课时64 二项分布、超几何分布与正态分布-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关６４　二项分布、超几何分布与正态分布 对应学生用书　P３２７ [基础巩固练] １．(２０２５􀅰聊城模拟)随着互联网的普及、大数据 的驱动,线上线下相结合的新零售时代已全面 开启,新零售背景下,即时配送行业稳定快速增 长．某即时配送公司为更好地了解客户需求,优 化自身服务,提高客户满意度,在其A,B 两个 分公司的客户中各随机抽取１０位客户进行了 满意度评分调查(满分１００分),评分结果如下: 分公司A:６６,８０,７２,７９,８０,７８,８７,８６,９１,９１． 分公司B:６２,７７,８２,７０,７３,８６,８５,９４,９２,８９． (１)求抽取的这２０位客户评分的第一四分位数; (２)规定评分在７５分以下的为不满意,从上述 不满意的客户中随机抽取３人继续沟通不满意 的原因及改进建议,设被抽到的３人中分公司 B 的客户人数为X,求X 的分布列和数学期望． 解:(１)将抽取的这２０位客户的评分从小到大 排列为:６２,６６,７０,７２,７３,７７,７８,７９,８０,８０,８２, ８５,８６,８６,８７,８９,９１,９１,９２,９４． 因为２０×２５％＝５, 所以抽取的这２０位客户评分的第一四分位数 为７３＋７７ ２ ＝７５． (２)由已知得分公司A 中７５分以下的有６６分, ７２分; 分公司B 中７５分以下的有６２分,７０分,７３分, 所以上述不满意的客户共５人,其中分公司 A 中２人,分公司B 中３人． 所以X 的所有可能取值为１,２,３． P(X＝１)＝ C２２C１３ C３５ ＝３１０ ;P(X＝２)＝ C１２C２３ C３５ ＝３５ ; P(X＝３)＝ C０２C３３ C３５ ＝１１０ , 所以X 的分布列为 X １ ２ ３ P ３１０ ３ ５ １ １０ 数学期望E(X)＝１×３１０＋２× ３ ５＋３× １ １０＝ ９ ５． ２．(２０２５􀅰双鸭山模拟)近年来,师范专业是高考考生 填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校 ２０２４年参加高考的９０位考生首选志愿(第一个院 校专业组的第一个专业)填报情况,经统计,首选志 愿填报与性别情况如下表:(单位:人) 首选志愿为 师范专业 首选志愿为 非师范专业 女性 ２５ ３５ 男性 ５ ２５ (１)根据表中数据．能否有９５％的把握认为首选 志愿为师范专业与性别有关? (２)用样本估计总体,用本次调研中首选志愿样 本的频率代替首选志愿的概率,从２０２２年全国 文科考生中随机抽取３人,设被抽取的３人中 首选志愿为师范专业的人数为X,求X 的分布 列、数学期望E(X)和方差D(X)． 附:χ ２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ,n＝a＋b ＋c＋d． α ０．１５ ０．１０ ０．０５ ０．０２５０．０１００．００５ ０．００１ xα ２．０７２２．７０６３．８４１５．０２４６．６３５７．８７９１０．８２８ 解:(１)χ ２＝９０ (２５×２５－３５×５)２ ６０×３０×３０×６０ ＝５．６２５＞３．８４１ , ∴有９５％的把握认为首选志愿为师范专业与性别 有关． (２)某个考生首选志愿为师范专业的概率 P＝ ３０ ９０＝ １ ３ , X 的所有可能取值为０,１,２,３,X~B ３,１３ æ è ç ö ø ÷, P(X＝０)＝ ２３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝８２７ , P(X＝１)＝C１３× １ ３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４９ , P(X＝２)＝C２３× １ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ×２３＝ ２ ９ , P(X＝３)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝１２７ , ∴X 的分布列如下: X ０ １ ２ ３ P ８２７ ４ ９ ２ ９ １ ２７ E(X)＝３× １３ ＝１ ,D (X)＝３× １３ × １－１３ æ è ç ö ø ÷＝２３． ３．某教学研究机构从参加高考适应性考试的２００００ 名优秀考生中随机抽取了２００人对其数学成绩进 行了整理分析,作出了如下频率分布直方图: (１)根据频率分布直方图,同一组数据用该组区 间的中点值作代表,求得这２００名考生数学成 绩的平均数为􀭺x＝１１０．据此估计这２００００名优 秀考生数学成绩的标准差; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８４􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 (２)根据以往经验,可以认为这２００００名优秀考 生的数学成绩X 近似服从正态分布N(μ,σ ２), 其中参数μ和σ可以分别用(１)中的􀭺x和s来估 计．记考生本次考试的各科总成绩为Y,若Y＝ ５X－１０,试估计这２００００名优秀考生中总成绩 Y∈[６００,６６０]的人数． 另:６≈２．４; 若X~N(μ,σ ２),则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝ ０．６８２７,P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)＝０．