猜想05 数列高频题型归类（考题猜想，11大题型）高二数学下学期人教B版

猜想05 数列高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差等比数列基本量的计算 · 题型二 等差数列下标和性质 · 题型三 等差数列前n项和性质 · 题型四 等比数列下标和性质 · 题型五 等比数列前n项性质 · 题型六 等差等比数列的证明 · 题型七 求通项公式 · 题型八 倒序相加法 · 题型九 分组求和法 · 题型十 裂项相消法 · 题型十一 错位相减法 题型一 等差等比数列基本量的计算 1．（2024·25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 即，即，则， 设等比数列的公比为，由，得， 即，则，即， 所以. 故选：C. 2．（2024·25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】则为常数，所以为常数， 知数列为等差数列， 由，知，又， 所以公差， 故. 故选：A 3．（2023·24高三上·湖北宜昌·期中）已知公差为的等差数列中，，，成等比数列，则的前项的和为 . 【答案】 【详解】由题意，，即，解得． 的前项的和为． 故答案为：55. 4．（2023·24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】32 【详解】首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以. 由. 由. 所以. 故答案为：32 5．（2024·25高三上·四川成都·期中）若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则 ． 【答案】25 【详解】令的公差为，又，且， 所以，整理得，可得， 所以. 故答案为： 题型二 等差数列下标和性质 6．（2024·25高二下·广西南宁·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．104 D．130 【答案】C 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 7．（2024·25高二上·河南开封·期中）已知等差数列前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 8．（2024·25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得到①，由，得到②， 由①②得到，，又，，由，解得， 所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为， 故选：A. 9．（2023·24高三上·山东济宁·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为14 【答案】BCD 【详解】在等差数列中，， ，，，， 公差，数列是递减数列，A错误； ，，B正确； ，，数列是递减数列， 当时，最大，C正确； ，，， ，， 当时，n的最大值为14，D正确． 故选：BCD 10．（2024·25高三上·福建福州·期中）已知是数列的前项和，，且对于任意，有，则 . 【答案】550 【详解】因为对于任意，有， 令，则，即， 可知数列是以首项和公差均为的等差数列， 所以. 故答案为：550. 题型三 等差数列前n项和性质 11．（2024·25高三上·山东济南·期中）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（    ）    A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块 【答案】B 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有环， 则，， 由等差数列的性质可得，，也成等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以中层共有扇面形石板1134块． 故选：B． 12．（2023·24高三上·四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 【答案】C 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 13．（2024·25高三上·山西大同·期中）记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【详解】因为当时，数列存在前项小于，从第项开始不小于，此时有最小值，所以甲是乙的充分条件． 又当时，的最小值为，所以甲不是乙的必要条件． 综上，甲是乙的充分条件不必要条件. 故选：A 14．（2023·24高二下·江苏盐城·期末）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 【答案】BC 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 对选项A，因为， 所以， 因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误， 对选项B，，故B正确， 对选项C，因为，所以，故C正确， 对选项D，，， ∵，∴、，，故D错误， 故选：BC. 15．（2023·24高二下·福建厦门·期末）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】ABD 【详解】由题意，，则，， 又是等差数列，所以，故A正确； 又，则，故D正确； 因为，故B正确； 因为时，，当时，， 所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：ABD 16．（2023·24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以，，，成等差数列， 所以，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 17．（2023·24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为 . 【答案】 【详解】由等差数列的性质可得：． 对于任意的都有， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 题型四 等比数列下标和性质 18．（2023·24高二下·广东佛山·期末）已知等比数列满足，则有（    ） A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值 【答案】C 【详解】方法一：因为数列是等比数列，所以，所以，所以，所以 ， 当且仅当，即时取等号． 方法二  因为数列是等比数列，所以，所以，所以 ， 当且仅当时取等号． 故选：C． 19．（2023·24高二下·广东汕头·期末）已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ABD 【详解】∵数列是正项等比数列，，， 由， 当且仅当，即，时等号成立， 即，符合题意的有A，B，D． 故选：ABD． 20．（2023·24高一下·河北石家庄·期中）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数的值为198 【答案】ABD 【详解】对于A，∵，∴，∴. ∵，∴， 又，∴.故A正确； 对于B，C，由A项分析可知，，∴， ∴，，故B正确，C错误； 对于D，因， 而， ∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确. 故选：ABD. 21．（2025·山西·一模）已知等比数列的前项积为，若，则 . 【答案】 【详解】由题意得，， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 22．（2023·24高一下·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】10 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 所以. 故答案为：10. 23．（2023·24高二下·四川成都·期中）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 . 【答案】2024 【详解】，，其中是等差数列， 则（常数）， 故， 所以数列为等比数列， 则． 故答案为：2024． 题型五 等比数列前n项性质 24．（2024·25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 25．（2023·24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 26．（2023·24高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 27．（2024·25高二下·福建福州·期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 28．（2024·25高三上·山东日照·期中）已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ． 【答案】 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， 由，，可得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型六 等差等比数列的证明 29．（2024·25高二上·河南开封·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【详解】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 30．