期中真题精选（八大压轴题型专练）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

期中真题精选（八大压轴题型专练） 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 向量数量积的取值范围 · 题型二 向量模的取值范围 · 题型三 平面向量的新定义题 · 题型四 三角函数中的取值范围 · 题型五 三角函数中的零点问题 · 题型六 三角函数中的恒成立问题 · 题型七 三角函数中的存在性问题 · 题型八 三角函数中的新定义问题 题型一 向量数量积的取值范围 1．（2023·24高一下·福建莆田·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24高一下·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（    ） A． B．3 C．1 D．2 4．（2023·24高一下·吉林长春·期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 6．（2023·24高一下·云南昆明·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·24高一下·江苏·期中）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ． 8．（2023·24高一下·江苏·期中）在直角梯形中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点． (1)若E是CD边的中点． ①试用和表示； ②若，求的值； (2)求的取值范围． 题型二 向量模的取值范围 9．（2023·24高一下·河北沧州·期中）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 10．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）已知向量满足：，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 13．（2023·24高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则最大值为 ，最小值为 ． 题型三 平面向量的新定义题 14．（2023·24高一下·内蒙古·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（   ） A．1 B． C． D． 15．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 . 16．（2023·24高一下·北京·期中）对于非零向量，定义运算“*”：.其中为的夹角.有两两不共线的三个向量下列结论不一定成立的是 .（只需写出序号） ①若，则 ② ③ ④ 17．（2023·24高一下·福建三明·期中）设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是 ． 18．（2023·24高一下·上海嘉定·期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是 ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 19．（2023·24高一下·福建泉州·期中）设非零向量，并定义 (1)若，求； (2)写出之间的等量关系，并证明； (3)若，求证：集合是有限集. 题型四 三角函数中的取值范围 20．（2024·25高一下·河南驻马店·期中）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（2024·25高一上·山东菏泽·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（2023·全国·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·25高一下·湖北荆州·期中）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 . 24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 25．（2024·25高一下·江苏南京·期中）已知，函数，，在上单调，则的取值范围是 . 26．（2024·25高二上·上海·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 题型五 三角函数中的零点问题 27．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 28．（2022·23高一下·江苏连云港·期中）函数的零点个数为 ． 29．（2023·24高一下·广东广州·期中）已知函数的最大值为1，其图象相邻对称轴之间的距离为. 若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称. (1)求函数的解析式； (2)已知常数，且函数在内恰有2024个零点，请求出所有满足条件的与. 30．（2023·24高一下·浙江温州·期中）已知函数（其中）的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围． 31．（2023·24高一下·河北张家口·期中）已知函数． (1)求函数的最大值及取最大值时x的取值集合； (2)求函数的单调递增区间； (3)已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围． 32．（2023·24高一下·北京海淀·期中）设函数，已知存在A使得同时满足下列三个条件中的两个： 条件①：； 条件②：的最大值为2； 条件③：是图象的一条对称轴． (1)请判断满足的两个条件，并写出函数的解析式； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围； (3)已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求的取值范围． 33．（2023·24高一下·上海黄浦·期中）已知函数，满足． (1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）； (2)求在区间上的零点个数； (3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 题型六 三角函数中的恒成立问题 34．（2023·24高一下·北京·期中）若在恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2023·24高一下·四川内江·期中）函数的一段图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围． 36．（2023·24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)求的对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象. （i）求的值域； （ii）当时，恒成立，求实数的取值范围. 37．