专题01 导数的概念、运算及其几何意义8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题01 导数的概念、运算及其几何意义 8考点复习指南 【问题背景】在数学领域，导数是研究函数变化率、曲线切线等问题的重要工具.在物理中，导数用于描述物体运动的瞬时速度等物理量.本部分围绕导数的基本概念、运算及其几何意义展开，为学生理解和运用导数知识提供了丰富素材. 【处理角度】 1.从概念理解出发：通过设置平均速度与瞬时速度、导数定义等相关题目，引导学生深入理解导数的本质.如通过计算函数在某区间的平均变化率和某点的瞬时变化率，让学生明确两者区别与联系，掌握导数是平均变化率的极限这一核心概念. 2.注重运算能力培养：在导数运算和复合函数求导考点中，强调对各种函数求导公式的熟练运用.通过不同形式函数的求导练习，如多项式函数、三角函数、指数函数等，提升学生对求导法则的掌握程度，培养学生严谨的运算能力. 3.结合几何意义解题：围绕导数与切线方程、公切线问题、切线与距离最值、切线与恒成立或零点问题等考点，利用导数的几何意义将函数问题转化为几何问题.例如，根据曲线在某点的导数确定切线斜率，进而求解切线方程,通过分析公切线与两条曲线的关系，建立等式求解参数,利用切线与直线的位置关系求距离最值或解决恒成立、零点问题等. 【解法策略】 考点1:平均速度与瞬时速度 公式运用：计算平均变化率时,直接使用公式，计算瞬时变化率,若已知函数表达式, 对函数求导,再将对应点代入导函数求值. 注：深刻理解平均速度是位移增量与时间增量的比,值,瞬时速度是平均速度在时间间隔趋近于0时的极限值. 考点2：导数定义 定义变形：若已知,遇到复杂形式时,通过对给定式子进行等价变形, 使其符合导数定义形式.进而求解. 整体代换：当式子中出现多个与导数定义相关的形式时,观察式子结构,进行整体代换简化计算. 考点3：导数运算 公式记忆：牢记基本函数求导公式,如、、等,以及求导的四则运算法则. 化简优先：对函数进行求导运算前,先对函数进行化简,可有效减少计算量. 考点4：复合函数求导 分层求导：确定复合函数的构成层次,从外层函数到内层函数依次求导,再将各层导数相乘. 换元辅助:对于复杂的复合函数,可通过换元法,将内层函数用一个新变量表示,简化求导过程,求导后再将变量换回. 考点5：导数与切线方程 求斜率与切点：先对函数求导,将切点横坐标代入导函数得到切线斜率,再将切点坐标代入点斜式方程 (其中为切点坐标,为切线斜率)得到切线方程. 注：设切点求解：若已知过曲线外一点求切线方程,设出切点坐标,根据上述方法列出关于切点横坐标的方 程,求解得到切点坐标,进而得到切线方程. 考点6：公切线问题 设切点列方程：分别设出公切线与两条曲线的切点坐标,根据导数的几何意义求出两条曲线在切点处的切 线方程. 联立求解：利用两条切线方程中斜率相等和在轴上截距相等(或其他等量关系)列出方程组,求解方程 组得到切点坐标,进而求出公切线方程或相关参数. 考点7：切线与距离最值 1.平行切线法：将问题转化为求曲线的切线,使切线与已知直线平行,通过求导得到切线斜率,令其等于已 知直线斜率,求出切点坐标. 2.距离公式计算：利用点到直线的距离公式(其中为点的坐标,直线方程为 计算切点到已知直线的距离,该距离即为所求的最小值. 考点8：切线与恒成立或零点问题 1.转化为函数问题：对于恒成立问题,将其转化为函数最值问题,例如恒成立,可转化为 恒成立,求的最小值大于等于0时参数的取值范围. 2.图象法：对于零点问题,将函数进行变形,转化为两个函数图象的交点问题.通过画出两个函数的图象 观察图象交点个数与位置,确定参数的取值范围. 考点1 平均速度与瞬时速度 1．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为 3．【多选】（19-20高二·全国·课后作业）（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 考点2 导数定义 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．9 C． D．1 5．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数的导数为，若，则 . 6．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 7．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 考点3 导数运算 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）等比数列中，，为函数的导函数，则 ． 9．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，则 ． 考点4 复合函数求导 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 11．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，则 ． 12．（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点5 导数与切线方程 13．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 15．（24-25高三上·四川遂宁·期中）若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·广东汕头·期中）已知函数，则在处切线方程为 . 17．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 考点6 公切线问题 18．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 19．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 20．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 考点7 切线与距离最值 21．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 22．