９５４５． 解:(１)抽取的２００名考生数学成绩的方差估计 值为s２＝(８０－１１０)２×０．０２＋(９０－１１０)２× ０．０９＋(１００－１１０)２×０．２２＋(１１０－１１０)２× ０．３３＋(１２０－１１０)２×０．２４＋(１３０－１１０)２× ０．０８＋(１４０－１１０)２×０．０２＝１５０． 故估计这２００００名考生数学成绩方差为１５０, 标准差s＝ １５０＝５ ６≈５×２．４＝１２． (２)由(１)知μ可用􀭺x＝１１０来估计,σ ２ 可用s２＝ １５０来估计．故X~N(１１０,１５０)． σ＝ １５０＝５ ６≈１２． 又P(μ＋σ≤X≤μ＋２σ) ＝P (μ－２σ≤X≤μ＋２σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ) ２ ＝０．９５４５－０．６８２７２ ＝０．１３５９ 故P(１２２≤X≤ １３４)＝０．１３５９． 又Y＝５X－１０, 所以P(６００≤Y≤６６０)＝P(６００≤５X－１０≤ ６６０)＝P(１２２≤X≤１３４)＝０．１３５９． 故这２００００名考生中成绩在[６００,６６０]的人数 服从二项分布B(２００００,０．１３５９),约为２００００ ×０．１３５９＝２７１８(人)． [能力提升练] ４．某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一 次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环 节,预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已 知共有１２０００名学生参加了预赛,现从参加预 赛的全体学生中随机地抽取１００人的预赛成绩 作为样本,得到如下频率分布直方图: (１)规定预赛成绩不低于８０分为优良,若从上 述样本中预赛成绩不低于６０分的学生中随机 地抽取２人,求至少有１人预赛成绩优良的概 率,并求预赛成绩优良的人数的数学期望; (２)由频率分布直方图可认为该市全体参加预 赛学生的预赛成绩Z 服从正态分布N(μ,σ ２), 其中μ可近似为样本中的１００名学生预赛成绩的 平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且 σ２＝３６２,已知小明的预赛成绩为９１分,利用该正 态分布,估计小明是否有资格参加复赛? (３)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为 １００分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答 题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分 数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的 分数为０．２k(k＝１,２,􀆺,n);③每答对一题加２ 分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛 学生的最终分数即为复赛成绩,已知参加复赛 的学生甲答对每道题的概率均为０．８,且每题答 对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的 复赛成绩,则他的答题数量n应为多少? 附:若Z~N(μ,σ ２),则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈ ０．６８２７,P(μ－２σ≤Z≤μ＋２σ)≈０．９５４５,P(μ －３σ≤Z≤μ＋３σ)≈０．９９７３;３６２≈１９． 解:(１)预赛成绩在[６０,８０)范围内的样本量为: ０．０１２５×２０×１００＝２５,预赛成绩在[８０,１００)范 围内的样本量为:０．００７５×２０×１００＝１５, 设抽取的２人中预赛成绩优良的人数为 X,可 能取值为０,１,２,则 P(X≥１)＝ C１１５C１２５＋C２１５ C２４０ ＝ ８ １３ ,又P(X＝０)＝ C２２５ C２４０ ＝５１３ ,P(X＝１)＝ C１２５C１１５ C２４０ ＝２５５２ ,P(X＝２)＝ C２１５ C２４０ ＝７５２ , 则X 的分布列为: X ０ １ ２ P ５１３ ２５ ５２ ７ ５２ 故E(X)＝０×５１３＋１× ２５ ５２＋２× ７ ５２＝ ３ ４． (２)μ＝􀭺x＝(１０×０．００５＋３０×０．０１＋５０×０．０１５ ＋７０×０．０１２５＋９０×０．００７５)×２０＝５３, σ２＝３６２,则σ＝１９,又Z~N(５３,３６２), 故P(Z≥９１)＝P(Z≥μ＋２σ)＝ １ ２ [１－P(μ－２σ ≤Z≤μ＋２σ)]≈０．０２２７５, 故全市参加预赛学生中,成绩不低于９１分的有 １２００００×０．０２２７５＝２７３人,因为２７３＜３００,故 小明有资格参加复赛． (３)设学生甲答对的题目数为ξ,复赛成绩为Y, 则ζ~B(n,０．８),故E(ξ)＝０．８n, Y＝１００－０．２(１＋２＋３＋􀆺＋n)＋２ξ, 故E(Y)＝１００－０．２(１＋２＋３＋􀆺＋n)＋２E(ξ) ＝－１１０n ２＋３n２＋１００＝－ １ １０n－ １５ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋８４５８ , 因为n∈N∗ ,所以答题数量为７或８时,学生甲 可获得最佳的复赛成绩． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８４􀅰 高考总复习　数学 A版