天津市军粮城中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

数学试卷答案 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.己知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则() A.f(x)在x=1处取得极小值 B.f(x)在x=1处取得极大值 C.f(x)是R上的增函数 D.f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 【答案】C 【解析】由导函数f'(x)的图象知，在R上f'(x)≥0且不恒为0恒成立，故f(x)是R上的增函数.故选C. 2.函数f)=x-sinx在0，引上的最小值和最大值分别是() A管-竖0 B-1,0 cg-9-1 D-克克 【答案】A 【解析】f'()=-cosx,令f'()>0,解得号<x<受令f'()<0,解得0<x<罗 所以fx)在，)上递减，在(G递增，所以fx)an=f周=君-受而f0)=0,f月=-1，故f) 在区间，引上的最小值和最大值分别是号-受0，故选A. 3.设f(x)是R上的可导函数，且满足im 4x-0 24x+》-f但=-1，则y=f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为) 24x A.-1 B.1 C.2 D.-2 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查导数的定义和几何意义，考查推理能力和计算能力，属于基础题， 利用切线斜率等于f'(1)即可求解。 【解答】 解： $$\because \lim _ { \triangle x \to 0 } \frac { f \left( 2 \triangle x + 1 \right) - f \left( 1 \right) } { 2 \triangle x } = f ' \left( 1 \right) = - 1 ，$$ ∴y=f(x) 在点(1，f(1))处的切线的斜率为-1； 故选A. 4.若f' (x) 是函数 f(x) 的导函数， $$f \left( x \right) = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 3 x f ' \left( 3 \right) ，$$ ，则 f'(-3)=() $$A . - \frac { 1 5 } { 2 }$$ $$B . - \frac { 9 } { 2 }$$ $$C . \frac { 3 } { 2 }$$ $$D . \frac { 1 5 } { 2 }$$ 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查基本初等函数的导数公式，导数的加减法运算，属于基础题， 首先求出 f(x) 的导数f f(x)=x+3f'(3)， ，然后令 x=3， ，解方程即可得 $$f ' \left( x \right) = x - \frac { 9 } { 2 } ，$$ 代入 x=-3 即可 得到答案. 【解答】 解：因为 $$f \left( x \right) = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 3 x f ' \left( 3 \right) ，$$ ，所以 f ∵(x)=x+3f'(3) 令： x=3， ，得 (3)=3+3f'(3)， ，解得 $$f ' \left( 3 \right) = - \frac { 3 } { 2 } ，$$ 所以 $$f ' \left( x \right) = x - \frac { 9 } { 2 } ，$$ $$f ' \left( - 3 \right) = - 3 - \frac { 9 } { 2 } = - \frac { 1 5 } { 2 } .$$ 故选：A. 5.下列各式正确的是() $$A . \left[ \ln \left( 2 x + 1 \right) \right] ' = \frac { 1 } { 2 x + 1 }$$ $$B . \left( x \cdot { 2 ^ { x } } \right) ' = 2 ^ { x } \left( 1 + x \ln 2 \right)$$ $$C . \left( \frac { \cos x } { x } \right) ' = \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$$ $$D . \left( \sqrt x \right) ' = - \frac { 1 } { 2 \sqrt x }$$ 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查简单复合函数的导数，属于基础题. 利用简单复合函数的导数，计算得结论. 【解答】 解：对于A.因为 $$\lim _ { n } \left( 2 x + 1 \right) \right] ' = \frac { 2 } { 2 x + 1 } ，$$ ，故A错误： 对于B.因为 $$\left( x \cdot { 2 ^ { x } } \right) ' = 2 ^ { x } + x \cdot { 2 ^ { x } } \ln 2$$ =2*(1+xn2),故B正确： 对于C因为(9)'=g =-xsinx+cos x2 ,故C错误： 对于0因为冈'=1=动 1 故D错误. 故选B. 6.学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不 同选法种数为) A.20 B.30 C.22 D.40 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查至少、至多的组合问题，计数原理， 根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得。 【解答】 解：选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为CC=18种， 有3个女生1个男生时，选法种数为CC=4种， 所以不同选法有18+4=22种」 故选：C 7.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，其中偶数的个数有() A.512 B.192 C.180 D.156 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了分类计数原理，如何分类时关键，属于中档题. 根据个位分为两类，利用分步乘法计数原理计算各类，再由分类加法计数原理求解。 【解答】 解： 当0在个位时，有A=60个四位偶数， 当2或4在个位时，先安排个位有A种，再安排千位有A种，最后安排中间两位有A种方法，由分步乘法 原理知共有A2AA好=96个不同四位偶数， 再由分类加法计数原理知，共有60+96=156个四位偶数. 故选：D 8.3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是() A.24 B.48 C.96 D.120 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查相邻的排列问题，分步乘法计数原理，属于基础题， 根据题意，将2个女生看成一个整体，将这个整体与3个男生全排列，由分步计数原理计算可得答案.