（2025高二·全国·专题练习）设． (1)求曲线在点的切线方程． (2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值. 23．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 24．（21-22高二上·江西景德镇·期末）已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为 ． 考点8 切线与恒成立或零点问题 25．（22-23高二下·四川达州·期末）已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是 ． 26．（2022高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题01 导数的概念、运算及其几何意义 8考点复习指南 【问题背景】在数学领域，导数是研究函数变化率、曲线切线等问题的重要工具.在物理中，导数用于描述物体运动的瞬时速度等物理量.本部分围绕导数的基本概念、运算及其几何意义展开，为学生理解和运用导数知识提供了丰富素材. 【处理角度】 1.从概念理解出发：通过设置平均速度与瞬时速度、导数定义等相关题目，引导学生深入理解导数的本质.如通过计算函数在某区间的平均变化率和某点的瞬时变化率，让学生明确两者区别与联系，掌握导数是平均变化率的极限这一核心概念. 2.注重运算能力培养：在导数运算和复合函数求导考点中，强调对各种函数求导公式的熟练运用.通过不同形式函数的求导练习，如多项式函数、三角函数、指数函数等，提升学生对求导法则的掌握程度，培养学生严谨的运算能力. 3.结合几何意义解题：围绕导数与切线方程、公切线问题、切线与距离最值、切线与恒成立或零点问题等考点，利用导数的几何意义将函数问题转化为几何问题.例如，根据曲线在某点的导数确定切线斜率，进而求解切线方程,通过分析公切线与两条曲线的关系，建立等式求解参数,利用切线与直线的位置关系求距离最值或解决恒成立、零点问题等. 【解法策略】 考点1:平均速度与瞬时速度 公式运用：计算平均变化率时,直接使用公式，计算瞬时变化率,若已知函数表达式, 对函数求导,再将对应点代入导函数求值. 注：深刻理解平均速度是位移增量与时间增量的比,值,瞬时速度是平均速度在时间间隔趋近于0时的极限值. 考点2：导数定义 定义变形：若已知,遇到复杂形式时,通过对给定式子进行等价变形, 使其符合导数定义形式.进而求解. 整体代换：当式子中出现多个与导数定义相关的形式时,观察式子结构,进行整体代换简化计算. 考点3：导数运算 公式记忆：牢记基本函数求导公式,如、、等,以及求导的四则运算法则. 化简优先：对函数进行求导运算前,先对函数进行化简,可有效减少计算量. 考点4：复合函数求导 分层求导：确定复合函数的构成层次,从外层函数到内层函数依次求导,再将各层导数相乘. 换元辅助:对于复杂的复合函数,可通过换元法,将内层函数用一个新变量表示,简化求导过程,求导后再将变量换回. 考点5：导数与切线方程 求斜率与切点：先对函数求导,将切点横坐标代入导函数得到切线斜率,再将切点坐标代入点斜式方程 (其中为切点坐标,为切线斜率)得到切线方程. 注：设切点求解：若已知过曲线外一点求切线方程,设出切点坐标,根据上述方法列出关于切点横坐标的方 程,求解得到切点坐标,进而得到切线方程. 考点6：公切线问题 设切点列方程：分别设出公切线与两条曲线的切点坐标,根据导数的几何意义求出两条曲线在切点处的切 线方程. 联立求解：利用两条切线方程中斜率相等和在轴上截距相等(或其他等量关系)列出方程组,求解方程 组得到切点坐标,进而求出公切线方程或相关参数. 考点7：切线与距离最值 1.平行切线法：将问题转化为求曲线的切线,使切线与已知直线平行,通过求导得到切线斜率,令其等于已 知直线斜率,求出切点坐标. 2.距离公式计算：利用点到直线的距离公式(其中为点的坐标,直线方程为 计算切点到已知直线的距离,该距离即为所求的最小值. 考点8：切线与恒成立或零点问题 1.转化为函数问题：对于恒成立问题,将其转化为函数最值问题,例如恒成立,可转化为 恒成立,求的最小值大于等于0时参数的取值范围. 2.图象法：对于零点问题,将函数进行变形,转化为两个函数图象的交点问题.通过画出两个函数的图象 观察图象交点个数与位置,确定参数的取值范围. 考点1 平均速度与瞬时速度 1．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果. 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 2．（24-25高二下·全国·课后作业）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为 【答案】BC 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【详解】前内，，，故A错误； 此时球在垂直方向上的平均速度为，故C正确； 在时间内，，，故B正确， 此时间内球在垂直方向上的平均速度为，故D错误. 故选：BC． 3．【多选】（19-20高二·全国·课后作业）（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【答案】CD 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值. 故选：CD. 考点2 导数定义 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】B 【分析】由导数的计算公式可得. 【详解】. 故选：B 5．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数的导数为，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数的定义变形求解即可. 【详解】. 故答案为：. 6．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可得. 【详解】. