第五单元、三角形（单元复习讲义）（10大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习）（解析版+学生版）-2024-2025学年四年级数学下册（人教版）

【单元复习讲义】2024-2025学年人教版四年级数学下册 第五单元、三角形 （10大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习） 知识点01：三角形的特性 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 2、按边分： （1）等腰三角形 相等的两条边叫做三角形的腰。 两腰与底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的两腰相等。 等腰三角形的两个底角也相等。 （2）等边三角形 等边三角形也叫做正三角形。 等边三角形3条边都相等。 等边三角形3个角也相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）不等边三角形 不等边三角形的三条边互不相等。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 易错点01：不能准确根据三角形的角或边的特点进行分类。 【举例】把有一个角是锐角的三角形误判为锐角三角形。 【点拨】忽略了锐角三角形的定义是三个角都是锐角的三角形。 易错点02：三角形的内角和定理应用错误。 【举例】已知一个三角形的两个内角分别是30°和60°，求第三个角时，不能正确运用内角和定理进行计算。 【点拨】三角形内角和是180°。 易错点03：对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的综合运用不熟练。 【举例】已知一个等腰三角形底角是70°，求顶角的度数。 【点拨】等腰三角形两底角相等。 易错点04：对三角形任意两边之和大于第三边的性质理解不透彻，在判断三条线段能否围成三角形时，只计算较短两边的和与最长边比较，而忽略了其他组合情况。 【举例】判断2cm、3cm、5cm三条线段能否围成三角形，计算2+3=5，得出能围成三角形的错误结论。 【点拨】在判断三条线段能否围成三角形时，要全面考虑所有组合情况，即任意两边之和都要大于第三边。上题没有考虑2+5＞3和3+5＞2这两种情况，所以不能围成三角形。 考点1：三角形的概念与表示 【典型例题】由（ ）条线段围成的封闭图形叫做三角形，三角形具有（ ）性，它的任意两边的和（ ）第三边。 【变式训练1】数一数，下图中一共有（ ）个三角形。 【变式训练2】明明不小心将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有数字①、②、③、④的四块），现要配一块与原来完全相同的三角形玻璃，应该带第（ ）块到玻璃店去。（填序号） 考点2：三角形的高及画法 【典型例题】画出三角形底边上的高。    【变式训练1】如图是由两个边长分别是8厘米和6厘米的正方形组成的，如果以三角形的边为底边，那么三角形的高是（ ）厘米。 【变式训练2】画出下面三角形指定底边上的高。 考点3：三角形的稳定性及应用 【典型例题】修凳子常在椅腿旁加固构成三角形，如图，这是运用了三角形（   ）的特性。 A．两边之和大于第三边 B．稳定性 C．易变形 【变式训练1】上海杨浦大桥上有许多的三角形铁索架，这是应用了三角形的（ ）。 【变式训练2】李师傅想加一根木条使下面的木椅更加牢固，下面方法最好的是（   ）。 A． B． C． 考点4：两点间线段最短 【典型例题】从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？ 【变式训练1】三角形屋顶的高在哪，请你在图中画出来。菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【变式训练2】看图回答问题。 周末，实验小学的李老师要去吴军家进行家访。从李老师家到吴军家有（    ）条路可以走。哪条路最近？请说明理由。 考点5：三角形三边关系 【典型例题】如果三角形的两条边分别长6厘米和9厘米，那么第三条边的长最短是（ ）厘米，最长是（ ）厘米。（限整厘米数） 【变式训练1】下面几组纸条中（单位：厘米），不能摆成三角形的是（    ）。 A．1、2、3 B．3、4、5 C．4、5、6 D．6、7、8 【变式训练2】在数学活动课上，同学们准备把一根长13厘米的吸管剪成三段围成三角形。如果第一次在3厘米处剪了一刀，第二次可以在（    ）处剪。（如图） A．a B．b C．c D．d 考点6：三角形的分类 【典型例题】一个三角形中三条边的长度都是5cm，那么这个三角形肯定是（    ）三角形。 A．等边 B．钝角 C．直角 【变式训练1】红领巾是五星红旗的一角，红领巾是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【变式训练2】下面说法错误的是（    ）。 A．等边三角形一定是锐角三角形 B．钝角三角形只有1条高 C．直角三角形可能是等腰三角形 D．如果一个三角形的最大角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形 考点7：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题】王师傅想做一个等腰三角形形状的玩具。这个玩具的两条边长分别是49厘米、24厘米，这个等腰三角形玩具的周长是多少厘米？ 【变式训练1】一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要（ ）厘米长的绳子。 