（2023·24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 38．（2023·24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)求函数的值域； (2)设，若，恒成立，求时t的最大值. 题型七 三角函数中的存在性问题 39．（2022·23高一下·辽宁沈阳·期中）已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（2023·24高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)函数的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值 (3)函数，对，是否存在唯一实数，使得成立，若存在，求范围，若不存在，说明理由. 41．（2023·24高一下·河南南阳·期中）设函数，其中，已知，且. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 42．（2022·23高二下·上海·期中）已知向量，函数，． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为﹣1，求实数m的值； (3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 43．（2023·24高一下·广西钦州·期中）对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型八 三角函数中的新定义问题 44．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 45．（2023·24高一下·江西·期中）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 46．（2023·24高一下·江西抚州·期中）若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界． (1)求函数的上确界； (2)已知函数，，证明：2为函数的一个上界； (3)已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围． 参考数据：，． 47．（2023·24高一下·北京延庆·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”． (1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”； (2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由； (3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值． $$期中真题精选（八大压轴题型专练） 38 / 49 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 向量数量积的取值范围 · 题型二 向量模的取值范围 · 题型三 平面向量的新定义题 · 题型四 三角函数中的取值范围 · 题型五 三角函数中的零点问题 · 题型六 三角函数中的恒成立问题 · 题型七 三角函数中的存在性问题 · 题型八 三角函数中的新定义问题 题型一 向量数量积的取值范围 1．（2023·24高一下·福建莆田·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 2．（2023·24高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即BC⊥CD，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 3．（2023·24高一下·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】A 【详解】设的中点为，因为，， 所以，， 则 ， 因为，所以， 即的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：设的中点为，将化为，是解决本题的关键. 4．（2023·24高一下·吉林长春·期中）已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量，的夹角为及，得，即， 则，令， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 由，解得， 所以当且时，取得最大值. 故选：B 5．（2023·24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 【答案】A 【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，其中，，， 故，,， ， ，，， ， 的取值范围为,，故的最小值为； 故选：A． 6．（2023·24高一下·云南昆明·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直，由三线合一得到， 取的中点，因为，故， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C． 7．（2023·24高一下·江苏·期中）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 ． 【详解】在中，，，点为的中点，点为的中点， 由，则， 设， 由余弦定理可得， 因为，可得，即，当且仅当时取等号， 又因为，则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：；． 8．（2023·24高一下·江苏·期中）在直角梯形中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点． (1)若E是CD边的中点． ①试用和表示； ②若，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；②2； (2). 【详解】（1）①在直角梯形中，，则， 由点E是CD边的中点，F是BC边的中点，得，即， 所以； ②，， 则，而，， 因此， 所以. （2）令且， 由（1）知：， 则，而 因此， 所以的取值范围是. 题型二 向量模的取值范围 9．（2023·24高一下·河北沧州·期中）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】D 【详解】如图：以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，可设， 则， 所以 所以. 又因为，所以. 故选：D 10．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，共起点， 由，可得， 所以与垂直，如图 由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上， 由题意可知的终点在图中所示的射线上， 所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径， 故的最小值为. 故选：. 11．