（2023·24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为， 所以， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以 31．（2024·25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 32．（2023·24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 33．（2023·24高三下·河北沧州·期中）在数列中，，都有成立. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）依题意，，则， 两式作差得， 所以数列是以为首项，公差为3的等差数列； （2）由题意知，则， 若为等差数列，则， 所以，解得， 此时， ， 即，故为等差数列， 所以. 34．（2024·25高二上·上海·期中）设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项以及其前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【详解】（1）证明：， 代入中，得， 为定值，所以数列是等比数列； （2）由(1)可知数列是以为公比的等比数列，， ，即； . 题型七 求通项公式 35．（2024·25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①， 当时，②， ①-②得，， 又，满足，所以， 所以， 所以. 故选：C. 36．（2023·24高二上·河南·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 37．（2024·25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 . 【答案】 【详解】当时，由得， 即， 因为，所以， 所以， ， 则， 又满足上式，故， 故答案为：． 38．（2024·25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 39．（2024·25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 故答案为： 40．（2024·25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 题型八 倒序相加法 41．（2024·25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 42．（2023·24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 43．（2024·25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 44．（2023·24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 题型九 分组求和法 45．（2024·25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 【答案】C 【详解】数列中，，，而， 所以. 故选：C 46．（2024·河南洛阳·一模）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1033 B．2057 C．1034 D．2058 【答案】A 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，因此， 所以. 故选：A 47．（2023·24高二上·江苏徐州·期中）已知数列的前n项和为，且满足． (1)若成等比数列，求m的值； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设，故是公差为2的等差数列， 所以，即，得， 所以，又， 则，即. （2）由（1）知：， 所以. 48．（2024·25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)若，的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）① ② ①②整理得 数列是正项数列， 当时，由，可得， 数列是以2为首项，4为公差的等差数列， ； （2）， ， 当时，解得， 即， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）由题意知，， 故 ． 49．（2024·25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 50．（2024·25高三上·福建南平·期中）已知数列的各项均不为零，为其前项和，且. (1)探究：与的关系； (2)若，数列为等比数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ，. （2）由（1）知：，又，为等比数列， 的公比， ； 由得：，，解得：； 数列是以为首项，为公差的等差数列；数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， ， . 题型十 裂项相消法 51．（2024·25高二上·云南昭通·期中）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， ， ， ， 随n的增大而增大，当时，取最小值， 所以. 故选：B. 52．（2020·21高二上·江苏南通·期中）设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意， 当时，得， 令， 则当时， 所以，即． 又时，也成立，∴， 故数列的通项公式为， ∴， 即有. 故选：ABD. 53．（2024·25高二上·福建龙岩·期中）在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得，即. 因为，所以，则， 则. 要使恒成立，则，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 54．（2021·22高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 55．（2020·21高三上·山西·期中）知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）正项数列的前项和为，满足， 所以， 整理得：， 由于数列为正项数列， 所以（常数）， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 故， 所以当时，， 当时，符合上式， 所以． （2）由于， 所以， 所以． 56．（2024·25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 题型十一 错位相减法 57．（2024·25高二下·四川内江·期中）设为数列的前项和，已知，，则 . 【答案】 【详解】由可得， 令，则，∴又，，∴； ①， ②， ①减②得：， ∴，∴. 故答案为：. 58．（2023·24高二下·辽宁·期中）在首项为1的数列中，则 【答案】 【详解】因为， 所以， ， ， ， 以上各式相加得：， 令，① ，② 错位相减：有，， 即， 所以， 又因为，所以有，所以, 检验时，符合上式，所以. 故答案为： 59．（2024·25高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列是公差为，且， . ，， 又成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 （2）由（1）得， 则. 又， 则. 又， ①， ②， ①-②得：， 所以． 60．（2024·25高二上·甘肃兰州·期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 由，得， 由成等比数列，得，即， 则，整理得，而，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则， 因此， 两式相减得， 则， 所以的前n项和. 61．（2024·25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，数列的前n项和． (1)求，的通项公式； (2)若，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时，， 此时满足上式，故． 因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时， ，此时满足上式， 故． （2）因为， 所以， 则， 两式相减得， 化简得． 62．（2024·25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． （2）由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． $$猜想05 数列高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差等比数列基本量的计算 · 题型二 等差数列下标和性质 · 题型三 等差数列前n项和性质 · 题型四 等比数列下标和性质 · 题型五 等比数列前n项性质 · 题型六 等差等比数列的证明 · 题型七 求通项公式 · 题型八 倒序相加法 · 题型九 分组求和法 · 题型十 裂项相消法 · 题型十一 错位相减法 题型一 等差等比数列基本量的计算 1．