山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2022级高三数学收心考试(数学) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若a，b，，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.命题“，”的否定是(    ) A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的值为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 6.函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 7.已知偶函数满足，且当时，，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.设，，若函数在内有4个零点，则实数k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知，则(    ) A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. ab的最小值为 11.定义在R上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的m可以是(    ) A. 1 B. 2 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数a，b满足，则的最小值为          . 13.已知函数满足，且当时，，请你写出符合上述条件的一个函数          . 14.如果存在函数、b为常数，使得对函数定义域内任意x都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论： ①函数存在“线性覆盖函数”; ②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个; ③为函数的一个“线性覆盖函数”; ④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 其中所有正确结论的序号是          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知函数，其中且 求函数的定义域; 判断的奇偶性，并说明理由; 若，求使成立的x的集合. 16.本小题12分 已知函数，函数 求函数的值域; 若不等式对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围. 17.本小题12分 已知函数为R上的偶函数. 求实数k的值; 若方程在恰有两个不同实根，求实数a的取值范围. 18.本小题12分 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产 x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元;若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. 求k的值; 求该企业投资生产这批新型机器的年利润所万元关于年产量台的函数关系式利润=销售额-成本 这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大?并求出最大利润. 19.本小题12分 若为定义域D上的单调函数，且存在区间其中，使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”。 Ⅰ写出a，b的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; Ⅱ若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; Ⅲ若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围。 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】求出集合A、B，利用集合的基本运算即可得到结论． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合A，B的元素是解决本题的关键，比较基础． 【解答】 解：，， ， 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查不等式的基本性质，属于基础题. 由不等式的基本性质逐个进行判断. 【解答】 解：，当，时，则，故A错误; ，当时，则，所以，故B错误; ，当时，则，，故，所以，故C错误； 当时，，则，又，所以，故D正确. 故选 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题的否定，属于基础题. 根据全称量词命题的否定为存在量词命题来求解. 【解答】 解：依题意全称量词命题“，"的否定为存在量词命题， “，" 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 由奇函数的性质可求得a的值，结合计算即可. 【解答】 解：由奇函数的性质得，，解得，经检验符合题意， 所以当时，， 所以 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了对数函数的性质及其大小比较，考查计算能力和推理能力，属于基础题. 根据对数函数的性质将a，b分别与进行比较，从而得到它们之间的关系. 【解答】 解：， 又，所以 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】 此题考查函数的性质，奇偶性和单调性，利用导数研究函数的零点，属于中档题. 利用函数的奇偶性排除选项C；利用特殊值排除选项A，利用导数判断函数的零点和单调性，排除选项B，可得答案． 【解答】 解：所给函数定义域为R，   ， 则  是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除C， 当  时，  ，则  ， 显然存在m，时，  ，函数单调递增 ，  ，排除A，   ，  ，  ，则  有两个不同的正零点， 即当  时，函数至少有三个单调区间，排除B， 故选： 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求函数值，考查周期函数，考查对数运算，属于基础题. 