期中重难点真题特训之压轴满分题型（71题14个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（71题14个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、无理数整数部分的有关计算 1．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)已知：的小数部分为， 的整数部分为，求的值． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： (1)______，______； (2)______； (3)若，，则所有可能的值为______． 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 4．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______； (2)任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值； (3)任务三：，其中是整数，且，求的值． 压轴满分题二、新定义的实数运算 5．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．已知满足，求的最大整数值． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 7．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果4，6，12都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 8．（23-24七年级·湖北·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 压轴满分题三、与实数运算相关的规律题 9．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 10．（23-24七年级下·全国·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 11．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 12．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 压轴满分题四、算术平方根和立方根的综合应用 13．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 14．（23-24七年级下·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 15．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 16．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 压轴满分题五、实数运算的综合实际应用 17．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 18．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 20．（23-24七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 压轴满分题六、利用平行线的性质探究角的关系 21．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 22．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，． (1)试问、、之间的数量关系为_______ (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，求的度数． 23．（23-24七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 24．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点分别在射线上，不与点重 合 ，． (1)如图，探究的数量关系，并证明你的结论．    (2)如图，作，与的平分线交于点，若，，请用含的式子表示 ．    压轴满分题七、平行公理推论的应用 25．（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）请将下列证明过程补充完整： 如图，在中，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴（__________） ∵（已知） ∴（ ） 即 ∴___________（______________） ∵（已知） ∴（______________） 27．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 28．（23-24七年级下·江苏·期末）如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上． (1)若，，则 ． (2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由； (3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数； (4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可． 压轴满分题八、平行线中动点问题 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 30．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 31．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    32．（2024七年级下·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 压轴满分题九、平行线中的翻折问题 33．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 34．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 35．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）综合与实践：折纸中的数学 王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线；在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平． ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），得折痕，再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，折痕就是的平行线． (1)在上述过程中，______°； (2)王玲的说法正确吗？若不正确，请说明理由．若正确；请写出证明过程； (3)在折痕上任取一点M，连接，若记为，为，为，则，，之间的数量关系是______． 36．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 压轴满分题十、平行模型 37．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 38．（23-24七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 39．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 40．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 压轴满分题十一、利用平移解决实际问题 41．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元． 42．（24-25七年级下·全国·随堂练习）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 43．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）：    (1)在图1中，点是格点，找一格点，使； (2)在图2中，找一格点P，使． 44．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 压轴满分题十二、平面直角坐标系中存在性问题 45．（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 47．（23-24七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 压轴满分题十三、平面直角坐标系中动点问题 49．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______； (2)求的面积； (3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 51．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 52．（23-24七年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴上的点，且，，其中a、b满足，将B向左平移18个单位得到点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)点M、N分别为线段、上的两个动点，点M从点B以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 压轴满分题十四、平移综合题(几何变换) 53．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，平移格点三角形，使点A移动到点处． (1)请画出平移后的三角形并标注字母（点B的对应点为点）． (2)连接，，观察发现它们之间具有的关系为______________ (3)计算三角形的面积． 54．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是__________； (3)画出的中线AE． 55．