【变式训练2】一个等边三角形的周长是，其中一条边是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 考点8：画三角形 【典型例题】在下面的方格图中画一个等腰三角形，再画出它的高。 【变式训练1】画三角形和高。 （1）以上边指定的一条边为底，画一个钝角三角形； （2）画出这个三角形指定底边上的高。 【变式训练2】以线段AB为三角形的底，分别画出高为3厘米的锐角三角形和钝角三角形。（每个小方格的边长为1厘米） 考点9：三角形的内角和 【典型例题】如图，一个三角形玻璃被打碎一个角，这个角是（ ）°；按边分，这个三角形是（ ）三角形。 【变式训练1】如果一个直角三角形一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较大的锐角的度数是（ ）。 【变式训练2】在一个三角形中，已知∠1＝75°，∠2＝45°，则∠3＝（ ）；一个等腰三角形的一个底角是45°，按照角来分类，这个三角形是（ ）三角形。 【变式训练3】公园有一块三角形的草地，草地的最大角是100°，是最小角的4倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地是什么三角形？ 考点10：多边形的内角和 【典型例题】如图中，∠1＝30°，∠2＝120°，那么∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【变式训练1】把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，这个四边形内角和是（   ）。 A．360° B．180° C．90° 【变式训练2】如图，在三角形ABC中，如果沿图中的线段DE将∠C剪掉，那么剩下部分的内角和是多少度？ 一、选择题 1．如图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC D．线段CD 2．用下面哪一组三根小棒（单位：cm）能拼成等腰三角形（    ）。 A．2，2，5 B．3，3，6 C．7，7，1 D．3，5，7 3．下图中，露出部分是三角形中的一个角，那么这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．一个三角形，若其中两条边的长度分别是10厘米和6厘米，那第三条边的长度不可能是（　　）厘米。 A．5 B．6 C．10 D．16 5．如图，①和②是一块三角形玻璃碎成两部分后的碎片。如果要按原样配好一块三角形玻璃，去玻璃店时（    ）。 A．只带碎片①就行 B．只带碎片②就行 C．一定要把两片都带上 D．随便带哪片都行 二、填空题 6．已知等腰三角形的一个底角是50度，则它的顶角是（ ）度。 7．一个三角形中，至少有（ ）个锐角，最多有（ ）个钝角，最多有（ ）个直角。 8．一个等腰三角形，顶角是100°，它的一个底角是（ ）。 9．斜拉桥的设计运用了三角形有（ ）的特性，伸缩门的设计运用了（ ）易变形的特性。 10．把一根长16厘米的铁丝剪成（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米的三段就能围成一个三角形。 11．如图，∠1＝（ ）°。 12．等腰三角形的一个顶角是90°，那么它的一个底角是（ ）°。 13．看图回答问题。 （1）上图共有（ ）个三角形。 （2）三角形ABC和三角形ACD都是等腰三角形，是（ ）度，是（ ）度。 14．一个三角形中两条边分别是6cm和10cm，这个三角形的第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。（边长取整厘米数） 15．有长2dm和5dm的两根小棒，再添一根小棒围成一个等腰三角形，围成的三角形的周长是（ ）dm。一个等腰三角形的顶角度数等于两底角度数的和，它的一个底角是（ ）度。 16．长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形，它们的内角和都是（ ）度。 17．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角。撕去的角是（ ）度，原来这张纸片的形状是（ ）三角形（按角分类）。 18．任意一个三角形至少有（ ）个锐角。 三、判断题 19．三根长分别是1cm、6cm、7cm的木条不能围成一个三角形。（ ） 20．钝角三角形三个内角度数和比锐角三角形内角和度数大。（ ） 21．三角形的一个内角是，截去这个角（如图），剩下图形的内角和是。（ ） 22．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（ ） 23．底和高分别相等的两个三角形，他们的形状不一定相同。（ ） 四、计算题 24．求出各题中∠1的度数。 （1） （2） 五、作图题 25．画一个等腰三角形并画出底边上的高。画一个锐角三角形并画出一条边上的高。 六、解答题 26．如图，小明不小心将一张三角形纸片减去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 27．用一根2米长的铁丝围成一个等边三角形框架后，还剩下2分米。这个等边三角形的边长是多少？ 28．用一根铁丝能围成一个边长是12厘米的正方形。如果用这根铁丝围一个底边是8厘米的等腰三角形，腰长是多少厘米？ 29．一个等腰三角形，它的顶角是一个底角的2倍。这个等腰三角形的顶角是多少度？ 30．冬冬在劳动课上制作了一个等腰三角形的风筝。风筝的一个底角是70度，风筝的顶角是多少度？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【单元复习讲义】2024-2025学年人教版四年级数学下册 第五单元、三角形 （10大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习） 知识点01：三角形的特性 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 2、按边分： （1）等腰三角形 相等的两条边叫做三角形的腰。 