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数表达式同时求导并令解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：B 考点3 导数运算 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）等比数列中，，为函数的导函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求出公比，求出，然后求，最后求即可. 【详解】设公比为，则有，所以，所以， 设，则， 所以，所以， 故答案为：. 9．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先求函数的导函数，当得，得，进而可得. 【详解】由可得， 故，得， 故，， 故答案为： 考点4 复合函数求导 10．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 11．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】4 【分析】先依次求出，即可求解. 【详解】由题，所以， 所以. 故答案为：4 12．（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D. 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 考点5 导数与切线方程 13．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】， 所以函数在点处的切线方程为. 故选：A 14．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 15．（24-25高三上·四川遂宁·期中）若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数几何意义，求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 故函数在点处切线的斜率为，即. 故. 故选：C. 16．（24-25高三上·广东汕头·期中）已知函数，则在处切线方程为 . 【答案】 【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的几何意义求出以及，最后利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以在处切线方程的斜率，即切线方程为. 故答案为：. 17．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【详解】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 考点6 公切线问题 18．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 19．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 20．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 考点7 切线与距离最值 21．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行线间的距离公式计算即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 作出和的图象如图： 令，可得，（舍去）， 所以曲线上斜率为3的切线的切点为， 该切线方程为，与直线平行， 两平行线间的距离即为到直线的距离， 即的最小值即为． 故选：A． 22．（2025高二·全国·专题练习）设． (1)求曲线在点的切线方程． (2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求得曲线在点的切线方程． （2）通过平移的方法，结合导数以及点到直线的距离公式求得的最小值. 【详解】（1）因为，则，所以，， 所以，曲线在点的切线方程为，即. （2）根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点与直线间的距离最近， 设切线方程为， 由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为， 此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值， 即，所以的最小值为. 23．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求的最小值转化为求到直线的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案. 【详解】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍. 令得故切点为 由，所以. 故选：C. 24．（21-22高二上·江西景德镇·期末）已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值． 【详解】解：函数的导数为， 设与直线平行的直线与曲线相切， 设切点为，则， 所以，所以，所以，所以， 所以切线方程为， 可得的最小值为， 故答案为：． 考点8 切线与恒成立或零点问题 25．（22-23高二下·四川达州·期末）已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要恒成立即求的最小值，因为曲线与曲线互为反函数，关于直线对称，故的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍，利用导数的几何意义求出即可. 【详解】要恒成立即求的最小值， 因为曲线与曲线互为反函数， 所以图像关于直线对称， 又是曲线上的点，是曲线上的点， 所以的最小值为曲线上的点到于直线的距离的两倍， 由， 设与直线的平行且在上的切点为：， 则，即， 所以曲线上切点为， 所以到直线的距离的最小值即为点到直线的距离的最小值， 即， 所以，所以， 即实数a的取值范围是：. 故答案为： 26．（2022高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$