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）已知向量满足：，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为， 则 对称轴,，即. 故选：A. 12．（2023·24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 所以， 作，因为， 所以，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E， 则， 因为，所以圆E的半径为2， 所以，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据平面向量的线性运算的几何意义，将问题转化为圆上动点到圆外定点的距离最大值问题. 13．（2023·24高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / 【详解】，，设和的夹角为，， 又， ， 当时，取得最大值，即取最大值； 当时，取得最大值，即取最小值. 故答案为：；． 题型三 平面向量的新定义题 14．（2023·24高一下·内蒙古·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：因为 设向量和的夹角为， 则． 因为，所以， 所以， 所以， 故． 当时，，又，所以，符合题意； 当时，，又，所以，符合题意． 所以或． 故选：AC. 【点睛】关键点睛：对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用. 15．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 . 【答案】 【详解】当且时，可得； 当且，时，可得， 当且仅当时，等号成立； 同理可得：当且，或且，时， 此的最小值也为； 当且时， 可得， 由，设，可得，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上可得，的最小值为. 故答案为：. 16．（2023·24高一下·北京·期中）对于非零向量，定义运算“*”：.其中为的夹角.有两两不共线的三个向量下列结论不一定成立的是 .（只需写出序号） ①若，则 ② ③ ④ 【答案】①②④ 【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为． 由题意可知：，，， 且， 对于①：若，即， 可得，故①不正确； 对于②：因为，， 又因为不一定共线，即与不一定相等，故②不正确； 对于③：，故③正确； 对于④：若，且不共线，则，，故④不正确； 故答案为：①②④． 17．（2023·24高一下·福建三明·期中）设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【详解】对于①，当与不共线时，； 当与共线时，，①正确. 对于②，当与共线时，，， 所以与不一定相等，②错误. 对于③，当，，共线时，，， 所以与不一定相等，③错误. 对于④，当与不共线时，记，则； 当与共线时，，④正确. 故答案为：①④ 18．（2023·24高一下·上海嘉定·期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是 ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 【答案】①②③ 【详解】对于①：∵，，即， ∴ ，故①正确； 对于②：∵，，即，， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，，， ∴， ∴，故③正确； 对于④： ，故④错误. 故答案为：①②③ 19．（2023·24高一下·福建泉州·期中）设非零向量，并定义 (1)若，求； (2)写出之间的等量关系，并证明； (3)若，求证：集合是有限集. 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)证明见详解 【详解】（1）因为，依题意得，所以， 即，所以. （2）的等量关系是. 证明如下： 依题意得， 所以. 因为，所以 即， 所以， 故. （3）由（2）及得.依此类推得， 设， 则. 依题意得， ， ， 所以. 同理得， ， ， . 所以. 综上，集合是有限集. 题型四 三角函数中的取值范围 20．（2024·25高一下·河南驻马店·期中）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 21．（2024·25高一上·山东菏泽·期中）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ， 又，则， 函数在上恰有2个零点，即在上有2个解， 所以，解得． 故选：A 22．（2023·全国·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 23．（2024·25高一下·湖北荆州·期中）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 . 【答案】/5.25 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故答案为： 24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】5 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得. 当时，1，又，所以； 当时，； 当时，不等式无解. 综上，的最大值为5. 故答案为：5. 25．（2024·25高一下·江苏南京·期中）已知，函数，，在上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 因为， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，； 当时，； 因此的取值范围是． 故答案为：． 26．（2024·25高二上·上海·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为 . 又，所以. 因为，所以，所以，解得. 故答案为： 题型五 三角函数中的零点问题 27．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 【答案】 / 2 【详解】由题得， 所以即， 又，所以； 所以， 所以令，则有， 则函数的所有零点即为函数与图象上所有交点的横坐标， 作与图象如图所示， 由图可知与图象共有9个交点， 因为，所以点是图象的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余8个交点都关于点对称， 所以所有交点的横坐标的和为， 所以函数的所有零点之和为2. 故答案为：；2. 【点睛】思路点睛：求函数多个零点之和的问题常借助函数对称性解决，在图象能作出情况下还常结合图象去解决，故求函数的所有零点之和，可将问题转化成求两个已知函数与图象上的所有交点的横坐标之和，进而借助图象和函数对称性即可求解. 28．（2022·23高一下·江苏连云港·期中）函数的零点个数为 ． 【答案】6 【详解】由 ， 令，作出函数的草图如下：    当时,由可得， 当时, 由得， 易知在之间两函数有6个交点，故零点个数为6. 故答案为：6. 29．（2023·24高一下·广东广州·期中）已知函数的最大值为1，其图象相邻对称轴之间的距离为. 