10.6 二项分布、超几何分布与正态分布-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§１０．６　二项分布、超几何分布与正态分布 ★[考试要求] １．理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题． ２．借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P１９５ １．伯努利试验与二项分布 (１)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将 一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随 机试验称为n 重伯努利试验． (２)二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件 A 发生的概率为p(０＜p＜１),用 X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(１ －p)n－k,k＝０,１,２,􀆺,n． 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称 随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p)． ２．两点分布与二项分布的均值、方差 (１)若随机变量X 服从两点分布,则E(X)＝p,D(X) ＝p(１－p)． (２)若X~B(n,p),则E(X)＝np,D(X)＝np(１－p)． ３．超几何分布 一般地,假设一批产品共有 N 件,其中有 M 件次 品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回),用X 表 示抽取的n 件产品中的次品数,则 X 的分布列为 P(X＝k)＝ CkMCn－kN－M CnN ,k＝m,m＋１,m＋２,􀆺,r,其 中,n,N,M∈N∗ ,M≤N,n≤N,m＝max{０,n－N ＋M},r＝min{n,M},如果随机变量X 的分布列具 有上式的形式,那么称随机变量 X 服从超几何 分布． ４．正态分布 (１)定义 若随机变量 X 的概率分布密度函数为f(x)＝ １ σ ２π 􀅰e －(x－μ)２ ２σ２ ,x∈R,其中,μ∈R,σ＞０为参数,则 称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ ２)． (２)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称． ②曲线在x＝μ处达到峰值 １ σ ２π ． ③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴． (３)３σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈０．６８２７; ②P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４５; ③P(μ－３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７３． (４)正态分布的均值与方差 若X~N(μ,σ ２),则E(X)＝μ,D(X)＝σ ２． １．二项分布当n＝１时就是两点分布． ２．若X 服从正态分布,即X~N(μ,σ ２),要充分利用 正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x 轴之间的 面积为１解题． ３．利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的 过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式 P(X＝k)＝Cknpk(１－p)n－k的三个条件． (１)在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常 数p; (２)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复 试验,而且各次试验的结果是相互独立的; (３)该公式表示n次试验中事件A 恰好发生了k次的 概率． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)X 表示n 次重复抛掷１枚骰子出现点数是３的倍 数的次数,则X 服从二项分布． (√) (２)从４名男演员和３名女演员中选出４人,其中女 演员的人数X 服从超几何分布． (√) (３)n 重伯努利试验中各次试验的结果必须相互 独立． (√) (４)正态分布是对于连续型随机变量而言的． (√) ２．已知随机变量ξ服从正态分布N(１,σ ２),若P(ξ＜ ４)＝０．９,则P(－２＜ξ＜１)＝ (　　) A．０．２ B．０．３ C．０．４ D．０．６ 解析:C　[由题意可知μ＝１,正态曲线关于直线x ＝１对称,P(ξ≥４)＝１－P(ξ＜４)＝０．１,根据对称 性可知,P(ξ≤－２)＝P(ξ≥４)＝０．１,故P(－２＜ξ ＜１)＝０．５－P(ξ≤－２)＝０．５－０．１＝０．４．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７２􀅰 高考总复习　数学 A版 ３．从装有３个白球、４个红球的箱子中,随机取出了３ 个球,恰好是２个白球、１个红球的概率是 (　　) A．４３５ B． ６ ３５ C．１２３５ D． ３６ ３４３ 解析:C　[如果将白球视为合格品,红球视为不合 格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为 P＝ C２３C１４ C３７ ＝１２３５． ] ４．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,５局３胜制,每局 甲赢的概率是２ ３ ,乙赢的概率是１ ３ ,则甲以３∶１获 胜的概率是　　　． 解析:甲以３∶１获胜是指前３局比赛中甲２胜１ 负,第４局比赛甲胜,∴甲以３∶１获胜的概率是P ＝C２３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ×１３× ２ ３＝ ８ ２７． 答案:８ ２７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１９６ 　　　二项分布 [例１]　(２０２５􀅰郑州模拟)世界杯足球赛淘汰赛阶 段的比赛规则为:９０分钟内进球多的球队取胜,如 果参赛双方在９０分钟内无法决出胜负(踢成平 局),将进行３０分钟的加时赛,若加时赛阶段两队 仍未分出胜负,则进入“点球大战”．