11.1.1不等式及其解集（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级下册 不等式与不等式组 第十一章 1 11.1.1 不等式及其解集 第11章 不等式与不等式组 2 情境引入 谁长谁短 谁快谁慢 谁大谁小 谁赢谁输 新知探究 思考：如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？ 我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50. 新知探究 思考：一辆匀速行驶的汽车在 11:20 距离 A 地 50 km，要在 12:00 之前驶过 A 地，车速满足什么条件？ 这个问题我们要怎么解答呢？ A 50千米 11 :20 12 :00 40分钟＝ 小时 新知探究 分析: 设车速是 x 千米/时. 从时间上看 汽车要在 12:00 之前驶过 A 地，则以这个速度行驶 50 km 所用的时间不到 h，即： 从路程上看 汽车要在 12:00 之前驶过 A 地，则以这个速度行驶 h 的路程要超过 50 km，即： 新知探究 观察由上述问题得到的关系式：x＞50 ， x＜100，x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？ 左右不相等 总结归纳 一般地，用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像a≠2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 典例精析 例1 ① a + 3≠1； ； ③ 3＜5； ④ 3x + 1； ⑤－2＞－1 ; ⑦ a + b＝b + a . 不是 是 是 是 不是 是 判断下列各式是不是不等式？ 是 一个式子是不等式的判定： ①含有不等号； ②表示不等关系，而与不等式是否成立无关； ③不等式中可以含有未知数,也可以不含未知数. 不等式中不一定要含有未知数. 新知探究 我们常用不等式表示不等的数量关系. 关键是找出关键词： 像“大于”“超过”“多于”等用“>”表示； “小于”“不足”“少于”等用“<”表示； “不小于”“至少”用“≥”表示； “不大于”“至多”用“≤”表示； “不等于”用“≠”表示. 小提醒 不等号具有方向性，不等号两边的数不能随意交换. 新知探究 常见的不等号： 符号 名称 读法 实际意义 举例 ＜ 小于号 小于 小于、不足 -2＜3 ＞ 大于号 大于 大于、超出 3＞1 ≤ 小于等于号 小于或等于 不大于、不超过、至多 x≤3 ≥ 大于等于号 大于或等于 不小于、不低于、至少 x≥-6 ≠ 不等号 不等于 不相等 3≠4 新知探究 常见的不等式基本语言及其符号表示： 不等式基本语言 符号表示 a 是正数 a> 0 a是负数 a < 0 a 是非正数 a ≤ 0 a是非负数 a ≥ 0 a，b 同号 ab > 0 a，b 异号 ab < 0 典例精析 例2 用不等式表示下列不等关系： （1）a 与 15 的和大于 27； （2）b 的一半与 3 的差是负数； （3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333 hm2 猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的 18 倍. 找关键词 选不等号 列不等式 a+15＞27 （x为原有猕猴桃种植面积） 典例精析 例3 已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和9支签字笔，若付60元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与60元之间的关系？ 解：3x+9(x+y)<60. 新知探究 思考：下面给出的数，能使不等式x>50成立吗？你还能找出其他的数吗？ 20， 40， 50, 90. 解：当x=20，20<50, 不成立； 当x=40，40<50, 不成立； 当x=50，50=50, 不成立； 当x=90，90>50, 成立. 学习笔记 随堂演练 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”， 与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解. 例如：90是x>50的解. 代入法是检验某个值是不是不等式的解的简单、实用的方法. 典例精析 例4 判断下列数中哪些是不等式 x的解： 60，73，74.9，75.1，76，79，80，90. 你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ x 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90 不是 是 是 不是 不是 是 是 是 （1）你发现了哪些数是这个不等式的解？ （2）你从表格中发现了什么规律？ 无数个 比 75 小的数都不是不等式的解，比 75 大的数都是不等式的解. 学习笔记 随堂演练 思考：1.不等式的解和不等式的解集是一样的吗? 2.不等式的解与解不等式一样吗？ 求不等式的解集的过程叫做解不等式. 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 新知探究 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 特点 形式 联系 满足一个不等式的未知数的某个值 满足一个不等式的未知数的所有值 个体 全体 如:x=3是2x-3<7的一个解 如:x<5是2x-3<7的解集 某个解定是解集中的一员 解集一定包括了某个解 典例精析 例5 判断下列说法是否正确： (1) x=2是不等式x+3<4的解； （ ） (2) 不等式x+1<2的解有无穷多个； （ ） (3) x=3是不等式3x<8的解； （ ） (4) x=2是不等式3x<7的解集. （ ） √ × × × 新知探究 思考：如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？ 0 1 2 3 4 5 6 -1 A 把表示2的点A画成空心圆圈， 表示解集不包括2. 