若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称. (1)求函数的解析式； (2)已知常数，且函数在内恰有2024个零点，请求出所有满足条件的与. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题，故，， 所以， 故将图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象解析式为： ， 由题图象关于原点中心对称，故， 又，故， 所以. （2）由（1）以及得 ， 故时，，故时可得， 令，则， 且在和上单调递减，，其图象如下图所示，    ①当时，由或， 则在内恰有2个零点，在内有且仅有3个零点， 所以要满足在内恰有个零点，则. ②当时，由或， 则在内恰有1个零点，在内有且仅有3个零点， 所以要满足在内恰有个零点， 则或，故不符合题意. ③若，则由函数图像可知关于的方程有两解， 且满足一解，另一解， 所以在内恰有2个零点，在内恰有4个零点， 所以要满足在内恰有个零点，则. ④若，则由函数图像可知关于的方程只有1解为， 所以在内没有零点，在内有且仅有2个零点， 所以要满足在内恰有个零点，则或. ⑤若，则由函数图像可知关于的方程有1解为， 所以在内恰有2个零点，且在内有且仅有2个零点， 所以要满足在内恰有个零点，则或. 综上： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，或. 【点睛】易错点睛：在和时，容易统一归为在内恰有2个零点，进而统一得解，从而导致当时，漏解；当时，漏解. 30．（2023·24高一下·浙江温州·期中）已知函数（其中）的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知，，， ，由于， 所以，所以. （2）将函数的图象上的所有点向右平移，得到， 再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数， 由得，此时， 所以要使函数在有零点，则. 31．（2023·24高一下·河北张家口·期中）已知函数． (1)求函数的最大值及取最大值时x的取值集合； (2)求函数的单调递增区间； (3)已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最大值， (2) (3) 【详解】（1）由已知， 令，得，即， 所以函数的最大值为，且取最大值时x的集合为 （2）令， 解得， 即函数的单调递增区间为； （3）当，， 此时，即， 令，得在上存在零点， 令， 即在上存在零点， 又当时， 所以，解得. 32．（2023·24高一下·北京海淀·期中）设函数，已知存在A使得同时满足下列三个条件中的两个： 条件①：； 条件②：的最大值为2； 条件③：是图象的一条对称轴． (1)请判断满足的两个条件，并写出函数的解析式； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围； (3)已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)存在满足条件②③； (2) (3) 【详解】（1）函数， 其中， 对于条件①：若，则， 对于条件②：的最大值为，则，得，①②不能同时成立， 当时，，即不满足条件③； 当时，，，即满足条件③； 当时，，，即不满足条件③； 综上可得，存在满足条件②③，且． （2）由（1）得， 当时，， 由于f（x）在区间上有且只有一个零点， 则，解得， 即m的取值范围是． （3）∵函数在区间上恰好有两个零点， ∴函数的图象与函数的图象在区间上恰好有两个交点， 设，则， ， 函数，的图象大致为： 由图知， ∴a的取值范围为． 33．（2023·24高一下·上海黄浦·期中）已知函数，满足． (1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）； (2)求在区间上的零点个数； (3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)4个； (3)存在，2021. 【详解】（1），又， 解得，所以， 函数的最小正周期为. 理由为：因为， ， 所以，所以函数为周期函数，周期为， 当时，， 设则 ， 所以，其中当且仅当时，， 当时， 设，则， 于是， 所以， 所以在只有时，， 故函数的最小正周期为. （2）当时， 设则 ， 令，可得或， 或， 又， 或或或，其中， 所以函数在区间上的零点个数为个； （3）当时，． 设，则， 于是，令， 解得或，故在没有实根． 结合（2）可得，在上有4个零点， 而， 所以函数在恰有2022个零点. 即存在，使得在区间上恰有2022个零点. 题型六 三角函数中的恒成立问题 34．（2023·24高一下·北京·期中）若在恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得（*）， 当时不等式为显然成立； 当时，（*）式可化为：， 因时，单调递增且恒为负，故单调递减； 同时又因单调递减且恒为正，则单调递增， 又单调递增，故在时单调递减. 综上可知，在时为减函数， 故当时，函数有最大值为，故. 故选：B. 35．（2023·24高一下·四川内江·期中）函数的一段图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为. (2) (3) 【详解】（1）由图象可知，, 所以, 将图象上点代入函数中得，， 结合图象知， 所以， 又因为， 所以， 故. 由， 解得， 故函数的单调递增区间为. （2）因为， 所以， 当时，函数最大值为， 当时，函数最小值为， 所以， 故函数在区间的值域为. （3）因为对，不等式恒成立， 所以， 由（2）知，函数在区间的值域为， 所以， 即能成立， 所以， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故实数的取值范围为. 36．（2023·24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)求的对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象. （i）求的值域； （ii）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i） ；（ii）. 【详解】（1） ，             令，得， 所以的对称中心为. （2）由， 将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度， 然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得，             （i） ， 令，， 则，其对称轴为， 故当时，；当时，， 所以函数的值域为.             （ii）原不等式等价于， 也即， 即恒成立， ①当时，恒成立，显然成立，故符合题意，         ②当时，令，由可得， 此时， 所以， 当且仅当且即时等号成立，          所以的最小值为， 若要满足不等式恒成立则，得， 则，                                            ③当时，同理可得， 当且仅当且即时等号成立， 所以的最小值为， 若要满足不等式恒成立则，得， 则，                               综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：当时，恒成立，即恒成立，令，，利用正、余弦函数的性质，讨论时，时，时，三种情况不等式恒成立的条件. 