点球大战的规 则如下: ①两队各派５名队员,双方轮流踢点球,累计进球 个数多者胜; ②如果在踢满５球前,一队进球数已多于另一队踢 ５球可能踢中的球数,则该队胜出,譬如:第４轮结 束时,双方进球数比为２∶０,则不需踢第５轮了; ③若前５轮点球大战中双方进球数持平,则采用 “突然死亡法”决出胜负,即从第６轮起,双方每轮 各派１人踢点球,若均进球或均不进球,则继续下 一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况,进 球方胜． 现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇,双方势均力敌, １２０分钟(含加时赛)仍未分出胜负,须采用“点球 大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为１２ , 乙队每名球员射进的概率为２ ３． 每轮点球结果互不 影响． (１)设甲队踢了５球,X 为射进点球的个数,求 X 的分布列与期望; (２)若每轮点球都由甲队先踢,求乙队在第４轮点 球结束时以４∶２胜出的概率． [解]　(１)由题意知,X~B ５,１２ æ è ç ö ø ÷,X 的所有可能 取值为０,１,２,３,４,５． P(X＝０)＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ５ ＝１３２ ,P(X＝１)＝C１５× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ５ ＝ ５ ３２ ,P(X＝２)＝C２５× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ５ ＝１０３２＝ ５ １６ ,P(X＝３)＝ C３５× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ５ ＝１０３２＝ ５ １６ ,P(X＝４)＝C４５× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ５ ＝５３２ , P(X＝５)＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ５ ＝１３２． 所以X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ ４ ５ P １３２ ５ ３２ ５ １６ ５ １６ ５ ３２ １ ３２ E(X)＝５×１２＝ ５ ２． (２)设“乙队在第４轮点球结束时以４∶２胜出”为 事件A,由题意知,乙射进４次,甲前４次射进２ 次,P(A)＝C２４× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ４ × ２３ æ è ç ö ø ÷ ４ ＝２２７ , 即乙队在第４轮点球结束时以４∶２胜出的概率 为２ ２７． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (１)在每一次试验中,事件发生的概率相同． (２)各次试验中的事件是相互独立的． (３)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生 与不发生． 提醒:在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大” “非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试 验,进而判定是否服从二项分布． 某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分 基本操作与技能操作两步进行,第一步基本操作: 每位参赛选手从A 类７道题中任选４题进行操作, 操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛),才 能进行第二步技能操作:从B 类５道题中任选３题 进行操作,直至操作完为止．A 类题操作正确得１０ 分,B 类题操作正确得２０分．以两步总分和决定优 胜者．总分８０分或９０分为二等奖,１００分为一等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７２􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 奖．某校选手李明A 类７题中有５题会操作,B 类 ５题中每题正确操作的概率均为２３ ,且各题操作互 不影响． (１)求李明被终止比赛的概率; (２)现已知李明A 类题全部操作正确,求李明B 类 题操作完后得分的分布列及期望; (３)求李明获二等奖的概率． 解:(１)设“李明被终止比赛”事件为 M,􀮄M 表示选 的４题均会操作或３题会操作,故李明被终止比赛 的概率P(M)＝１－P(􀮄M)＝１－ C３５􀅰C１２＋C４５ C４７ ＝２７． (２)设李明在竞赛中,A 类题全部操作正确后得分 为X,则X 的取值为４０,６０,８０,１００,且B 类题正确 操作题数n~B ３,２３ æ è ç ö ø ÷,可得 P(X＝４０)＝C０３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ０ × １３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ １２７ ;P(X＝６０)＝C１３ × ２ ３ æ è ç ö ø ÷ １ × １ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２９ ;P(X＝８０)＝C２３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ × １３ æ è ç ö ø ÷ １ ＝４９ ; P(X＝１００)＝C３３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ × １３ æ è ç ö ø ÷ ０ ＝８２７． 所求X 的分布列 X ４０ ６０ ８０ １００ P １２７ ２ ９ ４ ９ ８ ２７ E(X)＝４０×１２７＋６０× ２ ９＋８０× ４ ９＋１００× ８ ２７＝８０． (３)设李明获二等奖的事件为N,事件N 即A 类题 全部操作正确,B 类题正确操作２题或A 类题操作 正确３题,B 类题全部正确操作,所以李明获二等 奖的概率为 P(N)＝ C４５ C４７ ×C２３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ×１３＋ C３５C１２ C４７ ×C３３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝４４１８９． 　　　