（24-25七年级下·河北衡水·阶段练习）如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从A到C应记为：，从C到D应记为：； (2)若机器人从A处去E处的行走路线依次为，，，． ①点E的坐标为； ②求机器人按上述路线从A处去E处行走的路程． (3)若图中另有两个点P，Q，且，，则从Q到A应记为：． 56．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点． (1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　； (2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　； (3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？ 1．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果 ，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (2)如果 ，其中a、b为有理数，试求的立方根． 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④，且，其中能推出的条件为（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 5．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如： ，． （1）仿照以上方法计算： ； （2）若 ，写出满足题意的x的整数值 ． 8．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示体育馆点的坐标为，表示桃园路的点的坐标为，则表示五一广场的点（正好在网格点上）的坐标是 ． 9．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2025·山东济南·模拟预测）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日” ，也被许多人称为“节”某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动．若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 11．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根．                                12．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接与； (3)在（2）的条件下，请直接写出与的关系． 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 14．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 15．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）（1）如图1，，点P为两直线间的一点，连接，求证：．小明的证明如下： 过点P作． ， ， …… 请你补全小明的证明过程 （2）如图2，，根据上面的推理方法，求的度数． （3）如图3，，若，直接写出m的值（用含x，y，z的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（71题14个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、无理数整数部分的有关计算 1．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)已知：的小数部分为， 的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解不等式的性质是得出答案的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为6，小数部分为； （2）解：∵， ∴，，， ∴的小数部分， 的整数部分为， ∴， 答：的值为． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： (1)______，______； (2)______； (3)若，，则所有可能的值为______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义． （1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （3）根据已知条件的定义，求出，的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）， ， ， 即， ， 故答案为：； （3），， ，， ， 或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：熟练掌握估算无理数的大小的方法． （1）根据，得到，即可求解， （2），计算x，y的值，即可求解， （3）把，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______； (2)任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值； (3)任务三：，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)3， (2)2 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和相反数，算术平方根． （1）结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，的小数部分为； 故答案为：3，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为4，即； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵其中x是整数，且， ∴，， ∴的相反数． 压轴满分题二、新定义的实数运算 5．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．已知满足，求的最大整数值． 【答案】的最大整数值为． 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴的最大整数值为． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，实数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，即得答案； （2）若与是关于1的“平衡数”，则，求得，但是当时，，即可判断答案． 【详解】（1）解：， 4与是关于1的“平衡数”， ， 与是关于1的“平衡数”； 故答案为：，； （2）解：与不是关于1的“平衡数”． 理由：若与是关于1的“平衡数”， 则， ， 当时，， 故与不是关于1的“平衡数”． 7．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果4，6，12都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 【答案】(1)这三个数是“完美组合数”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了新定义，算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据新定义即可判断； （2）分两种情况讨论：①当时，②时，分别计算即可． 【详解】（1）解：这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，，， ∵都是整数， ∴这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ①若这两个数的乘积的算术平方根为，则： ， 解得：， 此时，，，， ∴三个数是“完美组合数”， ②若这两个数乘积的算术平方根为，则： ， 解得：，不合题意， 综上所述，． 8．（23-24七年级·湖北·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 压轴满分题三、与实数运算相关的规律题 9．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题，关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，即可求解； （2）观察题中的几个计算结果，即可求解； （3）根据（2）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，…， ∴， 故答案为：； （3）解：可得， ∴ ． 10．（23-24七年级下·全国·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 11．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 12．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 压轴满分题四、算术平方根和立方根的综合应用 13．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 14．（23-24七年级下·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 15．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 16．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 【拓展应用】（1）； 故答案为： （2）∵，∴． 故答案为： 压轴满分题五、实数运算的综合实际应用 17．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 18．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 20．（23-24七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 压轴满分题六、利用平行线的性质探究角的关系 21．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过作，得到，推出，，求出，即可求解； （2）由（1）得到，推出． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， . ， ， ， ． （2）解： 理由：∵， ， . ， ， ， ， ． 22．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，． (1)试问、、之间的数量关系为_______ (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质的应用，添加平行线添加角的关系是解答的关键． （1）过C作，利用平行公理和平行线的性质求解即可； （2）设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，直线l与水平方向夹角为，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：过C作，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，直线l与水平方向夹角为， ∵直线l平行于刀片边缘线，， ∴，， ∵刀柄外形是一个长方形， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点． (1)若，，则______度； (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由： (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）如图1，过P作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ∴； 即或； （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴． 24．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点分别在射线上，不与点重 合 ，． (1)如图，探究的数量关系，并证明你的结论．    (2)如图，作，与的平分线交于点，若，，请用含的式子表示 ．    【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（）过点作，根据平行线的判定及性质和等量代换即可求解； （）由（）的结论得，再根据角平分线的定义及四边形的内角和即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：， 证明如下： 过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 压轴满分题七、平行公理推论的应用 25．（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）请将下列证明过程补充完整： 如图，在中，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴（__________） ∵（已知） ∴（ ） 即 ∴___________（______________） ∵（已知） ∴（______________） 【答案】两直线平行，内错角相等；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行线的性质得到，再根据，即可得出，进而判定，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，即可得出结论． 【详解】证明：（已知） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等式的性质） 即 （内错角相等，两直线平行） （已知） （两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 27．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（23-24七年级下·江苏·期末）如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上． (1)若，，则 ． (2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由； (3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数； (4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)； (4)或． 【分析】（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解； （）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解； （）根据（）中的结论即可求解； （）分当点在的外侧与当点在的外侧两种情况进行分类讨论，然后根据平行理推论，平行线的性质即可求解； 此题考查了平行线的判定及性质，掌握作平行线的方法、平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）过作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由， 过作， ∴， ∴，， ∴， 即：； （3）由题意可得：，， 由（）结论可得：； （4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于， ∴， ∴，， ∵ ∴； 当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于， ∴， ∴，， ∵ ∴． 压轴满分题八、平行线中动点问题 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出． 【详解】（1）． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴． 30．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）结合题目条件，求出，继而得解； （2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到； ②分和两种情况，画图求解即可； 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 31．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 32．（2024七年级下·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 压轴满分题九、平行线中的翻折问题 33．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系． （1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案； （2）①根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案． ②由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，由翻折的性质得：， ． 四边形是长方形， ，， ，， ． （2）解：①如图2，， ， ， ． 由翻折的性质得：， ， ． 继续沿进行第二次折叠， ， ． ②如图3， ， ． 由翻折得， ， ． 继续沿进行第二次折叠， ， ． ， ， ， ． ， ． 35．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）综合与实践：折纸中的数学 王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线；在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平． ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），得折痕，再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，折痕就是的平行线． (1)在上述过程中，______°； (2)王玲的说法正确吗？若不正确，请说明理由．若正确；请写出证明过程； (3)在折痕上任取一点M，连接，若记为，为，为，则，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)90 (2)王玲的说法正确，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质求解即可； （2）同（1）理可得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （3）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 故答案为：90； （2）解：王玲的说法正确，证明如下： 由（1）得：， 同（1）理可得，， ， ； （3）解：． 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即． 36．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴满分题十、平行模型 37．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 【答案】；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质，结合已知证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；内错角相等，两直线平行． 38．（23-24七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 39．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴； （2）如图③，延长，交于点，过作， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 40．（23-24七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    压轴满分题十一、利用平移解决实际问题 41．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元． 【答案】元 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键． 