由偶函数满足，可得函数是以2为周期的周期函数，再根据函数的周期性求解即可. 【解答】 解：因为函数为偶函数，所以， 又，所以，即， 所以函数是以2为周期的周期函数， 因为， 所以 故选： 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查函数图像的知识，已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查考生的数形结合思想和分类讨论思想. 把函数有四个零点转化为方程有四个实根，化简，构造两个新函数，它们的图象有四个交点，画图得结论. 【解答】 解：，， 令函数，则，则， 令 则函数的图象与在内有4个交点，函数的图象如下图所示： 由图可得： 故选 9.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查函数的解析式，函数求值，属于基础题. 利用换元法求出的解析式，然后逐项判断可得答案. 【解答】 解：由，令，可得， 可得：，即：，故C不正确，B正确； 可得：，故A正确；，故D不正确； 故选 10.【答案】AC  【解析】【分析】本题考查基本不等式的运算，属于中档题. 利用基本不等式，结合选项分析得出结论. 【解答】解：由，得， 所以，当且仅当时或时取等号，A正确： 由，得， 所以，当且仅当时或时取等号，B错误; 由， ， 所以，当且仅当或时取等号，C正确; 时成立，此时，故D错误. 故选 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查函数解析式的求解，分段函数的图象，属于中档题. 先根据题意表示出函数的解析式，结合函数在不同区间的值域，数形结合，即可求解. 【解答】 解：当时，； 当时，； 所以当时，，且时，最大值为1， 时， 所以， 且时，，取到最大值2， 时， 所以， 且时，，取到最大值4， 根据以上推理，可得n是整数时，函数在上的最大值是右边区间最大值的一半，是左边区间的最大值的2倍，故函数图象从左向右越来越高， 所以在上恒成立时 故选： 12.【答案】9  【解析】【分析】 本题考查了对数的运算，以及基本不等式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 根据条件，运用对数的性质，可得，再结合基本不等式，即可求解． 【解答】解：因为， 可知，且a，b为正数， 即，即，当且仅当时取得等号 故答案为： 13.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查函数性质，属于基础题. 由，可得指数函数具有此性质，再选择一个单调递增的指数函数即可. 【解答】解：对于函数， ， 且当时，， 所以函数满足条件， 故答案为：答案不唯一 14.【答案】②③  【解析】【分析】 本题考查函数恒成立问题，理解新定义“线性覆盖函数”的概念是解题的关键，属于中档题． ①，根据函数的图象及值域可以判定； ②，举例，，，可说明结论正确； ③，由可以判定； ④，由为函数的一个“线性覆盖函数”，知对一切实数x都成立，由此能求出b的范围． 【解答】 解：对于①，函数在R上单调递增， 且时，，故不存在“线性覆盖函数”，所以①错； 对于②，若，则，就是它的一个“线性覆盖函数”， 且有无数个，再如，就没有“线性覆盖函数”，故②正确； 对于③，由，可以判定③正确； 对于④，由为函数的一个“线性覆盖函数”， 知对一切实数x都成立，即，则，故④错； 故答案为：②③. 15.【答案】解：要使函数有意义，则， 解得， 即函数的定义域为； ， 是奇函数． 若， ， 解得：， ， 若，则， ，解得， 故不等式的解集为  【解析】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质． 根据函数解析式有意义的条件即可求的定义域； 根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性； 根据，可得：，根据对数函数的性质即可求使的x的解集． 16.【答案】解：，即的值域为 不等式对任意实数恒成立，  ， 令，，， 设，，当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数x的取值范围为   【解析】本题考查对数函数与幂函数的综合应用. 先将函数整理，然后求值域即可. 根据题意可知，求解即可. 17.【答案】解：由题意得， 即， 化简得，从而， ； 由得在恰有两个不同实根， 即在恰有两个不同实根，等价转化为在恰有两个不同实根， 设，所以，所以在单调递减，在单调递增， 当时，有最小值2，当或时，有最大值 所以， 在恰有两个不同实根，所以在上有2个解， 所以， 即方程在恰有两个不同实根，实数a的取值范围  【解析】本题主要考查了偶函数的性质，函数图象交点与方程根的关系的应用.考查转化思想以及数学推理能力，属于较难题． 根据偶函数可知，代入整理可得，即可求出k的值； 问题转化为在恰有两个不同实根，令，则，则在上有2个解，从而求出a的范围即可． 18.【答案】解：，代入，得 ； 由题意可得：当时，  ， 当时， 所以年利润万元关于年产量台的函数关系式为：  ； 由得时，， 此时台时，万元 当时，  ， 当且仅当，即时等号成立，万元 而，故台时，利润最大，最大利润是200万元， 综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元.  【解析】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． ，代入二次函数即得答案; 分和两种情况分别求出年利润所万元关于年产量台的函数关系式，即得答案;  根据的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 19.【答案】解：因为函数在区间上的值域为， 所以是“优美函数”，此时， 因为函数为递增函数， 要使在定义域区间上存在，使得的值域， 则只需有两个不等的正实根， 令，， 则在有两个不等的实根， 故， 即t的取值范围是 函数在定义域内单调递减， 依题意得两式相减， 得，即 整理得① 将①式代入方程组得，b是方程的两根． 令在上有两个不同的实根． 则， 解得 故  【解析】函数单调递增且在区间上的值域为； 只需有两个不等的实根，即在有两个不等的实根； 由题意得，可得；再代入原方程组中的一个，转化为二次方程有两个不等的正实数根． 本题考查函数的单调性及其应用，二次方程根的分布，转化的思想方法的应用，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$