则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2 先在数轴上标出表示2的点A 学习笔记 随堂演练 解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式(如x>a或x<a)来表示. 第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是 不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向. 0 1 2 3 4 5 6 -1 A 学习笔记 随堂演练 用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 1.大于向右画,小于向左画; 2.“>”“<”画空心圆圈. 不等式的解集 x > a x < a x ≥ a x ≤ a 数轴表示 0 a 0 a 0 a 0 a 常见不等式的解集在数轴上的表示： 典例精析 例6 利用数轴来表示下列不等式的解集. (1)x＞-1 ； (2) x＜ . 0 -1 0 1 表示-1的点 表示的点 方向向右 方向向左 空心圆圈表示不含此点 典例精析 例7 直接写出x+6＜8的解集，并在数轴上表示出来． 0 1 2 解：不等式的解集为x＜2，在数轴上表示为： 变式：已知不等式的解集在数轴上表示如图所示， 你能写出对应不等式的解集吗? 0 -4 0 4 （1） （2） 解：(1)x＜－4； (2)x＞4． 典例精析 例7 变式：直接写出不等式2x＞10的解集，并在数轴上表示出来． 解：不等式的解集为x＞5，在数轴上表示为： 0 5 变式：直接写出不等式－2x＞10的解集． 解：x＜－5． 典例精析 例8 解：设：车速为 x km/h，则 x＞105 答：车速应该大于105 km/h. 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00 时汽车距前方的A地 210 km，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？ 2x＞210 0 105 学习笔记 随堂演练 实际问题 等量关系 不等 关系 方程 一元一次方程 不等式 一元一次不等式 解法 解法 应用 应用 类比 不等式的定义 不等式的解 不等式的解集 符号 图形 不等式的性质 等式的性质 数形结合 不等式及其解集 概念 一般地，用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子，叫作不等式.像a≠2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 解集 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 表示 在数轴上表示 不等式的解集 随堂演练 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 A 2.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（　　） A A 1 2 0 1 2 B D 0 1 2 0 1 2 0 C 随堂演练 3.下列不是不等式5x－3<6的解的是(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 B 4.下列说法中，正确的是( ) A. -3 是不等式 x+4<1 的解 B. x>1 是不等式 x+1>0 的解集 C. 不等式 x≥-3 的负整数解有无数个 D. 不等式 x<5 的非正整数解有无数个 D 随堂演练 5.据某天气网站预测，某市最高气温是 6°C，最低气温是 -1 °C，则当天该市气温 t (单位：°C)的变化范围是( ) A. t > 6 B. t < l C. -1 < t < 6 D. -1 ≤ t ≤ 6 D 6.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是( ) A A. x>-1 B. x≥-1 C. x<-1 D. x≤-1 随堂演练 7.把一些书分给同学，设每个同学分x本. 若 ；若分给11个同学，则书有剩余. 可列不等式8(x 十6)>11 x，则横线的信息可以是（ ） A.分给8个同学，则剩余6本 B.分给6个同学，则剩余8本 C.分给8个同学，则每人可多分6本 D.分给6个同学，则每人可多分8本 C 随堂演练 9.用不等式表示下列数量关系： （1）a是正数； （2）x比-3小； （3）两数m与n（m>n）的差大于5. a > 0. x <-3. m-n >5. 8.在下列式子： ①－2＜0；②3x-5＞0；③x＝1；④x2－x；⑤x≠-2；⑥x＋2＞x-1中， 是不等式的有 （填序号）. ①②⑤⑥ 随堂演练 10.判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0; （3）x=3; （4） x2+xy+y2; （5）x≠5; （6）x+2>y+5. 解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式. 随堂演练 －4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 11.下列数中哪些是不等式 x＋3＞6的解？哪些不是？ 解：3.2，4.8，8，12是不等式x+3>6的解，其余不是. 12.直接写出下列不等式的解集. x+3>6的解集是 ； 4x<8的解集是 ； x-2>0的解集是 . x>3 x<2 x>2 随堂演练 解集为: x>3. （1）x＋3＞6； （2）2x＜8； （3）x－2＞0. 13.直接说出下列不等式的解集，并用数轴把它们表示出来. 0 4 0 3 0 2 解集为:x>2. 解集为:x < 4. 随堂演练 14.恩格尔系数n是指家庭日常饮食占家庭总支出的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的n值如下表所示： 家庭类型 贫困 温饱 小康 发达国家 最富裕国家 n 75%以上 50%～75% 40%～49% 20%～39% 不到20% 如果用含n的不等式表示，那么贫困家庭为________，最富裕国家家庭为__________；当某一家庭n＝0.6时，表明该家庭的实际生活水平是______． n>75% n<20% 温饱 $$