1.5 第1课时 三角函数在方向角问题中的应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 辽宁专用）

1.5　三角函数的应用 第1课时　三角函数在方向角问题中的应用 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 B 3 B 4 3．(6分)如图，一大树B在凉亭A的正东方向，小明在C处测得凉亭A和大树B分别在他的西北方向上和北偏东30°的方向上，且测得C处与大树B相距100 m，则凉亭A与大树B之间的距离为________________ m(结果保留根号). 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 解决与方向角有关的问题 1．(5分)如图，小明在一条东西走向的公路的O处测得学校A在他的北偏东60°方向，且与他相距300 m，则学校A到公路的距离AB为( ) A.100 eq \r(3) m B．150 m C．150 eq \r(2) m D．150 eq \r(3) m 2．(5分)如图，C，D两村分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向，且D村位于C村的北偏东30°方向上，若C，D两村相距6 km，则A，B两点之间的距离为( ) A．2 eq \r(3) km B．3 eq \r(3) km C． eq \r(6) km D．3 km (50 eq \r(3) ＋50) 4．(12分)如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后立即前往救援，求AB的长(结果取整数，参考数据：tan 40°≈0.84， eq \r(3) ≈1.73)． 解：过点B作BH⊥AC于点H，则BH＝AH·tan ∠BAH ＝tan 60°AH＝ eq \r(3) AH，AB＝ eq \f(AH,cos ∠CAB) ＝ eq \f(AH,cos 60°) 2AH， ∴CH＝ eq \f(BH,tan ∠ACB) ＝ eq \f(\r(3)AH,tan 40°) (海里)，∴AC＝AH＋CH＝ AH＋ eq \f(\r(3)AH,tan 40°) ＝257(海里)，∴AH≈84海里， ∴AB＝2AH≈168海里，∴AB的长约为168海里 5．(12分)(辽阳中考改编)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100 m的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5 s，经测量，点B在点A的北偏东45°方向上，点C在点A的北偏东60°方向上，这段公路最高限速60 km/h，问此车有没有超速？(参考数据： eq \r(3) ≈1.732) 解：过点A作AD⊥直线l于点D，在Rt△ADB中，∵∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝100 m，∴在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝100tan 60°＝100 eq \r(3) (m)，∴BC＝CD－BD＝100 eq \r(3) －100≈73.2(m)，∴小汽车的速度约为73.2÷5＝14.64(m/s)＝52.704(km/h).∵52.704<60，∴此车没有超速 解答题(共60分) 6．(16分)(抚顺、本溪、辽阳中考)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A港口之间的距离(结果取整数，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192， eq \r(2) ≈1.414)． 解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知∠BAC＝25°＋25°＝50°，∠BCA＝70°－25°＝45°，AB＝100海里，∴在Rt△ABD中，AD＝AB·cos ∠BAC＝100cos 50°≈100×0.643＝64.3(海里)，BD＝AB·sin ∠BAC＝100sin 50°≈100×0.766＝76.6(海里)，∴在Rt△BCD中，CD＝ eq \f(BD,tan ∠ACB) ≈ eq \f(76.6,tan 45°) ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD≈64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与A港口之间的距离约为141海里 7．(20分)(锦州一模)如图，某工厂坐落在东西方向公路MN的北侧，H，E分别是矩形生产车间ABCD的入口和出口(AD∥MN，HE⊥BC)，车间的宽度EH＝80 m，生产出来的产品沿北偏西 53°的厂内道路EF运送到库房F存放，EF＝500 m，工厂大门G在库房F南偏西26.6°的方向，点G，B，H，C在直线MN上，求大门与车间入口之间的距离GH(结果保留整数，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 53°≈ eq \f(4,5) ，cos 53°≈ eq \f(3,5) ，tan 53°≈ eq \f(4,3) ). 解：过点F作FP⊥BG于点P，延长EA交FP于点Q，则四边形PHEQ是矩形，∠EFQ＝53°，∠GFP＝26.6°，∴PQ＝EH＝80 m，EQ＝PH，在Rt△EFQ中，FQ＝EF·cos ∠EFQ＝500cos 53°≈500× eq \f(3,5) ＝300(m)，EQ＝EF·sin ∠EFQ＝500sin 53°≈500× eq \f(4,5) ＝400(m)，∴PH＝EQ≈400 m，PF＝FQ＋PQ≈300＋80＝380(m)，∴在Rt△PFG中，PG＝PF·tan ∠GFP≈380tan 26.6°≈380×0.5＝190(m)，∴GH＝PG＋PH≈190＋400＝590(m)，∴大门与车间入口之间的距离GH约为590 m 8．(24分)(本课时T5变式)如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处．测得小岛C在港口A的北偏东30°方向，且在B处的东北方向．由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC方向赶往小岛C维修，同时向在A的正东方向上的维修站D发出信号，在维修站D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC方向赶往小岛C.已知小岛C在维修站D的北偏西37°方向，通知和维修船准备材料所用的总时间为6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C(参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73， eq \r(6) ≈2.45，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75). 解：维修船能在货船之前到达小岛C，理由如下：过点C分别作CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD于点F，则四边形AFCE为矩形，∠DCF＝37°.由题意可得AB＝40×1＝40(海里)，在Rt△BCE中，CE＝BE·tan ∠CBE＝BE·tan 45°＝BE，∴在Rt△ACE中，CE＝AE·tan ∠CAE＝AE·tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) AE＝ eq \f(\r(3),3) (AB＋BE)＝ eq \f(\r(3),3) (40＋BE)，∴ eq \f(\r(3),3) (40＋BE)＝BE，∴BE＝(20 eq \r(3) ＋20)海里，∴BC＝ eq \r(BE2＋CE2) ＝ eq \r(2) BE＝(20 eq \r(6) ＋20 eq \r(2) )海里．易得CF＝AE＝ eq \r(3) CE＝ eq \r(3) BE＝(60＋20 eq \r(3) )海里，∴货船从B处到小岛C用时 eq \f(20\r(6)＋20\r(2),30) ≈2.57(小时).在Rt△CDF中，CD＝ eq \f(CF,cos ∠DCF) ＝ eq \f(60＋20\r(3),cos 37°) ≈(75＋25 eq \r(3) )(海里)，∴维修船从货船向维修站D发出信号到赶到小岛C用时 eq \f(6,60) ＋ eq \f(75＋25\r(3),50) ≈2.465(小时).∵2.57＞2.465，∴维修船能在货船之前到达小岛C $$