5.2.1基本初等函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-,则函数在x=-1处的切线方程是 (　　) A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y=0 D.x+2y=0 【解析】选A.当x<0时,-x>0, 所以f(-x)=-=-, 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即-f(x)=-, 所以f(x)=(x<0),所以f(-1)=-1. 又f'(-1)=====2,所以切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0. 【综合应用练】 11.(2024·武汉高二检测)已知函数f(x)可导,且满足=2,则函数y=f(x)在x=3处的导数为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【解析】选D.由题意,=-=-f'(3),所以f'(3)=-2. 17.设曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ,则cos θ=.  【解析】由,得x3-x2+x-1=0, 即(x2+1)(x-1)=0,得x=1, 即交点坐标为(1,2), 因为f'(1)= =(2+Δx)=2, 所以曲线y=f(x)在交点处的切线l1的方程为y-2=2(x-1),即y=2x, 又因为g'(1)= ==4, 所以曲线y=g(x)在交点处的切线l2的方程为y-2=4(x-1),即y=4x-2, 取切线l1的方向向量为a=(1,2),切线l2的方向向量为b=(1,4), 则cos θ===. 5.2.1 基本初等函数的导数 导数、导函数 纠错本 形式上：原题+答案 功能上：不断重做，标上星号！ 复习 初等函数导数公式 是什么？ 探究内容 简单公式的推导 怎么办？ 引入 在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当时， 无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数. 探究 1. 函数 y=f(x)=c 的导数 探究 2. 函数 y=f(x)=x 的导数 探究 3. 函数 的导数 探究 4. 函数 的导数 探究 5. 函数 的导数 探究 6. 函数 的导数 原函数 导函数 ① f(x)=C(C为常数) f'(x)=0 ② f(x)=xα(α∈Q,α≠0) f'(x)= ③ f(x)=sin x f'(x)= ④ f(x)=cos x f'(x)= ⑤ f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= ⑥ f(x)=ex f'(x)= ⑦ f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= ⑧ f(x)=ln x f'(x)= 导数公式表 探究 (1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立； (2)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围； (3)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例； 【质疑辨析】 (1)若f(x)=m2,则f'(x)=2m. ( ) 提示:因为m为常数,所以f'(x)=0. (2)若f(x)=,则f'(x)=-. ( ) (3)若f(x)=3x,则f'(x)=. ( ) 提示:若f(x)=3x,则f'(x)=3xln 3. (4)已知f(x)=log2x,则f'(3)等于3ln 2. ( ) 提示:因为f(x)=log2x,所以f'(x)=,所以f'(3)=. × √ × × (5)曲线y=sin x在点(0,0)处的切线方程为y=x. ( ) 提示:因为y=sin x,所以y'=cos x,所以y'|x=0=cos 0=1,故切线的斜率为1,切线方程为y=x. √ 合作探究·形成关键能力 类型一　利用导数公式计算导数(数学运算) [例1](教材提升·例1)求下列函数的导数: (1)y=;　　　　(2)y=lg x; (3)y=; (4)y=2cos2-1. 【解析】(1)y'=ln =-ln 5; (2)y'=; (3)因为y==,所以y'=()'==; (4)因为y=2cos2-1=cos x,所以y'=(cos x)'=-sin x. 【即学即练】 求下列函数的导数. (1)y=ln 2 023; (2)y=; (3)y=4x; (4)y=cos(-x). 【解析】(1)因为y=ln 2 023,所以y'=(ln 2 023)'=0. (2)因为y=x-2,所以y'=-2x-2-1=-2x-3. (3)因为y=4x,所以y'=4xln 4. (4)因为y=cos(-x)=sin x,所以y'=cos x. 类型二　利用导数公式解决切线问题(数学运算、直观想象) 角度1　求切线方程 [例2](1)已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为____________.  【解析】设切点为(x0,y0).因为y'=3xln 3,① 所以k=ln 3,所以y=ln 3·x.又因为(x0,y0)在曲线y=3x上, 所以ln 3·x0=,② 所以x0==log3e,所以k=eln 3. eln 3 (2)求曲线y=过点(3,2)的切线方程. 【解析】y'=()'==, =,即=,整理得()2-4+3=0,解得x0=1或x0=9, 所以切点坐标为(1,1)或(9,3). ①当切点坐标为(1,1)时,切线斜率k=,所以切线方程为y-2=(x-3),即x-2y+1=0. ②当切点坐标为(9,3)时,切线斜率k=,所以切线方程为y-2=(x-3),即x-6y+9=0. 综上可知:曲线y=过点(3,2)的切线方程为x-2y+1=0或x-6y+9=0. 角度2　与切线有关的最值问题 [例3]设P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 【解析】如图,设l是与直线y=x平行,且与曲线y=ex相切的直线,则切点到直线y=x的距离最小. 设直线l与曲线y=ex相切于点P(x0,y0). 因为y'=ex,所以=1,所以x0=0, 代入y=ex,得y0=1,所以P(0,1), 所以点P到直线y=x的最小距离为=. 23 作业： 课时训练 十四 专题卷 p45 1-16 $$