37．（2023·24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 38．（2023·24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)求函数的值域； (2)设，若，恒成立，求时t的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， 所以，， 所以， 当时， 所以，， 所以， 当时， 所以，， 所以， 当时， 所以，， 所以， 所以函数的值域为， （2）因为，恒成立， 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以或， 所以或， 又， 所以， 所以， 所以t的最大值为. 题型七 三角函数中的存在性问题 39．（2022·23高一下·辽宁沈阳·期中）已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，其中， 又因为，所以， 又因为m为正数，所以，， 所以， 又因为存在最大值， 所以，又因为， 从而可得， 所以， 解得. 所以正数m的取值范围是. 故选：C. 40．（2023·24高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)函数的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值 (3)函数，对，是否存在唯一实数，使得成立，若存在，求范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)， (3)存在，的取值范围为. 【详解】（1）由图象可知函数的最小值为，结合对称性可得最大值为， 所以， 设函数的周期为，则 所以， 故， 又当时，函数取最小值， 所以， 所以， 又，所以， 所以的解析式为； （2），令， 由可得， 令，如图：    由对称性可知， 所以 两式相加可得， 所以， 故 所以； （3）， 由，可得， 所以，的值域为， 由，可得， 当时，即时，函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减， 且，，， 因为对，若存在唯一实数，使得成立， 则对，若存在唯一实数，使得成立， 所以函数，的值域包含与， 所以，故， 所以的取值范围为. 41．（2023·24高一下·河南南阳·期中）设函数，其中，已知，且. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由知，， 则，又已知， 所以， 故中恰有一个取最大值，而另一个取最小值. 所以有， 则， 故，则. 因为，且，所以，， 则. （2）令， 解得， 故的单调递增区间为. （3）由题意可得. ∵，∴， 此时，， 由题意，要使有解，可得， 即，解得， 故所求的取值范围是. 42．（2022·23高二下·上海·期中）已知向量，函数，． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为﹣1，求实数m的值； (3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1） ， 当时，， 则； （2）∵， ∴， ∴， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， ②当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）， ③当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， 综上：若的最小值为﹣1，则实数． （3）令，得或， ∴方程或在上有四个不同的实根， 则，解得，则， 即实数m的取值范围是． 43．（2023·24高一下·广西钦州·期中）对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【详解】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 题型八 三角函数中的新定义问题 44．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义可得，，所以， 所以，其中，， 当，则，而，， 所以； 故选：C 45．（2023·24高一下·江西·期中）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)或或； (3)或， 【详解】（1）与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； （2）由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； （3）对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 46．（2023·24高一下·江西抚州·期中）若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界． (1)求函数的上确界； (2)已知函数，，证明：2为函数的一个上界； (3)已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围． 参考数据：，． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意， 故，故的上确界为2. （2）证明：令，故原函数化为， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且； 故，故2为函数的一个上界. （3）依题意，在上恒成立，即对恒成立； 令，故对恒成立， 所以， 设. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为在上的最小值为； 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题.关键点是根据题意理解有界函数的新定义，并结合函数的换元法求值域，以及分离参数解决恒成立问题. 47．（2023·24高一下·北京延庆·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”． (1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”； (2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由； (3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值． 【答案】(1) (2)，常数为 (3)或， 【详解】（1）当集合，时，集合相对的“正弦方差”. （2）当时，集合，集合相对的“正弦方差”为 . 此时集合相对于任何常数的“正弦方差”为常数. （3）当集合时，集合相对的“正弦方差”为 ， 要使得上式对任何常数是一个常数，则， 故可得，整理得，则或，，又，， 所以或，， 即或，.此时这个常数为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“正弦方差”的定义的理解和利用三角恒等变换的运算能力. $$