，且，试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据，得出，则，根据已知等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 76．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【答案】[证明]两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 [延伸]是真命题，证明过程见解析 【分析】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解答此题的关键． [证明]直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； [延伸]将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； 【详解】解：[感知]（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）； [延伸]将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． 易错必刷题三十九、平行线的性质在生活中的应用 77．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 78．（23-24七年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； (2)96，90 (3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得； （2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得； （3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等 ）， ∵，（已知）， ∴（②等量代换 ）， ∴，即：， ∴（③内错角相等，两直线平行 ） 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； （2）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：96，90． （3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下： 解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质． 易错必刷题四十、平移综合题(几何变换) 79．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、，经一次平移后得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，其中的坐标为．    (1)平移的距离为______； (2)请画出平移后的； (3)若为边上的一个点，平移后点的对应点的坐标为______； (4)平移过程中，边扫过的面积为______； 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)7 【分析】（1）根据对应点的坐标即可求出平移的距离，根据勾股定理求解即可； （2）根据平移的规律，确定对应点，连接即可； （3）根据平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”，即可求得； （4）利用一个矩形的面积减去4个三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：，， 即：，， 平移距离为：， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：∵先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到， 又∵， ∴平移后点P的对应点Q的坐标为， 故答案为：； （4）解：平移过程中，边AB扫过的面积为： ， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查作图—平移变换，平移的坐标，解题的关键是掌握平移变换的性质，并据此得出变换后的对应点． 80．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．    (1)写出点的坐标：（______，______）、（______，______）； (2)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请画出平移后的； (3)求的面积； (4)在轴正半轴上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3) (4)存在，点的坐标为，理由见详解 【分析】（1）根据平面直角坐标系中图形与坐标的特点即可求解； （2）根据图形平移的规律即可求解； （3）运用“割补法”求不规则图形的面积即可； （4）设，用含的式子表示的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，，． （2）解：将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，如图所示，    ∴即为所求图形． （3）解：如图所示，将补成梯形，    ∴，，，，， ∴，，， ∴． （4）解：存在，点的坐标为，理由如下： 由（3）可知，，在轴正半轴上点，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于 ∴，， ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握坐标与图形，图形的平移，“割补法”求不规则图形的面积等知识是解题的关键． 1．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）2025年2月13日，据猫眼专业版数据电影全球票房（含预售及海外）《哪吒之魔童闹海》突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影．如图是一张哪吒图片，下列哪张图片是通过平移得到的？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．据此进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有选项B符合要求， 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列命题中，是真命题是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．无限小数是无理数 D．点到直线的距离是垂线段 【答案】B 【分析】本题主要查了判断命题的真假，对顶角相等，无理数的定义，点到直线的距离．熟练掌握对顶角相等，无理数的定义，点到直线的距离是解题的关键． 根据对顶角相等，无理数的定义，点到直线的距离，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、对顶角相等是真命题，故本选项符合题意； C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、点到直线的距离是垂线段的长度，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：B 3．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）如图，添加下列条件，其中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定的应用，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐个进行判断即可． 【详解】解：A、根据，由内错角相等，两直线平行，能判定，故本选项不符合题意； B、根据，由同位角相等，两直线平行，能判定，故本选项不符合题意； C、根据不能判定，故本选项符合题意； D、根据，由同旁内角互补，两直线平行，能判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·北京·期中）如图是北京地铁部分线路图．若祟文门站的坐标为，复兴门站的坐标为，则北海北站的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点坐标特点，由点坐标确定直角坐标系，由坐标系得到点坐标，属于基础题型．根据已知点坐标确定直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：由题意可建立如图所示平面直角坐标系， 则北海北站的坐标为． 故选：B． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ， 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）（1）用开平方法解，可得 ， ； （2）用开平方法解，可得其中一个一元一次方程是，另一个一元一次方程是 ． 【答案】 4或 或4 【分析】本题主要考查了利用平方根的定义解方程． （1）利用平方根的定义解方程即可． （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ， ∴或，或4， （2） ， 或， 故答案为：4或，或4，． 7．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知直线，，，那么的度数是 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．由，可得，可得，又因为，故． 【详解】解：∵ ∴, ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点B坐标为，点C坐标为， 则如图所示， 所以点A的坐标为 故答案为： 9．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）某商场重新装修，准备在楼梯铺上地毯地毯厚度忽略不计如图是该楼梯的侧面截面图，长，高，若楼梯的宽度是，则该地毯的面积为 ． 【答案】28 【分析】本题考查平移性质的应用．根据平移的性质知地毯的长度为的长，据此即可求出地毯面积． 【详解】解：∵长，高，楼梯宽， ∴地毯的面积为：． 故答案为：28． 10．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）阅读理解下面内容，并解决问题：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． （1）∵1000是两位数； （2）只有个位数是9的立方数是个位数依然是9，的个位数是9； （3）如果划去59319后面的三位319得到59，，．的十位数是3．所以，的立方根是39． 已知整数50653是整数的立方，则 ． 【答案】37 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方．根据题中所给的分析方法先求出50653的立方根是两位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是两位数， ∵只有个位数是7的立方数的个位数是3， ∴的个位是7， ∵， ∴， ∴的十位数是3． ∴． 故答案为：37． 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先去绝对值，再根据实数的运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级下·北京·阶段练习）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形的宽为，则长为． 依题意，得， 整理，得，解得（负值已舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ， 正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行线性质，解题的关键在于熟练掌握平行线性质． （1）根据平行线性质求解，即可解题； （2）根据平行线性质，得到求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为，， 所以. 因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 14．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形； (2)三角形的面积为 (3)点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据三角形的面积公式，坐标特征，计算面积即可． （3）设，根据的面积为4，坐标特征，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，，． 三角形中任意一点，平移后对应点为即向上平移2个单位，向左平移1个单后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得， 故的面积为：． （3）解：设， ∵的面积为4，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故点的坐标为或． 15．（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． (1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 学科网（北京）股份有限公司 $$