两腰与底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的两腰相等。 等腰三角形的两个底角也相等。 （2）等边三角形 等边三角形也叫做正三角形。 等边三角形3条边都相等。 等边三角形3个角也相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）不等边三角形 不等边三角形的三条边互不相等。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 易错点01：不能准确根据三角形的角或边的特点进行分类。 【举例】把有一个角是锐角的三角形误判为锐角三角形。 【点拨】忽略了锐角三角形的定义是三个角都是锐角的三角形。 易错点02：三角形的内角和定理应用错误。 【举例】已知一个三角形的两个内角分别是30°和60°，求第三个角时，不能正确运用内角和定理进行计算。 【点拨】三角形内角和是180°。 易错点03：对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的综合运用不熟练。 【举例】已知一个等腰三角形底角是70°，求顶角的度数。 【点拨】等腰三角形两底角相等。 易错点04：对三角形任意两边之和大于第三边的性质理解不透彻，在判断三条线段能否围成三角形时，只计算较短两边的和与最长边比较，而忽略了其他组合情况。 【举例】判断2cm、3cm、5cm三条线段能否围成三角形，计算2+3=5，得出能围成三角形的错误结论。 【点拨】在判断三条线段能否围成三角形时，要全面考虑所有组合情况，即任意两边之和都要大于第三边。上题没有考虑2+5＞3和3+5＞2这两种情况，所以不能围成三角形。 考点1：三角形的概念与表示 【典型例题】由（ ）条线段围成的封闭图形叫做三角形，三角形具有（ ）性，它的任意两边的和（ ）第三边。 【答案】 三/3 稳定 大于 【详解】由三条线段围成的封闭图形叫做三角形（如下图所示）； 三角形具有稳定性，例如照相机的支架是三条腿，这就是利用了三角形的稳定性； 三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，例如，一个三角形的三条边分别为4厘米，4厘米，3厘米，4厘米＋3厘米＞4厘米，4厘米－4厘米＜3厘米。 【变式训练1】数一数，下图中一共有（ ）个三角形。 【答案】12 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形，只含有一个三角形的有3个，有两个小三角形组成一个大三角形的有5个，含有多个图形组成三角形的有4个。 【详解】3＋5＋4＝12（个） 【变式训练2】明明不小心将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有数字①、②、③、④的四块），现要配一块与原来完全相同的三角形玻璃，应该带第（ ）块到玻璃店去。（填序号） 【答案】① 【分析】只要确定三角形的一条边和两个角的度数，就能确定这个三角形的形状，据此即可解答。 【详解】④仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能确定三角形的形状；②③仅保留了原三角形的部分边，不能确定三角形的形状；①不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一个边，可以确定三角形的形状，所以应该拿这块。 考点2：三角形的高及画法 【典型例题】画出三角形底边上的高。    【答案】见详解 【分析】第1个图，与底边垂直的邻边即为底边的高； 第2个图，从顶点向底边作垂线段，即为底边上的高。 【详解】   【变式训练1】如图是由两个边长分别是8厘米和6厘米的正方形组成的，如果以三角形的边为底边，那么三角形的高是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】根据题意，作出三角形ABC的高为CD，再根据平行线之间的距离处处相等，所以CD的长度等于小正方形的边长，据此解答。 【详解】如图所示： 如图是由两个边长分别是8厘米和6厘米的正方形组成的，如果以三角形的边为底边，那么三角形的高是（6）厘米。 【变式训练2】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 考点3：三角形的稳定性及应用 【典型例题】修凳子常在椅腿旁加固构成三角形，如图，这是运用了三角形（   ）的特性。 A．两边之和大于第三边 B．稳定性 C．易变形 【答案】B 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，即可解答。 【详解】修凳子常在椅腿旁加固构成三角形，如图，这是运用了三角形稳定性的特性。 故答案为：B 【变式训练1】上海杨浦大桥上有许多的三角形铁索架，这是应用了三角形的（ ）。 【答案】稳定性 【分析】只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性，依此填空。 【详解】根据分析可知，上海杨浦大桥上有许多的三角形铁索架，这是应用了三角形的稳定性。 【变式训练2】李师傅想加一根木条使下面的木椅更加牢固，下面方法最好的是（   ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，四边形具有易变形的特点。加一根木条后，椅子上出现三角形，可使椅子更加牢固。据此解答。 【详解】通过分析，可知只有C选项加一根木条后，椅子上出现了三角形，所以C更牢固。 