精品解析：内蒙古呼和浩特市第三十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期初三期中质量检测题 数学 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有下列图案中属于中心对称图形的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐个判断即可得． 【详解】解：图案中属于中心对称图形的是； ， 即是③④，而①②都不是中心对称图形， 故选：D． 2. 将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 3. 函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（ ） A. 4和－3 B. －3和－4 C. 5和－4 D. －1和－4 【答案】C 【解析】 【详解】解：将二次函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)配方可得： 根据二次函数图像性质：该二次函数开口方向向上， 当时，函数有最小值，最小值是， 再将和分别代入二次函数求函数值进行比较 可以求出当，函数有最大值，最大值是5， 故选：C 4. 如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由垂径定理证得AB=2AE，△BEO是等腰直角三角形；然后利用勾股定理求得BE的长，进而求得AB的长即可． 【详解】∵OC⊥AB， ∴=，AB=2BE，∠BEO=90°， ∵∠ADC=22.5°， ∴∠COB=45°， ∴OE=BE， 在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2， ∵OC=2， ∴OE=BE= ∴AB=2BE= 故选：B 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用的题目，熟记垂径定理是解题的关键． 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律可得平移后所得到的抛物线的解析式，由此即可得． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的抛物线的解析式为，即为，其顶点坐标为， ∵抛物线关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点是同一点， ∴关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】①由开口可知：a＜0， ∴对称轴x=−＞0， ∴b＞0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）， 对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②正确； ③由于＜2＜， 且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2）， ∵＜， ∴y1＜y2，故③正确， ④∵−=2， ∴b=-4a， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-5a＜3， ∴-＜a＜-，故④正确 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 二次函数的部分图像如图所示，由图像可知，方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】：观察图像得：二次函数的图像与x轴的交点为，对称轴为直线，从而得到二次函数的图像与x轴的另一个交点为，即可求解． 【详解】解：观察图像得：二次函数的图像与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质及方程的解，解题的关键是利用函数图象在平面直角坐标系中的位置确定函数的对称轴及利用对称性求解． 10. 如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________． 【答案】（16－2x)(9－x)＝112 【解析】 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m， 根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112， 故答案为（16-2x）（9-x）=112. 11. 若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是____． 【答案】a≥－1． 【解析】 【详解】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根， 当a≠0时，方程是一元二次方程， 若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2－4a•a≥0，解得：a≥－1． ∴若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥－1． 故答案为：a≥－1． 12. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 13. 如图，在中，如果，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根据与的图象关于轴对称，所以点、与点、关于轴对称，根据点、的坐标得到点、的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集． 【详解】解：与的图象关于轴对称， 直线与抛物线的交点、与点、也关于轴对称， 如下图所示： ，， ，， 从函数图象上可得：不等式的解集是， 故答案为：． 15. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断①③正确；设，则，，由此即可判断②正确；根据等腰三角形的判定可得，从而可得，根据可得，则，由此即可判断④错误． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 设，则， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、计算题：本大题共2小题，共8分． 17. 解方程： （1）（用配方法） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，． 四、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积． 【答案】（1）点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），D（−3，1）； （2）12． 如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标； （2）把这些点按A−D−B−C−A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可． 【详解】解：（1）∵点A（−1，3a−1）与点B（2b＋1，−2）关于x轴对称， ∴2b＋1＝−1，3a−1＝2， 解得a＝1，b＝−1， ∴点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1）， ∵点C（a＋2，b）与点D关于原点对称， ∴点D（−3，1）； （2）四边形ADBC的面积为：×4×2＋×4×4＝12． 【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个根和，且，求k的值． 【答案】 （1）由题意，分以下两种情况： ①当，即时， 关于x的方程为， 解得， 即此时方程有实数根； ②当，即时， 方程的根的判别式为， 则此时方程有实数根， 综上，无论k为何实数，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，再分别根据一元一次方程的解和一元二次方程根的判别式即可得证； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程根与系数的关系可得和的值，然后利用完全平方公式化简代入可得一个关于k的分式方程，最后解方程即可得． 【详解】（1）略 （2）此方程有两个根和， 此方程是关于x的一元二次方程， ，解得， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ， ， 解得或， 经检验，和均是所列分式方程的根， 故的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、分式方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的相关知识是解题关键． 20. 如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】 （1）证明：连接AC，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （2）的半径为5． 【解析】 【分析】（1）连接AC，由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而根据垂径定理可得，最后问题可求证； （2）设OA=OC=r，然后由（1）可知，进而根据勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设OA=OC=r，由（1）可知：， ∵，， ∴， 在Rt△AEO中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查垂径定理及圆周角定理，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键． 21. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①填空：与之间的函数关系式是___________； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1）甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对； （2）①；②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【解析】 【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对； 【小问2详解】 解：①， 答：y与x之间的函数解析式为：； ②∵， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴， ∴， ∵时，y随x的增大而增大， ∴当时，． ． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 22. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期初三期中质量检测题 数学 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有下列图案中属于中心对称图形的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 2. 将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3. 函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（ ） A. 4和－3 B. －3和－4 C. 5和－4 D. －1和－4 4. 如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 二次函数的部分图像如图所示，由图像可知，方程的解为_________． 10. 如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________． 11. 若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是____． 12. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 13. 如图，在中，如果，那么______．（填“”、“”或“”） 14. 如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ___________． 15. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 16. 如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 三、计算题：本大题共2小题，共8分． 17. 解方程： （1）（用配方法） （2） 四、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个根和，且，求k的值． 20. 如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①填空：与之间的函数关系式是___________； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元? 22. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $