7.3 离散型随机变量的数字特征（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7．3 离散型随机变量的数字特征（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）能理解离散型随机变量的数字特征，包括数学期望（均值）、方差和标准差的概念． （2）能准确说出数学期望、方差和标准差的定义公式，并熟练掌握求离散型随机变量数学期望和方差的方法． （3）通过对具体实例的分析、探究，培养学生的观察、归纳、类比、抽象等数学思维能力． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 在本节课学情分析中，学生已具备概率论基础，掌握了离散型随机变量的基本概念，但对于其数字特征（如数学期望、方差）的理解尚显不足．部分学生可能仅停留在公式记忆层面，缺乏实际应用与深入分析能力．此外，学生在面对复杂问题时，可能难以将理论知识与实际问题有效结合，导致解题思路受限．因此，教学中需注重引导学生理解概念本质，通过实例分析强化应用能力，同时加强思维训练，提升学生分析问题、解决问题的能力，确保学生能够灵活运用所学知识解决实际问题． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约3课时 教学重点：离散型随机变量数学期望和方差的概念、计算方法及实际应用． 教学难点：对离散型随机变量方差概念的理解以及如何运用方差解决实际问题． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件． （1）如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？ （2）如何比较两个选手的射击情况？ （3）如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．离散型随机变量的均值 问题1：某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？ 【破解方法】． 问题2：在上面的过程中，由随机变量的分布列生成了一个新的定义，你能类比统计中的平均数概念给它一个定义吗? 【破解方法】学生思考上述过程，类比统计知识，突出新旧知识之间的联系．整理数据，计算平均数，是学生已有的知识和技能，进而改写式子，引导联想，迁移旧知，生成新知． 【归纳新知】 （1）离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． （2）两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 2．均值的性质 问题3：若都是离散型随机变量，且（其中a，b是常数），那么与有怎样的关系？ 【破解方法】的分布列为 X … … η … … P … … 则 【归纳新知】 离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 3．离散型随机变量的方差 问题4：要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0．03 0．09 0．20 0．31 0．27 0．10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0．01 0．05 0．20 0．41 0．33 【破解方法】，，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性． 【归纳新知】 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 4．方差的性质 问题5：你能推导出与的关系吗？ 【破解方法】． 【归纳新知】 几个常见的结论 （1）． （2）若服从两点分布，则． 环节三：例题练习，巩固理解 例1．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0．8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 【解析】因为，， 所以． 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0．8． 例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 【解析】由已知随机变量X的取值有，2，3，4，5，6． ，，， ，，， ∴ 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P ∴  随机变量X的期望 例3．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示． 歌曲 A B： C 猜对的概率 0．8 0．6 0．4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 【解析】分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． ， ， ， ． X的分布列如表所示． X 0 1000 3000 6000 P 0．2 0．32 0．288 0．192 X的均值为． 例4．根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0．25，有大洪水的概率为0．01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1  运走设备，搬运费为3800元； 方案2  建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3  不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 【解析】根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示． 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0．01 0．25 0．74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此， ． 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此， ，． 采用方案3， ，，． 于是，， ， ． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 例5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设X表示掷出的点数，求X的方差． 【解析】由已知随机变量X的取值有1，2，3，4，5，6， ，，， ，，， ∴ 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P ∴  随机变量X的期望 ∴ 随机变量X的方差 ∴ X的方差为． 例6．投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示． 股票A收益的分布列 收益X/元 0 2 概率 0．1 0．3 0．6 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0．3 0．4 0．3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 【解析】（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为 ， ． 因为，所以投资股票A的期望收益较大． （2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 ， ． 因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 环节四：小结提升，形成结构 问题6：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）如何描述离散型随机变量取值的平均水平？ （2）离散型随机变量的均值有什么运算性质？计算随机变量的均值有什么作用？ （3）离散型随机变量的方差有哪些性质？越大越好还是越小越好？ 【破解方法】学生独立思考后给出回答，其他学生进行补充，最后师生共同总结． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．已知随机变量的分布列如表： -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 【答案】B 【解析】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或． 故选：B． 2．若随机变量的分布列为 0 1 2 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由分布列可得，即①， 又， 则随机变量的分布列为 0 1 4 所以，即②， 联立①②可得：， 则． 故选：A． 3．设离散型随机变量X的方差为，则随机变量的方差为（    ） A．1．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，所以． 故选：C． 4．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的均值（数学期望）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”， 则， 由题意的所有可能的值为， 则， ， ， ． 故的分布列为： 2 3 4 5 则． 故选：A． 5．离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0．3 n 0．2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对． 故选：D 6．（多选题）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】女性成员人数X的可能值为， 则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：BCD． 7．（多选题）已知随机变量的分布列为 0 1 则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由分布列可知，，故A正确； ，故B不正确， ，C选项正确； ，D选项正确． 故选：ACD． 8．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望为 ． 【答案】/ 【解析】的可能取值为1，2，3， 则，，， 则 故答案为： 9．已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以． 故答案为：． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第71页习题7．31第1、3、4、6、7、8题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 在本节课的教学中，通过讲授法、探究法和实例分析法等多种教学方法的结合使用，有效地激发了学生的学习兴趣和积极性．通过具体例题的讲解和课堂练习，学生较好地掌握了离散型随机变量数学期望和方差的概念、计算方法及实际应用．然而，在教学过程中也发现了一些问题，如部分学生对方差概念的理解不够深入，对如何运用方差解决实际问题存在困难等．针对这些问题，需要在今后的教学中进一步加强引导和练习，帮助学生更好地掌握所学知识．同时，还可以结合学生的实际情况和兴趣爱好，设计更多有趣、实用的教学实例和练习题，提高教学效果和学生的学习兴趣． 12 / 12 京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$