故答案为：C 考点4：两点间线段最短 【典型例题】从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？ 【答案】见详解。 【分析】从学校到少年宫有三条路可以走，只有中间的路线②最近，因为“两点间所有连线中线段最短”，据此解答即可。 【详解】从学校到少年宫，选择中间的那条路最近，也就是路②，因为两点间所有连线中线段最短。 【变式训练1】三角形屋顶的高在哪，请你在图中画出来。菲菲站在A点的位置，请你分别画出她回家最近的路和她到公路边候车最近的路。 【答案】见详解 【分析】（1）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。据此画出屋顶的高。 （2）两点之间线段最短，则过A点与家的一点，画一条线段即可。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，要使菲菲到公路边的路线最近，则从A点向公路边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 【变式训练2】看图回答问题。 周末，实验小学的李老师要去吴军家进行家访。从李老师家到吴军家有（    ）条路可以走。哪条路最近？请说明理由。 【答案】3；走直接去吴军家那条路最近，因为两点间所有连线中线段最短。 【分析】根据两点间所有连线中线段最短来进行解答。 【详解】如下图，李老师家到吴军家有3条路可以走。因为两点间所有连线中线段最短，所以路线②最近。 考点5：三角形三边关系 【典型例题】如果三角形的两条边分别长6厘米和9厘米，那么第三条边的长最短是（ ）厘米，最长是（ ）厘米。（限整厘米数） 【答案】 4 14 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】9－6＜第三条边＜9＋6 3＜第三条边＜15，因为第三条边是整厘米数，所以第三条边最短是4厘米，最长是14厘米。 如果三角形的两条边分别长6厘米和9厘米，那么第三条边的长最短是4厘米，最长是14厘米。 【变式训练1】下面几组纸条中（单位：厘米），不能摆成三角形的是（    ）。 A．1、2、3 B．3、4、5 C．4、5、6 D．6、7、8 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】A．1＋2＝3，不符合三角形三边关系，所以不能摆成三角形； B．3＋4＞5，4－3＜5，符合三角形三边关系，所以能摆成三角形； C．4＋5＞6，6－4＞5，符合三角形三边关系，所以能摆成三角形； D．6＋7＞8，8－6＜7，符合三角形三边关系，所以能摆成三角形。 故答案为：A 【变式训练2】在数学活动课上，同学们准备把一根长13厘米的吸管剪成三段围成三角形。如果第一次在3厘米处剪了一刀，第二次可以在（    ）处剪。（如图）    A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】图中1段表示1厘米，分别求出在4个位置处剪开时，3段吸管的长度，再将较短的两根相加，把这个和与最长的一根比较大小，若和大于最长的一根则能围成三角形，若和小于最长的一根，则不能围成三角形，据此解答。 【详解】A．第二次在a处剪，三段长为：3厘米、1厘米、9厘米，因为3＋1＜9，所以A点不可以； B．第二次在b处剪，三段长为：3厘米、2厘米、8厘米，因为3＋2＜8，所以B点不可以； C．第二次在c处剪，三段长为：3厘米、4厘米、6厘米，因为3＋4＞6，所以C点可以； D．第二次在d处剪，三段长为：3厘米、7厘米、3厘米，因为3＋3＜7，所以D点不可以。 故答案为：C 考点6：三角形的分类 【典型例题】一个三角形中三条边的长度都是5cm，那么这个三角形肯定是（    ）三角形。 A．等边 B．钝角 C．直角 【答案】A 【分析】根据三角形按边分类的标准，可以得知，三边相等的三角形是等边三角形。据此解答。 【详解】三角形三条边的长度都是5cm，这个三角形的三条边相等，三边相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。选项A符合题意。 故答案为：A 【变式训练1】红领巾是五星红旗的一角，红领巾是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】C 【分析】结合实际可知：我们戴的红领巾有一个钝角，两个锐角。据此解答。 【详解】红领巾有一个钝角，两个锐角，根据三角形按角分类的标准可知，有一个钝角的三角形是钝角三角形。选项C符合题意。 故答案为：C 【变式训练2】下面说法错误的是（    ）。 A．等边三角形一定是锐角三角形 B．钝角三角形只有1条高 C．直角三角形可能是等腰三角形 D．如果一个三角形的最大角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形 【答案】B 【分析】三个角都相等的三角形是等边三角形，三角形的内角和是180°；等腰三角形的两腰相等，两个底角都相等；从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；依此判断并选择即可。 【详解】A．等边三角形的三个角都是60°，是锐角三角形，故此选项正确； B．从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，这个垂线就是三角形的高，每个三角形都有三条高，故此选项错误； C．当直角三角形中的另外两个底角都是45°时，这个直角三角形也是等腰三角形，故此选项正确； D．如果一个三角形的最大角是锐角，那么其它的两个角也是锐角，故这个三角形一定是锐角三角形，故此选项正确。 故答案为：B 考点7：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题】王师傅想做一个等腰三角形形状的玩具。