， 【解答】 解：根据题意，将2个女生看成一个整体，考虑其顺序，有A经=2种情况， 将这个整体与3个男生全排列，有A4=24种情况， 则2个女生必须排在一起的排法有2×24=48种， 故选：B 9.某班组织文艺晚会，准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出，要求A,B2个节目至少有1个选中， 且A,B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为() A.1860 B.1320 C.1140 D.1020 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键，属于基础题， 分两类：第一类，A,B只有一个选中，第二类：A,B同时选中，利用加法原理即可得出结论 【解答】 解：分两类：第一类，A,B只有一个选中，则不同演出顺序有C生·C经·A4=960种情况： 第二类：A,B同时选中，则不同演出顺序有种C哈·A号A行=180 故不同演出顺序的和数为960+180=1140， 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.函数f(x)=ex-e2x在[1,3]上的最小值为一 【答案】-e2 【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究闭区间上函数的最值，属于较易题。 求导从而确定f(x)=e*-e2x在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，从而求得最小值. 【解答】 解：由f(x)=e-e2x,可得f'(x)=e-e2, 令f'(x)=e-e2>0可得2<x≤3，fx)=e-e2x在(2,3)上单调递增， 令f'(x)=e-e2<0可得1≤x<2,f(x)=e-e2x在(1,2)上单调递减， 所以当x=2时，函数f(x)=ex-e2x取极小值，也是最小值， 又f(2)=e2-2e2=-e2, 所以f(x)=e-e2x在[1,3上的最小值为-e2. 故答案为：-e2 11.若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】(1，+∞) 【解析】【分析】 本题主要考查了不等式恒成立问题，将参数分离是解决本题的关键 【解答】 解：不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上恒成立， 即a>是-x在区间1,5上恒成立， 令f)=是x,则f'闭=-是-1=-学 x2 当x∈[1,5]时，f'(x)<0 即f)=子-x在区间[1,5]单调递减， ·f(x)max=f(1)=1, 4a>1, 故答案为(1，+∞) 12.f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则a的取值范围是 【答案】(-2,2) 【解析】【分析】 本题主要考查导数的应用，属基础题， 先利用导数判单调性，再求出极值，列式即可， 【解答】 解：因为f(x)=3x2-3. 令f'(x)>0,解得x>1或x<-1, 令f'(x)<0,解得-1<x<1, 所以函数在x=-1处取得极大值f(-1)=a+2, 在x=1处取得极小值f(1)=a-2, 由于f(x)=x3-3x+a有三个不同的零点， …8±228 解得-2<a<2, 故答案为(-2,2). 13.甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种 数为 (用数字作答) 【答案】24 【解析】【分析】 本题考查相邻和定序的排列问题，属于基础题， 分不考虑丁的位置，当丁在左端或者右端两种情况，然后作差即可. 【解答】 解：不考虑丁的位置，不同的站法种数为A×2=48, 当丁在左端或者右端时，不同的站法种数为2×A号×2=24， 若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为48一24=24， 故答案为24. 14.若3C3m=5A品，则正整数n= 【答案】8 【解析】【分析】 本题考查了排列数及组合数公式，属于基础题。 根据排列数和组合数的运算性质直接计算即可. 【解答】 解：因为3C3m=5A品， 所以3×2m2-2m-=5n(n-1)(n-2),解得n=8 3x2×1 故答案为8. 15.如图，用4种不同的颜色给矩形A,B,C,D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法 共有 种.（填数字） A B c 2 【答案】72 【解析】【分析】 本题考查排列、组合的应用，涉及“涂色”问愿，是典型题目：分析时要按一定顺序，由相邻情况来确定 可以涂色的情况数目. 根据图形，首先确定涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，进而由C与A、B相邻，D只与C相邻，可以确定C、 D的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案， 【解答】解：根据题意，首先涂A有C=4种涂法，则涂B有C=3种涂法， C与A、B相邻，则C有C=2种涂法， D只与C相邻，则D有C=3种涂法. 所以，共有4×3×2×3=72种涂法， 故答案为72 三、解答题：本题共5小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题6分) (1)计算： (2)解不等式：A循<6A塔2 【省案】解：@景 7x6×5×4×3×2x1=6: 7×6×5×4 (2)因为A塔<6×A暗2， 81 8! (8-x) -<6× (10-x)1 所以(10-x)(9-x)<6, 所以(x-7)(x-12)<0,解得7<x<12, 又2<x≤8，x∈N, 所以x=8, 所以不等式A结<6×A2的解集为8) 【解析】本题考查排列数与组合数的计算，属于基础题， (1)根据排列数公式直接求解即可： (2)转化为(10-x)(9-x)<6,求解即可. 17.(本小题9分) 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名， (1)将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？ (2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？ 【答案】解：(1)男生3名，女生3名站成一排，共有P种，又因为3名男生从左到右的顺序一定， 所以不同的排法种数为等=120种， (2)从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有C哈-C4=14种， 【解析】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题 (1)先将6人进行全排，再除以P3可得答案： (2)利用间接法，即可求解。 18.(本小题10分) 己知函数f(x)=x2-x-3lnx (1)求f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程： (2)求f()在，3上的最大值与最小值， 【答案】解：()f(x)=x2-x-3nx f6)=2x-1-=22-3x>0, 所以函数y=f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为k=f'(1)=-2, 又×f1)=0, 所以函数y=f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=-2(x-1), 即y=-2x+2: f'=2-3=+2-》,xe[,3引 当xe(分)时，f'()<0:当xe(,3)时，f()>0. afx)mn=f()=子-3m2 因为f(2)=-}+3m2,f3)=6-3m3, f3)-f)=华-3n6>空-3ne2>0,则f3)>f). ∴函数y=f(x)在[2,3]上的最大值为6-33. 