根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：解：地毯的长度至少为：（米）； （元）． 答：铺设梯子的红地毯至少需要米，花费至少元． 42．（24-25七年级下·全国·随堂练习）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和； （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∴， 故答案为：． （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∴， 故答案为： 43．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）：    (1)在图1中，点是格点，找一格点，使； (2)在图2中，找一格点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平移的性质： （1）根据平移的性质确定点即可； （2）根据平移的性质确定点P即可； 【详解】（1）解：如图，点即为所作，    （2）解：如图，点P即为所作，    44．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 压轴满分题十二、平面直角坐标系中存在性问题 45．（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 46．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式． （1）根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，； （2）根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算； （3）若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：点坐标为，点坐标为， 四边形的面积 ； （3）解：存在．理由如下： ， ， ， 为负整数， 或或， 点的坐标为或或． 47．（23-24七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可； （3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4， ． 点到轴的距离为4， ， ， ． 点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或 点的坐标为或． （3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则， ，． 又， ． ②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ； ③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 压轴满分题十三、平面直角坐标系中动点问题 49．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______； (2)求的面积； (3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为4 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，非负数的性质和坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）直接根据非负数的性质得出的值即可得出答案； （2）根据题意得出点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）设点，分情况进行讨论：当点位于点左侧时，不合题意；当点位于之间时；当点位于点右侧时；根据题意表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍列式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ∵点， ∴点，点， 故答案为：； （2）解：将点向右平移8个单位长度，得到点， 则； （3）解：设点的坐标为， 当点位于点左侧时，，不符合题意； 当点位于之间时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为； 当点位于点右侧时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 50．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 51．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案； （2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可； （3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案． 【详解】（1）解： 又 解得： ∴； （2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G， ， ， ， 即， 解得： ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点 ∵点在线段上，其对应点为， ； （3）解：理由如下： 如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M， 设， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ． 52．（23-24七年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴上的点，且，，其中a、b满足，将B向左平移18个单位得到点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)点M、N分别为线段、上的两个动点，点M从点B以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；；； (2)①秒；②存在， 【分析】本题主要考查非负数的性质两个非负数相加为零，各个非负数分别为零；平面直角坐标系内点的平移时坐标的变化规律；动点问题以及在坐标系内四边形面积的求法， （1）非负数相加为零，各个非负数都是零，即可求出a，b的值，结合图形可得出点A，点B的坐标，再根据平移的性质可得出点C的坐标． （2）①分别表示出与的长，联立等式求解． ②将变化为求解即可． 【详解】（1）解，，， ∴， 解得， 点、是轴、轴上的点，且，， 点，点， 点向左平移18个单位长度得到点． （2）①根据题意可得：，， ， ， ， ②假设存在满足时间的，根据题意， ， ， 由①得：，， ， ， ， 解得：， ， ． 故存在满足条件的值，． 压轴满分题十四、平移综合题(几何变换) 53．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，平移格点三角形，使点A移动到点处． (1)请画出平移后的三角形并标注字母（点B的对应点为点）． (2)连接，，观察发现它们之间具有的关系为______________ (3)计算三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3) 【分析】（1）点A向上平移2个单位，向右平移3个单位移动到点处，则点B、C经过同样的平移分别得到，首位顺次连接，即可得到三角形； （2）根据平移的性质：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等即可求解； （3）根据三角形的面积等于边长为3的正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）点A向上平移2个单位，向右平移3个单位移动到点处，则点B、C经过同样的平移分别得到，首位顺次连接，如图所示，则三角形即为所求． （2）连线，根据平移的性质，可得且． 故答案为：且． （3）三角形的面积． 【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质及割补法求三角形面积，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 54．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是__________； (3)画出的中线AE． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等； (3)见解析． 【分析】（1）将点A、C分别向左平移2个单位、向上平移4个单位得出其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据平移变换的性质可得答案； （3）根据三角形中线的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，△A′B′C′即为所求． （2）根据平移变换的性质知，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）如图所示，BE即为所求； 【点睛】本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的概念和性质． 55．（24-25七年级下·河北衡水·阶段练习）如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从A到C应记为：，从C到D应记为：； (2)若机器人从A处去E处的行走路线依次为，，，． ①点E的坐标为； ②求机器人按上述路线从A处去E处行走的路程． (3)若图中另有两个点P，Q，且，，则从Q到A应记为：． 【答案】(1)， (2)①；②21 (3) 【分析】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据规定“向上向右走均为正，向下向左走均为负”即可求解； （2）①将从A处到E处的行走路线的第一个数相加后等于+6，表明是向右走了6个单位，将行走路程的第二个数相加后等于+1，表明是向上走了1个单位，由此即可求解；②计算即得； （3）设，根据，，得，根据，得，即得． 【详解】（1）解：从A到C应记为：，从C到D应记为：． 故答案为：；． （2）解：①如图， ∵， ，， ∴； 故答案为：； ②从A处去E处行走的路程． （3）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 56．