（2024·25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2023·24高三上·湖北宜昌·期中）已知公差为的等差数列中，，，成等比数列，则的前项的和为 . 4．（2023·24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 . 5．（2024·25高三上·四川成都·期中）若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则 ． 题型二 等差数列下标和性质 6．（2024·25高二下·广西南宁·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．104 D．130 7．（2024·25高二上·河南开封·期中）已知等差数列前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·24高三上·山东济宁·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为14 10．（2024·25高三上·福建福州·期中）已知是数列的前项和，，且对于任意，有，则 . 题型三 等差数列前n项和性质 11．（2024·25高三上·山东济南·期中）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（    ）    A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块 12．（2023·24高三上·四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 13．（2024·25高三上·山西大同·期中）记无穷等差数列的公差为，前项和为．设甲：且；乙：有最小值，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14．（2023·24高二下·江苏盐城·期末）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（   ） A．时，取最大值 B． C．若， D．若时， 15．（2023·24高二下·福建厦门·期末）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列的最大项为 D． 16．（2023·24高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 17．（2023·24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为 . 题型四 等比数列下标和性质 18．（2023·24高二下·广东佛山·期末）已知等比数列满足，则有（    ） A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值 19．（2023·24高二下·广东汕头·期末）已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 20．（2023·24高一下·河北石家庄·期中）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数的值为198 21．（2025·山西·一模）已知等比数列的前项积为，若，则 . 22．（2023·24高一下·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 23．（2023·24高二下·四川成都·期中）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 . 题型五 等比数列前n项性质 24．（2024·25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 25．（2023·24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（2023·24高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 27．（2024·25高二下·福建福州·期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·25高三上·山东日照·期中）已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ． 题型六 等差等比数列的证明 29．（2024·25高二上·河南开封·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 30．（2023·24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 31．（2024·25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 32．（2023·24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 33．（2023·24高三下·河北沧州·期中）在数列中，，都有成立. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和. 34．（2024·25高二上·上海·期中）设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项以及其前项和. 题型七 求通项公式 35．（2024·25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，，则等于（   ） A． B． C． D． 36．（2023·24高二上·河南·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 . 38．（2024·25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 . 39．（2024·25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ． 40．（2024·25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 题型八 倒序相加法 41．（2024·25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 42．（2023·24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 43．（2024·25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 44．（2023·24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 题型九 分组求和法 45．（2024·25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 46．（2024·河南洛阳·一模）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1033 B．2057 C．1034 D．2058 47．（2023·24高二上·江苏徐州·期中）已知数列的前n项和为，且满足． (1)若成等比数列，求m的值； (2)设，求数列的前n项和． 48．（2024·25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)若，的前项和为，求． 49．（2024·25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 50．（2024·25高三上·福建南平·期中）已知数列的各项均不为零，为其前项和，且. (1)探究：与的关系； (2)若，数列为等比数列，，，求数列的前项和. 题型十 裂项相消法 51．（2024·25高二上·云南昭通·期中）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（2020·21高二上·江苏南通·期中）设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 53．（2024·25高二上·福建龙岩·期中）在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 . 54．（2021·22高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 55．（2020·21高三上·山西·期中）知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 56．（2024·25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 题型十一 错位相减法 57．（2024·25高二下·四川内江·期中）设为数列的前项和，已知，，则 . 58．（2023·24高二下·辽宁·期中）在首项为1的数列中，则 59．（2024·25高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 60．（2024·25高二上·甘肃兰州·期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和． 61．（2024·25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，数列的前n项和． (1)求，的通项公式； (2)若，求的前n项和． 62．（2024·25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． $$