这个玩具的两条边长分别是49厘米、24厘米，这个等腰三角形玩具的周长是多少厘米？ 【答案】122厘米 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形的腰长，再计算出这个等腰三角形三条边的总长度即可。 【详解】当腰长为24厘米时，24＋24＝48（厘米），48厘米＜49厘米，因此腰长不能为24厘米； 当腰长为49厘米时，49＋24＝73（厘米），73厘米＞49厘米，49－24＝25（厘米）25厘米＜49厘米；因此腰长为49厘米。 49＋49＋24 ＝98＋24 ＝122（厘米） 答：这个等腰三角形玩具的周长是122厘米。 【变式训练1】一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要（ ）厘米长的绳子。 【答案】17 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三条边长5厘米或7厘米，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知5＋5＞7，5＋7＞7，则等腰三角形三条边的长分别为5厘米，5厘米，7厘米或7厘米，7厘米，5厘米，要使围成这个等腰三角形需要的绳子最少，就要使它的腰比底边短，所以要使它的腰长是5厘米，5厘米，底边长是7厘米，将这三条边长度相加求和即可。 【详解】5＋5＋7 ＝10＋7 ＝17（厘米） 围成这个等腰三角形至少需要17厘米长的绳子。 【变式训练2】一个等边三角形的周长是，其中一条边是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】等边三角形的三条边都相等，因此用等边三角形的周长除以3，即可计算出等边三角形其中一条边的长度，依此计算并选择。 【详解】42÷3＝14（cm），即其中一条边是14cm。 故答案为：C 考点8：画三角形 【典型例题】在下面的方格图中画一个等腰三角形，再画出它的高。 【答案】见详解 【分析】根据等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可画出等腰三角形；经过等腰三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是等腰三角形底边上的高，用三角板的直角即可画出。 【详解】如图所示： （画法不唯一） 【变式训练1】画三角形和高。 （1）以上边指定的一条边为底，画一个钝角三角形； （2）画出这个三角形指定底边上的高。 【答案】（1）（2）均见详解 【分析】（1）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，依此画图； （2）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，依此画图。 【详解】（1）（2）作图如下： 【变式训练2】以线段AB为三角形的底，分别画出高为3厘米的锐角三角形和钝角三角形。（每个小方格的边长为1厘米） 【答案】见详解 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，依此画图即可。 【详解】 考点9：三角形的内角和 【典型例题】如图，一个三角形玻璃被打碎一个角，这个角是（ ）°；按边分，这个三角形是（ ）三角形。 【答案】 66 等腰 【分析】三角形的内角和为180°，知道其中的两个角的度数，用减法即可算出第三个角的度数。然后根据这个三角形边的特点将其分类即可。 【详解】180°－66°－48° ＝114°－48° ＝66° 66°＝66°，即这个三角形有两个底角相等，说明这两个角所对的边长度相等，是一个等腰三角形。 故被打碎的这个角是66°；按边分，这个三角形是等腰三角形。 【变式训练1】如果一个直角三角形一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较大的锐角的度数是（ ）。 【答案】60° 【分析】根据三角形的内角和和直角三角形的特点可知两个锐角的和是，然后利用，计算求出较小的锐角的度数，再由一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，可得较大的锐角的度数是：×2＝。 【详解】 ＝ ＝ 则较大的锐角的度数是：×2＝ 【变式训练2】在一个三角形中，已知∠1＝75°，∠2＝45°，则∠3＝（ ）；一个等腰三角形的一个底角是45°，按照角来分类，这个三角形是（ ）三角形。 【答案】 60° 直角 【分析】三角形的内角和是180°，∠3＝180°－∠1－∠2；等腰三角形的两个底角相等，计算出第三个角，依此判断即可。 【详解】180°－75°－45° ＝105°－45° ＝60° 180°－45°－45° ＝135°－45° ＝90° 所以，∠3＝60°，这个三角形是直角三角形。 【变式训练3】公园有一块三角形的草地，草地的最大角是100°，是最小角的4倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地是什么三角形？ 【答案】55°；钝角三角形 【分析】先用草地的最大角除以4，即可计算出最小角的度数，三角形的内角和为180°，因此用三角形的内角和度数减最大角的度数后，再减最小角的度数即可，然后再根据三角形按角的分类标准进行解答即可。 【详解】100°÷4＝25° 180°－100°－25°＝55° 100°＞90°，因此这草地是钝角三角形； 答：这块三角形草地的第三个角是55°，按角分类，这块草地是钝角三角形。 考点10：多边形的内角和 【典型例题】如图中，∠1＝30°，∠2＝120°，那么∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【答案】 60 60 【分析】平行四边形的内角和为360°，平行四边形的对角相等，所以∠1＋90°＝∠2，∠3＝∠4，用360°减去两个∠2，再除以2即可求出∠3和∠4的度数；据此解答。 