期中押题预测卷01（范围：数列+导数+计数原理）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期中押题预测卷01 （范围：数列+导数+计数原理 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 2．已知的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是 A． B． C． D． 3．关于的二项展开式，下列说法正确的是（    ） A．的二项展开式的各项系数和为 B．的二项展开式的第五项与的二项展开式的第五项相同 C．的二项展开式的第三项系数为 D．的二项展开式第二项的二项式系数为 4．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（    ） A．20种 B．14种 C．12种 D．10种 5．已知数列满足，且，则（ ） A． B．3 C．−3 D． 6．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 7．已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．满足不等式的的值可能为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．在数列中，.则下列结论中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 11．已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若的定义域为R，则 D．若在上单调递增，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某日，甲､乙､丙三个单位被系统随机预约到，，三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，问甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为 . 13．的展开式中的系数为，则 ． 14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 16．如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 17．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值及函数的单调性； (2)求函数的单调区间； (3)若当时，恒成立，求的取值范围． 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 19．已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若，，为的两个不同的极值点，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期中押题预测卷01 （范围：数列+导数+计数原理 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【详解】因为是方程的两根， 所以. 在等差数列中，，又， 所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 2．已知的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论. 解：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A，故选A 考点：导数的符号与函数单调性关系 点评:本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题 3．关于的二项展开式，下列说法正确的是（    ） A．的二项展开式的各项系数和为 B．的二项展开式的第五项与的二项展开式的第五项相同 C．的二项展开式的第三项系数为 D．的二项展开式第二项的二项式系数为 【答案】A 【详解】解：展开式的通项为， 故第二项的二项式系数为，故D错误； 第三项的系数为，故C错误； 的展开式的第五项为，的展开式的第五项为，故B错误； 令则，即的二项展开式的各项系数和为，故A正确； 故选：A 4．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（    ） A．20种 B．14种 C．12种 D．10种 【答案】B 【详解】解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人， 当两组人数为1,3时，有种方案， 当两组人数为2,2时，有种方案， 所以将4名同学分为两组，共有种方案， 再将两组同学分配到两个文明实践站，有种， 所以根据乘法原理得共有种不同的方法. 故选：B 5．已知数列满足，且，则（ ） A． B．3 C．−3 D． 【答案】B 【详解】由已知，所以，即， 所以数列是以2为公差的等差数列， 故， 所以． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中根据等差数列的定义，得出数列为公差为2的等差数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 7．已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 8．设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得存在，使得，且 因为， 所以， 假设，解得或（舍去）， 此时， 由存在，，所以有或， 由可得，，两式相减得：， 当时，有，即， 根据可知：数列的奇数项和偶数项分别是等差数列，且公差均为2， 所以，解得， 当时，有，即，，解得， 由已知得，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：利用可得,得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．满足不等式的的值可能为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】CD 【详解】由可得， 故，化简可得，故， 故选：CD 10．在数列中，.则下列结论中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【详解】由，易知， 所以是以1为首项，为公比的等比数列. 对于A项，易知，， 累加得，， 当时，符合上式，故， 若为奇数，则，且单调递增， 若为偶数，则，且单调递减， 故，即A正确； 对于B项，由上可知， 显然是以1为首项，为等比的等比数列，即B正确； 对于C、D选项，由A可知，故C错误，D正确. 故选：ABD 11．已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若的定义域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，因为，所以， 则函数的定义域为，不关于原点对称，则不具有奇偶性，错误； 对于B，当时，，因为恒成立， 所以函数的定义域为R，关于原点对称， 又，则为偶函数，正确； 对于C，的定义域为R，则恒成立， 所以恒成立，所以，即，正确； 对于D，由题知在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上恒成立， 有在上恒成立，所以， 又在上恒成立，即在上恒成立，所以， 所以，即，正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某日，甲､乙､丙三个单位被系统随机预约到，，三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，问甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为 . 【答案】 【详解】解：由题可知，，三家医院中，每家医院每日至多接待两个单位， 可知甲、乙、丙三个单位的疫苗接种的所有可能情况为：种， 若甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗，即甲不可预约医院，则甲可预约，两家医院， 若甲预约医院，乙预约医院，则丙可预约，医院，共2种情况； 若甲预约医院，乙预约，医院，则丙可预约，，医院，共种情况； 若甲预约医院，乙预约，医院，则丙可预约，，医院，共种情况； 若甲预约医院，乙预约医院，则丙可预约，医院，共2种情况； 则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的情况共有：种， 所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为. 故答案为：. 13．的展开式中的系数为，则 ． 【答案】 【详解】由多项式的展开式中的系数为， 可得，即，解得. 故答案为：． 14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得. （2）二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. （3）设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 16．如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由等方差数列的定义可知， 由此可得， 又，所以． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为， 则． 又是等方差数列，所以． 故， 所以， 即， 所以，故是常数列． 17．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值及函数的单调性； (2)求函数的单调区间； (3)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增，无减区间 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）直线的斜率为，因为， 所以由导数的几何意义知，，所以，解得. 此时，则，所以在上单调递增，无减区间 （2）的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，令，解得：， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，则单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3）时，恒成立，转化为即可. 设，因为， 由得，由得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 从而.所以，即的取值范围为. 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）（1）因为，所以当时，， 即，所以. 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列 （2）解：由（1）知，， 所以. （3）解：由（2），得， 所以， 因为，所以， 又， 所以是递增数列， 所以， 所以. 19．已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若，，为的两个不同的极值点，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调减区间为 (2) 【详解】（1）因为，所以，， 令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为和，单调减区间为. （2）由题意知：，， 有两个不等正根， ，解得：， ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 即的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$