1.5 第3课时 三角函数在坡度、坡角问题中的应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

1.5　三角函数的应用 第3课时　三角函数在坡度、坡角问题中的应用 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 A 3 B 4 3．(5分)(本溪十二中期末)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图所示的是一简化的跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为坡度为2∶3的着陆坡，A，B两点之间的高度差为60 m，A，C两点间的高度差为140 m，则着陆坡BC的长度为________m. 5 4．(5分)如图所示的是一座滑梯的示意图，其中扶梯AB的坡度为4∶3，滑梯CD的坡度为1∶2，若扶梯AB的长度为2.5 m，滑梯的顶部BC与地面平行，则滑梯CD的长度为________m. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 解决与坡度、坡角有关的问题 1．(4分)如图，在外力的作用下一个滑块沿坡角为28°的斜坡向上移动了15 m，则此时滑块上升的高度为( ) A．15sin 28° m B．15cos 28° m C．15tan 28° m D． eq \f(15,sin 28°) m 2．(4分)如图，在一个坡度为1∶2的斜坡上栽种有两棵树A，B，它们之间的水平距离AC为6 m，则这两棵树之间的坡面距离(即AB的长)为( ) A．3 eq \r(3) m B．3 eq \r(5) m C．6 eq \r(3) m D．6 eq \r(5) m 40 eq \r(13) 2 eq \r(5) 5．(10分)如图，某防洪大堤(横断面为梯形ABCD)的高为7 m，背水坡AD的坡角为45°.现准备沿背水坡面用土石加固大堤，并使上底加宽3 m，加固后背水坡EF的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，求加固后坝底增加的宽度DF(结果保留根号). 解：过点E作EG⊥CD于点G，过点A作AH⊥CD于点H，则四边形AEGH为矩形，∴AH＝EG＝7 m，AE＝GH＝3 m．又∵∠ADH＝45°，∴∠DAH＝90°－∠ADH＝45°＝∠ADH，∴DH＝AH＝7 m．∵在Rt△EFG中， eq \f(EG,FG) ＝i＝ eq \f(1,\r(3)) ，∴FG＝ eq \r(3) EG＝7 eq \r(3) (m)，∴DF＝FG＋GH－DH＝7 eq \r(3) ＋3－7＝(7 eq \r(3) －4)m，∴加固后坝底增加的宽度DF为(7 eq \r(3) －4)m 6．(12分)(锦州中考)如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上的点D处放置一高度为1.6 m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上(即BC∥MN)，此时测得树顶部A的仰角为50°.已知山坡的坡度i＝1∶3，求树AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19). 解：∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan ∠CBD＝tan M＝i＝1∶3，∴CD∶BC＝1∶3，∴BC＝3CD＝4.8m，∴在Rt△ABC中，∴AB＝BC·tan ∠ACB＝4.8tan 50°≈4.8×1.19≈5.7(m)，∴树AB的高度约为5.7 m 解答题(共60分) 7．(16分)(朝阳二模)高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为150 m，斜坡CD的坡度i＝1∶2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50 m，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°，求高楼AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192). 解：过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DEBF为矩形，∴BF＝DE＝50 m，DF＝BE.∵斜坡CD的坡度i＝1∶2.4，∴ eq \f(DE,CE) ＝ eq \f(1,2.4) ，∴CE＝2.4DE＝2.4×50＝120(m)，∴DF＝BE＝BC－CE＝150－120＝30(m)，∴在Rt△ADF中，AF＝DF·tan ∠ADF＝30tan 50°≈35.76(m)，∴AB＝AF＋BF≈35.76＋50≈85.8(m)，∴高楼AB的高度约为85.8 m 8．(20分)(朝阳三模)如图是某水库大坝的截面示意图，张强在水库大坝顶CF上的瞭望台D处测得水面上的小船A的俯角为40°，若DE＝3 m，CE＝2 m，CF平行于水面AB，瞭望台DE垂直于坝顶CF，迎水坡BC的坡度i＝4∶3，坡长BC＝10 m，求小船A距坡底B处的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)． 解：延长DE交AB的延长线于点P，过点C作CQ⊥AP于点Q，则四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2 m，CQ＝PE.∵CQ∶BQ＝4∶3，∴可设CQ＝4x m，BQ＝3x m.又∵BQ2＋CQ2＝BC2，∴(4x)2＋(3x)2＝102，解得x＝2或x＝－2(舍)，∴PE＝CQ＝8 m，BQ＝6 m，∴DP＝DE＋PE＝3＋8＝11(m)，∴AP＝ eq \f(DP,tan A) ＝ eq \f(11,tan 40°) ≈ eq \f(11,0.84) ≈13.1(m)，∴AB＝AP－BQ－PQ≈13.1－6－2＝5.1(m) 9．(24分)(本溪二模改编)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，小敏在参观风力发电机时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98 m，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35 m到达E处，当风叶AB转到铅垂方向时在E处测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，小敏的身高忽略不计(参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.50). (1)求小敏从点D到点E的过程中上升的竖直高度； (2)求风叶AB的长度． 解：(1)过点E作EF⊥CD于点F.∵斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，∴EF∶DF＝1∶0.75，∴DF＝ eq \f(3,4) EF，∴DE＝ eq \r(DF2＋EF2) ＝ eq \r(（\f(3,4)EF）2＋EF2) ＝ eq \f(5,4) EF＝35 m，∴EF＝28 m，∴小敏从点D到点E的过程中上升的竖直高度为28 m (2)由(1)得DF＝ eq \f(3,4) EF＝21 m，过点E作EG⊥AC于点G，过点A′作A′H⊥EG，交EG的延长线于点H，则四边形EFCG和四边形A′BGH均为矩形，∴A′H＝BG＝BC－CG＝BC－EF＝98－28＝70(m)，∴EH＝ eq \f(A′H,tan ∠A′EH) ＝ eq \f(70,tan 45°) ＝70(m).设AB＝A′B＝x m，则EG＝(70－x)m，AG＝(70＋x)m，∴在Rt△AEG中， eq \f(70＋x,70－x) ＝ eq \f(AG,EG) ＝tan ∠AEG＝tan 68°≈2.5，解得x≈30，∴风叶AB的长度约为30 m $$