【详解】根据分析： （360°－120°×2）÷2 ＝（360°－240°）÷2 ＝120°÷2 ＝60° 所以∠3＝60°，∠4＝60°。 【变式训练1】把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，这个四边形内角和是（   ）。 A．360° B．180° C．90° 【答案】A 【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，据此解答。 【详解】这个四边形内角和是360°。 故答案为：A 【变式训练2】如图，在三角形ABC中，如果沿图中的线段DE将∠C剪掉，那么剩下部分的内角和是多少度？ 【答案】360度 【分析】观察图形可知，剩下部分是一个四边形，四边形可以分割成两个三角形，据此即可求出剩下部分的内角和。 【详解】如图： 连接BD，把四边形ABED分割成两个三角形，可得： 180×（4－2） ＝180×2 ＝360（度） 答：剩下部分的内角和是360度。 一、选择题 1．如图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC D．线段CD 【答案】C 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。据此可知，底边是AB，对应的高是线段BC。 【详解】由分析得： AB边上的高是线段BC。 故答案为：C 2．用下面哪一组三根小棒（单位：cm）能拼成等腰三角形（    ）。 A．2，2，5 B．3，3，6 C．7，7，1 D．3，5，7 【答案】C 【分析】等腰三角形的两条腰相等。三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】A．2＋2＜5，则长2cm，2cm，5cm的三根小棒不能拼成三角形；     B．3＋3＝6，则长3cm，3cm，6cm的三根小棒不能拼成三角形； C．7＋1＞7，则长7cm，7cm，1cm的三根小棒能拼成三角形，且其中两根小棒长度相等，能拼成等腰三角形；     D．3＋5＞7，则长3cm，5cm，7cm的三根小棒能拼成三角形，但是三条小棒长度不同，拼成的三角形不是等腰三角形； 故答案为：C 3．下图中，露出部分是三角形中的一个角，那么这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】D 【分析】三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。图中只看到一个锐角，看不到三角形的另外两个角，所以无法判断这个三角形是什么类型的三角形。 【详解】根据分析可知：下图中，露出部分是三角形中的一个角，那么这个三角形是无法判断。 故答案为：D 4．一个三角形，若其中两条边的长度分别是10厘米和6厘米，那第三条边的长度不可能是（　　）厘米。 A．5 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】10＋6＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 第三条边的长度应小于16厘米，大于4厘米。 A．16厘米＞5厘米＞4厘米 B．16厘米＞6厘米＞4厘米 C．16厘米＞10厘米＞4厘米 D．16厘米＝16厘米 故答案为：D 5．如图，①和②是一块三角形玻璃碎成两部分后的碎片。如果要按原样配好一块三角形玻璃，去玻璃店时（    ）。 A．只带碎片①就行 B．只带碎片②就行 C．一定要把两片都带上 D．随便带哪片都行 【答案】B 【分析】图①中只知道三角形的一个角，可以向另外的方向无限延伸，那么这个三角形大小就不能确定；图②中知道三角形的两个角，将其中两边向左上方延伸，会交于一点，那么这个三角形也就确定了。 【详解】要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第②块去。 故答案为：B 二、填空题 6．已知等腰三角形的一个底角是50度，则它的顶角是（ ）度。 【答案】80 【分析】根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形两个底角的度数相等；已知三角形的内角和是180度，用内角和减去两个底角的度数之和，即是顶角的度数。 【详解】180－（50＋50） ＝180－100 ＝80（度） 它的顶角是80度。 7．一个三角形中，至少有（ ）个锐角，最多有（ ）个钝角，最多有（ ）个直角。 【答案】 2 1 1 【分析】根据三角形的内角和等于180°，如果三角形中有2个或3个钝角或直角，这个三角形的内角和一定大于180°，所以一个三角形中最多有一个钝角或直角，至少有2个锐角。 【详解】一个三角形中，至少有2个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角。 8．一个等腰三角形，顶角是100°，它的一个底角是（ ）。 【答案】40° 【分析】由已知条件等腰三角形顶角等于100°，根据等腰三角形两底角相等和三角形的内角和定理解答。 【详解】因为顶角等于100， 所以一个底角为（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 9．斜拉桥的设计运用了三角形有（ ）的特性，伸缩门的设计运用了（ ）易变形的特性。 【答案】 稳定性 平行四边形 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。平行四边形的不稳定性又叫做易变形性，是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。 【详解】斜拉桥的设计运用了三角形有稳定性的特性，伸缩门的设计运用了平行四边形易变形的特性。 10．把一根长16厘米的铁丝剪成（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米的三段就能围成一个三角形。 【答案】 7 5 4 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，这个三角形的周长是16厘米，最长的一条边应小于周长的一半，即小于8厘米。可以是7厘米，剩下两条边的长度和是9厘米，可以是5厘米和4厘米。据此解答。 【详解】16÷2－1 ＝8－1 ＝7（厘米） 16－7＝9（厘米） 5＋4＝9（厘米） 这三条边可以是7厘米、5厘米和4厘米。即把一根长16厘米的铁丝剪成7厘米、5厘米、4厘米的三段就能围成一个三角形。（答案不唯一） 11．如图，∠1＝（ ）°。 【答案】25 【分析】如图：三角形的内角和是180°，用180°减去70°求出∠2的度数，再用三角形的内角和减去45°和∠2的度数即可得到∠1的度数，据此解答。 【详解】 由分析可得：∠1＝25°。 12．等腰三角形的一个顶角是90°，那么它的一个底角是（ ）°。 【答案】45 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角度数相等，用三角形的内角和减去等腰三角形的顶角度数，再除以2，即可算出这个等腰三角形一个底角的度数是多少。据此解答。 【详解】（180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 等腰三角形的一个顶角是90°，那么它的一个底角是45°。 13．看图回答问题。 （1）上图共有（ ）个三角形。 （2）三角形ABC和三角形ACD都是等腰三角形，是（ ）度，是（ ）度。 【答案】（1）3 （2） 65 115 【分析】（1）单个的三角形有2个，由2个小三角形组成的大三角形有1个，依此填空。 （2）一个三个形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，因此用180°减50°后，再除以2即可计算出∠1的度数，1平角也是180°，因此180°－∠1＝∠2，依此计算。 【详解】（1）2＋1＝3（个），即上图共有3个三角形。 （2）180°–50°＝130°； 130°÷2＝65°； 180°－65°＝115°； 由此可知，∠1是65度，∠2是115度。 14．一个三角形中两条边分别是6cm和10cm，这个三角形的第三条边最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。（边长取整厘米数） 【答案】 15 5 【分析】三角形的第三边大于其余两边之差，小于其余两边之和，据此先求出10与6的和是16，10与6的差是4，所以第三边最小时比4大1，第三边最大时比16小1，据此解答。 【详解】10＋6＝16（cm） 10－6＝4（cm） 4＋1＝5（cm） 16－1＝15（cm） 第三条边最长是15cm，最短是5cm。 15．有长2dm和5dm的两根小棒，再添一根小棒围成一个等腰三角形，围成的三角形的周长是（ ）dm。一个等腰三角形的顶角度数等于两底角度数的和，它的一个底角是（ ）度。 【答案】 12 45 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三根小棒可能长2dm或5dm。根据三角形的三边关系可知，长2dm、2dm、5dm的三根小棒不能围成一个三角形，但长2dm、5dm、5dm的三根小棒能围成一个三角形，则第三根小棒长5dm。将这三根小棒的长度相加，求出三角形的周长。 等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和为180度可知，一个等腰三角形的顶角度数等于两底角度数的和，则一个底角度数的4倍是180度，一个底角是（180÷4）度。 【详解】2＋2＜5，则长2dm、2dm、5dm的三根小棒不能围成一个三角形。 2＋5＞5，则长2dm、5dm、5dm的三根小棒能围成一个三角形。 2＋5＋5＝12（dm） 围成的三角形的周长是12dm。 180÷（1＋1＋2） ＝180÷4 ＝45（度） 它的一个底角是45度。 16．长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形，它们的内角和都是（ ）度。 【答案】360 【分析】长方形、正方形、平行四边形、梯形均可以分成两个三角形，根据三角形的内角和为180度可知，它们的内角和是180×2度。 【详解】180×2＝360（度） 长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形，它们的内角和都是（360）度。 17．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角。撕去的角是（ ）度，原来这张纸片的形状是（ ）三角形（按角分类）。 【答案】 92 钝角 【分析】根据三角形的内角和是180°，用180°减去已知的两个角，所得的差即是撕去的角的度数；大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答即可。 【详解】180°－53°－35° ＝127°－35° ＝92° 一张三角形纸片被撕去了一个角。撕去的角是92度，原来这张纸片的形状是钝角三角形。 18．任意一个三角形至少有（ ）个锐角。 【答案】2 【分析】一个三角形的内角和是180°，小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，依此判断即可。 