1.6 利用三角函数测高（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

1.6　利用三角函数测高 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 B 3 2．(5分)如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知楼与树之间的距离BD＝10 m，楼的高AB＝24 m，则树的高CD为___________m. 4 5 6 B 7 5．(5分)如图，从与建筑物BC相距20 m的D处观测到建筑物顶上的旗杆的顶部A的仰角为60°，底部B的仰角为 45°，则旗杆的高度为______________m. 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 知识点一 测量底部可以到达的物体的高度 1．(5分)如图，在离铁塔150 m的A处，用高AD为1 m的测倾仪测得塔顶的仰角为30°，则铁塔的高BC为( ) A．76 m B．(1＋50 eq \r(3) ) m C．(1＋75 eq \r(3) ) m D．(1＋150 eq \r(3) ) m (24－10 eq \r(3) ) 3．(10分)(2023·葫芦岛、铁岭中考改编)小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶的B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40 m(图中点A，B，C，D均在同一平面内)，求大厦的高度CD(结果取整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， eq \r(3) ≈1.73). 解：过点B作BE⊥CD于点E，则易得四边形ABEC为矩形，∴CE＝AB＝40 m，∴在Rt△BCE中，BE＝ eq \f(CE,tan ∠CBE) ＝ eq \f(40,tan 30°) ＝40 eq \r(3) (m)，∴在Rt△BDE中，DE＝BE·tan ∠DBE＝40 eq \r(3) tan 37°≈51.9(m)，∴CD＝CE＋DE≈40＋51.9＝91.9(m)≈92(m)，∴大厦的高度CD约为92 m 知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度 4．(5分)如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2 m，从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，点A与点C之间的距离为12 m, 则桥墩顶部点C距水面的高度CD为( ) A．12sin 26° m B．(2＋12sin 26°)m C．(2＋12cos 26°)m D．( 2＋12tan 26°)m (20 eq \r(3) －20) 6．(10分)如图，大楼AB底部堆放着一堆底部BC＝10 eq \r(3) m的装修垃圾，在装修垃圾的旁边有一幢高度为8 m的小楼DE(点B，C，E在同一水平直线上).在小楼的顶端D处测得大楼的顶端A的仰角为45°，装修垃圾边缘点C的俯角为30°，求大楼AB的高(结果保留根号). 解：过点D作DF⊥AB于点F.则四边形BEDF为矩形，∠ECD＝∠FDC＝30°，BF＝DE＝8 m，BE＝DF，∴在Rt△CDE中，CE＝ eq \f(DE,tan ∠ECD) ＝ eq \f(8,tan 30°) ＝8 eq \r(3) (m)，∴DF＝BE＝BC＋CE＝10 eq \r(3) ＋8 eq \r(3) ＝18 eq \r(3) (m)，∴在Rt△ADF中，AF＝DF·tan ∠ADF＝18 eq \r(3) tan 45°＝18 eq \r(3) (m)，∴AB＝AF＋BF＝(18 eq \r(3) ＋8)m，∴大楼AB的高为(18 eq \r(3) ＋8)m 解答题(共60分) 7．(16分)(朝阳中考)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高(结果保留根号). 解：过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABDH为矩形，∴DH＝AB＝10 m，AH＝BD.设CH＝x m，则CD＝(x＋10)m，在Rt△ACH中，BD＝AH＝ eq \f(CH,tan ∠CAH) ＝ eq \f(x,tan 30°) ＝ eq \r(3) x (m)，∴在Rt△CDE中，DE＝ eq \f(CD,tan ∠CED) ＝ eq \f(x＋10,tan 60°) ＝ eq \f(\r(3),3) (x＋10)(m)，∴BE＝BD－DE＝ eq \r(3) x－ eq \f(\r(3),3) (x＋10)＝6 m，解得x＝5＋3 eq \r(3) ，∴CD＝(15＋3 eq \r(3) )m，∴CF＝CD－DF＝15＋3 eq \r(3) －8＝(7＋3 eq \r(3) )(m) 8．(20分)如图，为了测量某建筑物AB的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的C点出发，沿坡度i＝3∶4的斜坡CD行走100 m至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在点E测得该建筑物顶端A的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求建筑物AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 59°≈0.86，cos 59°≈0.52，tan 59°≈1.66). 解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AB于点G.则四边形BGDF为矩形，∴BG＝DF.又∵在Rt△CDF中，DF∶CF＝i＝3∶4，∴CF＝ eq \f(4,3) DF，∴CD＝ eq \r(CF2＋DF2) ＝ eq \f(5,3) DF＝100 m，∴DF＝60 m，∴BG＝60 m，∴在Rt△BEG中，EG＝ eq \f(BG,tan ∠BEG) ＝ eq \f(60,tan 45°) ＝60(m)，∴在Rt△AEG中，AG＝EG·tan ∠AEG＝60tan 59°≈60×1.66＝99.6(m)，∴AB＝AG＋BG≈159.6(m)，∴建筑物AB的高度约为159.6 m 9．(24分)(本溪中考模拟)如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C，D，E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，AB＝10 m，AE＝21 m(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73，sin 53°≈ eq \f(4,5) ，cos 53°≈ eq \f(3,5) ，tan 53°≈ eq \f(4,3) ). (1)求点B距水平地面AE的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于7 m，请问该广告牌是否符合要求？并说明理由． 解：(1)过点B作BF⊥AE于点F.∵山坡AB的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，∴tan ∠BAF＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠BAF＝30°，∴BF＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×10＝5(m)，∴点B距水平地面AE的高度为5 m (2)过点B作BG⊥CE于点G.则四边形BFEG是矩形，∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 eq \r(3) ＋21)m，∴在Rt△BCG中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 eq \r(3) ＋21)tan 45°＝(5 eq \r(3) ＋21)m.又∵在Rt△ADE中，DE＝AE·tan ∠DAE＝21tan 53°≈28 (m)，∴CD＝CG＋GE－DE≈5 eq \r(3) ＋21＋5－28＝(5 eq \r(3) －2)m.∵5 eq \r(3) －2<7，∴该广告牌符合要求 $$