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点． (1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　； (2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　； (3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？ 【答案】(1)（10，6） (2)（14，6），36 (3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可． （2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可． （3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可． 【详解】（1）∵AB＝10cm，BC＝6cm， ∴C的坐标为（10，6）， 故答案为：（10，6）． （2）∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒， ∴点C向右平移4cm， ∵C（10，6）， ∴（14，6）， 故答案为：（14，6）． ∵AB＝10，＝4， ∴＝6， ∴长方形的面积为36（）． 故答案为：36． （3）当t≤5时，如图： ∵＝AB﹣＝10﹣2t， ∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（）， 当t＞5时，如图： ∵＝﹣AB＝2t﹣10， ∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（）， 故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）； 当t≤5时，如图： 长方形的面积为﹣12t+60， △面积的3倍为， 由题意得：﹣12t+60＝18t， 解得t＝2； 当t＞5时，如图： 同理可得：12t﹣60＝18t， 解得t＝﹣10（舍去）， ∴t＝2． 【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意； B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意； C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意； D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 【详解】解：硬币的直径为1个单位长度， 硬币的周长为， 点A为2， 点对应的实数是， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果 ，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (2)如果 ，其中a、b为有理数，试求的立方根． 【答案】(1)5 (2)1或 【分析】本题考查了算术平方根、立方根及无理数等知识点，根据题意正确求得a、b的值是关键． （1）根据题给计算方法计算即可； （2）根据题给计算方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴的算术平方根为5． （2）解：∵， ∴，解得：， ∴或1， ∴的立方根为或1． 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④，且，其中能推出的条件为（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据内错角相等、两直线平行可得条件①符合题意；根据同位角相等，两直线平行可得条件③符合题意；先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得条件④符合题意；条件②不能推出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，条件①符合题意； ∵， ∴，不能推出，条件②不符合题意； ∵， ∴，条件③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，条件④符合题意； 综上，能推出的条件为①③④， 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设AC与DE的交点为H，根据平移的性质可得，然后可得，过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，然后利用等积法可进行求解． 【详解】解：设AC与DE的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选A． 【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 6．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如： ，． （1）仿照以上方法计算： ； （2）若 ，写出满足题意的x的整数值 ． 【答案】 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8． 8．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示体育馆点的坐标为，表示桃园路的点的坐标为，则表示五一广场的点（正好在网格点上）的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，根据太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图的坐标可知：1号线起点所在的直线为x轴，根据桃园路的点的坐标可知：2号线起点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定五一广场的点的坐标． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系： 由体育馆点的坐标为与桃园路的点的坐标为得：平面直角坐标系， 可知：五一广场的点（正好在网格点上）的坐标是； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（2025·山东济南·模拟预测）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日” ，也被许多人称为“节”某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动．若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】枚或枚或枚 【分析】本题考查了推理能力，小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量的可能． 【详解】解：∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是枚、枚或枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是枚、枚或枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“币”数量可能是枚或枚， 故答案为：枚、枚或枚． 11．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 12．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接与； (3)在（2）的条件下，请直接写出与的关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)平行且相等 【分析】本题主要考查了平移作图和平移的性质，熟练平移的性质是解答本题的关键． （1）观察点到点的移动规律，点向右平移了4个单位长度，向下平移了1个单位长度。找出点B、C的对应点E、F，顺次连接D、E、F即可得出结果； （2）直接连接即可； （3）根据平移的性质进行判断即可； 【详解】（1）如图：即为所求； （2）解：如图与即为所求； （3）∵是的对应点，是的对应点， ∴与是对应点所连的线段， ∵平移前后，对应点的连线平行且相等， ∴线段与是平行且相等． 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 14．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查的是平移变换的性质，非负数的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，得到点的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案； 【详解】（1）解： 解得，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ，， ∴点的坐标为， 故答案为：；； （2）设点的坐标为， ∵的面积是的面积的4倍，即 ①当点在线段上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； ②当点在线段延长线上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 15．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）（1）如图1，，点P为两直线间的一点，连接，求证：．小明的证明如下： 过点P作． ， ， …… 请你补全小明的证明过程 （2）如图2，，根据上面的推理方法，求的度数． （3）如图3，，若，直接写出m的值（用含x，y，z的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定及性质综合运用，角的和差等，掌握判定方法及性质，并能作出恰当的辅助线是解题的关键． （1）过点P作，得,同理可得，由可得结论； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质可求． （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质可求． 【详解】解：（1）证明：过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图过点P作，过点Q作， ∵， ∴， ∴，，， ∴； （3）如图：过点P作，过点Q作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$