【详解】假设任意一个三角形中除锐角外的两个角是两个直角，或两个钝角或1个直角、1个钝角，则这两个角的和就等于或大于180°，这与三角形的内角和是180°是相违背的，故假设不成立；所以任意一个三角形至少有2个锐角。 三、判断题 19．三根长分别是1cm、6cm、7cm的木条不能围成一个三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】1＋6＝7，则长1cm，6cm，7cm的三根木条不能围成一个三角形。题干说法正确。 故答案为：√ 20．钝角三角形三个内角度数和比锐角三角形内角和度数大。（ ） 【答案】× 【分析】根据任意三角形的内角和都是180°，据此解答即可。 【详解】根据分析可知， 钝角三角形的内角和锐角三角形的内角和都是180°，是相等的。故原题干说法错误。 故答案为：× 21．三角形的一个内角是，截去这个角（如图），剩下图形的内角和是。（ ） 【答案】× 【分析】由图示可知，三角形截去这个角，剩下的图形有4个角，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算并判断。 【详解】（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 由此可知，剩下图形的内角和是360°。 故答案为：× 22．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】当这个60°的角是等腰三角形顶角时，180°减60°得120°，即两个底角的和是120°，那么底角是60°，由此可知这是一个等边三角形；当60°的角是底角时，180°减60°再减60°即可求出顶角也是60°，那么这个三角形还是一个等边三角形。 【详解】当60°是顶角时 （180°－60°）÷2 ＝120°÷2 ＝60°，这是一个等边三角形； 当60°的角是底角时 180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60°，这是一个等边三角形； 所以这句话是对的。 故答案为：√ 23．底和高分别相等的两个三角形，他们的形状不一定相同。（ ） 【答案】√ 【分析】底和高分别相等的两个三角形，他们的形状可能相同，如：、。底和高分别相等的两个三角形，他们的形状也可能不相同。如：、、、。 【详解】底和高分别相等的两个三角形，他们的形状不一定相同。 故答案为：√ 四、计算题 24．求出各题中∠1的度数。 （1） （2） 【答案】（1）57° （2）63° 【分析】（1）根据平角的意义，180°的角是平角，三角形的内角和是180°，先求出三角形的一个内角的度数，再求出∠1的度数。 （2）四边形的内角和是360°，根据减法的意义，用减法解答。 【详解】（1）∠1＝180°－58°－（180°－115°） ＝180°－58°－65° ＝57° 所以，∠1是57°。 （2）∠1＝360°－（117°＋63°＋117°） ＝360°－297° ＝63° 所以，∠1是63°。 五、作图题 25．画一个等腰三角形并画出底边上的高。画一个锐角三角形并画出一条边上的高。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形，在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，等腰三角形的两个底角相等；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；作三角形的高：从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底；据此作图。 【详解】如图： 六、解答题 26．如图，小明不小心将一张三角形纸片减去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 【答案】68° 【分析】根据三角形的内角和是180°，分别减去其余两个内角即可求出第三个角的度数。 【详解】180°－44°－68° ＝136°－68° ＝68° 答：被剪掉的这个角是68°。 27．用一根2米长的铁丝围成一个等边三角形框架后，还剩下2分米。这个等边三角形的边长是多少？ 【答案】6分米 【分析】先用减法，求出用去铁丝的长度，再除以3即可解答。 【详解】2米＝20分米 （20－2）÷3 ＝18÷3 ＝6（分米） 答：这个等边三角形的边长是6分米。 28．用一根铁丝能围成一个边长是12厘米的正方形。如果用这根铁丝围一个底边是8厘米的等腰三角形，腰长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，依此计算出这根铁丝的总长度，等腰三角形的两腰相等，因此用这根铁丝的总长度减去8厘米后，再除以2即可，依此计算。 【详解】12×4＝48（厘米） 48－8＝40（厘米） 40÷2＝20（厘米） 答：腰长是20厘米。 29．一个等腰三角形，它的顶角是一个底角的2倍。这个等腰三角形的顶角是多少度？ 【答案】90° 【分析】等腰三角形两个底角相等，顶角是一个底角的2倍，即一个顶角相当于2个底角，则这个等腰三角形的内角和相当于4个底角相加，三角形内角和等于180度，用180除以4即可计算出一个底角的度数，然后计算顶角的度数，据此解决。 【详解】180°÷4＝45° 45°×2＝90° 答：这个等腰三角形的顶角是90°。 30．冬冬在劳动课上制作了一个等腰三角形的风筝。风筝的一个底角是70度，风筝的顶角是多少度？ 【答案】40° 【分析】等腰三角形两腰相等，两个底角也相等；三角形的内角和为180°，所以风筝顶角的度数＝三角形的内角和－两个底角；据此解答。 【详解】180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 答：风筝的顶角是40°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$