【解析】本题考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，属于中档题。 ①)根据导数的几何意义，求出切线斜率，根据直线的点斜式方程，得出答案： ()利用导数分析函数在闭区间上的单调性，从而得到函数的最值。 19.(本小题10分) 已知函数f(x)=-x+lnx,g(x)=xe*-2x-m. (1)求函数f(x)的单调区间及极值： (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】解：已知f(x)=-x+lnx,函数定义域为(0，+o), 可得f)=兰 当0<x<1时，f'(x)>0:当x>1时，f'(x)<0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+∞)， 当x=1时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(1)=-1,无极小值点： (2)不妨设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-xer+x+m,函数定义域为(0，+∞)， 可得h'()=1+1-x+1)e*=(x+1)(经-e9, 不妨设()=e,函数定义域为0，+∞)， 可得t'()=-是-e<0对任意xe(0,+∞)恒成立， 所以函数t()=-e在(0，+∞)上单调递减， 又t(分=2-Ve>0,t1)=1-e<0, 所以3x0∈（分，1），使得t(xo)=去-e0=0, 此时是=eo, 整理得ln=bneo, 即-lnxo=xo, 当0<x<xo时，t(x)>0,h′(x)>0,h(x)单调递增： 当x>xo时，t(x)<0,h(x)<0,h(x)单调递减， 所以h(x)max=h(xo)=lnxo+x0-xoe+m=0-1+m≤0， 解得m≤1， 故实数m的取值范围为(-∞，1]： 【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，根据导数的正负判断单调性与极值： (2)构造函数h()=fx)-9(x),对函数h()进行求导，构造函数t()=-e,对函数t(x)进行求导可判 断30∈（分1），使得(x)=六-e=0,即-=x0,进而确定函数函数h(x)的单调性与最值，推出实 数m的取值范围. 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻推理、转化思想和运算能力. 20.(本小题10分) 已知函数f(x)=e+ax-1(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，不等式f(x)≥bx-1对Vx∈(0，+∞)恒成立，求实数b的取值范围： (3)若函数f(x)在定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围。 【答案】解：(1)f'(x)=e+a, 当a≥0时，e+a>0,f'(x)>0在R上恒成立， 所以f(x)在R上单调递增， 当a<0时，令f'(x)=0,得x=ln(-a), 所以在(-o,ln(-a)上f'(x)<0,f(x)单调递减， 在n(-a),+o)上f'(x)>0,f(x)单调递增， 综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增， 当a<0时，f(x)在(-o,ln(-a)上单调递减，在(n(-a),+co)上单调递增. (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，则f‘(1)=0,即e+a=0, 所以a=-e, 因为不等式f(x)≥bx-1对x∈(0，+o)恒成立， 所以e+ax-1≥bx-1对Vx∈(0，+o)恒成立， 所以e-ex-1≥bx-1对Vx∈(0，+o)恒成立， 所以e≥(b+e)x对vx∈(0，+o)恒成立， 所以三≥b+e对vxe(0,+o)恒成立， 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的定义域为R, 的导函数 的图象如图所示，则( ) A.处取得极小值 B. 处取得极大值 C. 是R上的增函数 D. 在上单调递减, 在上单调递增 2.函数 在 上的最小值和最大值分别是( ) 3.设是R上的可导函数，且满足 则在点处的切线的斜率为( ) A.-1 B.1 C.2 D. -2 4.若是函数的导函数, 则=( ) C. D. 5.下列各式正确的是( ) 6.学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为( ) A.20 B.30 C.22 D.40 7.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，其中偶数的个数有( ) A.512 B.192 C.180 D.156 8.3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是( ) A.24 B.48 C.96 D.120 9.某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B2 个节目至少有1个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( ) A.1860 B.1320 C.1140 D.1020 二、填空题：本题共6小题，每小题5分， 共30分。 10.函数 在[1，3]上的最小值为 . 11.若关于x的不等式 在区间[1，5]上恒成立，则实数a的取值范围为 . 有3 个不同的零点，则a的取值范围是 . 13.甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为 .(用数字作答) 14.若 则正整数n = . 15.如图，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种(填数字) A B C D 三、解答题：本题共5小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题6分) (1)计算: (2)解不等式： 17.(本小题9分) 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名. (1)将6 人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定(不一定相邻)，不同排法有多少种? (2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种? 18.(本小题10分) 已知函数 (1)求 的图象在点处的切线方程; (2)求 在[ ，3]上的最大值与最小值. 19.(本小题10分) 已知函数 (1)求函数的单调区间及极值； (2)若恒成立, 求实数m的取值范围. 20.(本小题10分) 已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在处取得极值, 不等式对恒成立, 求实数b的取值范围; (3)若函数在定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$