超几何分布 [例２]　(２０２５􀅰信阳模拟)袋中有８个除颜色外完全 相同的小球,其中１个黑球,３个白球,４个红球． (１)若从袋中一次性取出两个小球,即取到的红球 个数为X,求X 的分布列和数学期望; (２)若从袋中不放回的取３次,每次取一个小球,取到 黑球记０分,取到白球记２分,取到红球记４分,在最 终得分为８分的条件下,恰取到一个红球的概率． [解]　(１)由题意得X 的可能取值为:０,１,２, P(X＝０)＝ C０４C２４ C２８ ＝３１４ ,P(X＝１)＝ C１４C１４ C２８ ＝４７ ,P(X ＝２)＝ C２４C０４ C２８ ＝３１４ , 所以X 的分布列为: X ０ １ ２ P ３１４ ４ ７ ３ １４ 数学期望E(X)＝０×３１４＋１× ４ ７＋２× ３ １４＝１ ; (２)设事件A＝“最后得分为８分”,事件B＝“恰取 到一个红球”． 由题意,最后得分为８分有两种情况:摸出２个白 球、１个红球或１个黑球、２个红球, 所以P(A)＝ C２３C１４＋C１１C２４ C３８ ＝９２８ ,P(AB)＝ C２３C１４ C３８ ＝ ３ １４ ,所以P(B|A)＝P (AB) P(B)＝ ３ １４ ９ ２８ ＝２３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量 为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是: ①考察对象分两类;②已知各类对象的个数; ③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X 的 概率分布． (２)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的 小球等概率模型,其实质是古典概型． (２０２５􀅰岳阳模拟)共享电动车(sharedev)是一种 新的交通工具,通过扫码开锁,实现循环共享．某记 者来到中国传媒大学探访,在校园喷泉旁停放了 １０辆共享电动车,这些电动车分为荧光绿和橙色 两种颜色,已知从这些共享电动车中任取１辆,取 到的是橙色的概率为P＝０．４．若从这些共享电动 车中任取３辆． (１)求取出的３辆共享电动车中恰好有一辆是橙色 的概率; (２)求取出的３辆共享电动车中橙色电动车的辆数 X 的分布列与数学期望． 解:(１)因为从１０辆共享电动车中任取１辆,取到 的是橙色的概率为０．４,所以橙色的电动车有４辆, 荧光绿的电动车有６辆． 记事件A 为“取出的３辆共享电动车中恰好有一辆 是橙色”,则P(A)＝ C２６C１４ C３１０ ＝１２． (２)X 的所有可能取值为０,１,２,３, 所以P(X＝０)＝ C３６C０４ C３１０ ＝１６ , P(X＝１)＝ C２６C１４ C３１０ ＝１２ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８２􀅰 高考总复习　数学 A版 P(X＝２)＝ C１６C２４ C３１０ ＝３１０ , P(X＝３)＝ C０６C３４ C３１０ ＝１３０． 所以X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P １６ １ ２ ３ １０ １ ３０ 数学期望E(X)＝０×１６＋１× １ ２＋２× ３ １０＋３× １ ３０ ＝６５ 或E(X)＝３×４１０ ＝ ６ ５ æ è ç ö ø ÷． 　　　正态分布 [例３]　(１)某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单 位:kg)服从正态分布 N(１０,σ２),根据检测结果可 知P(９．９≤ξ≤１０．１)＝０．９６,某公司为每位职工购 买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有 １０００名职工,则分发到的大米质量在９．９kg以下 的职工数大约为 (　　) A．１０ B．２０ C．３０ D．４０ [解析]　由已知得P(ξ＜９．９)＝ １－P(９．９≤ξ≤１０．１) ２ ＝１－０．９６２ ＝０．０２ ,所以分发到的大米质量在９．９kg 以下的职工数大约为１０００×０．０２＝２０．] [答案]　B (２)[多选](２０２４􀅰新课标全国Ⅰ卷)为了解推动出 口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取 样本,得到推动出口后亩收入的样本均值􀭵x＝２．１,样 本方差s２＝０．０１,已知该种植区以往的亩收入X 服从 正态分布N(１．８,０．１２)．假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(􀭵x,s２),则(若随机变量Z服从正态 分布N(μ,σ ２),则P(Z＜μ＋σ)≈０．８４１３)＝ (　　) A．P(X＞２)＞０．２ B．P(X＞２)＜０．５ C．P(Y＞２)＞０．５ D．P(Y＞２)＜０．８ [解析]　依题可知,􀭺x＝２．１,s２＝０．０１,所以Y~N (２．１,０．１), 故P(Y＞２)＝P(Y＞２．１－０．１)＝P(Y＜２．１＋０．１) ≈０．８４１３＞０．５,C正确,D错误; 因为X~N(１．８,０．１),所以P(X＞２)＝P(X＞１．８ ＋２×０．１), 因为P(X＜１．８＋０．１)≈０．８４１３,所以P(X＞１．８ ＋０．１)≈１－０．８４１３＝０．１５８７＜０．２, 而P(X＞２)＝P(X＞１．８＋２×０．１)＜P(X＞１．８ ＋０．１)＜０．２,B正确,A 错误． [答案]　BC 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 正态分布下的概率计算常见的有两类 (１)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率 问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称及曲线与x 轴之间的面积为１． (２)利用３σ原则求概率问题时,要注意把给出的区 间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确 定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－２σ,μ＋２σ),(μ－ ３σ,μ＋３σ)中的哪一个． １．[多选](２０２５􀅰淮安模拟)设 X~N(μ,σ ２ １),Y~N (μ,σ ２ ２)这两个概率密度曲线(如图),下列说法正确 的是 (　　) A．σ１＜σ２ B．σ１＝σ２ C．对任意实数m＞μ,P(X≤m)＞P(Y≤m) D．若P(μ－k１σ１≤X≤μ＋k１σ１)＞P(μ－k２σ２≤Y≤ μ＋k２σ２),k∈R ∗ ,则k１＜k２ 解析:AC　[因为σ越小图象越瘦高,所以σ１＜σ２, 故 A 正确,B错误;由题图可知,当 m＞μ时,P(X ＞m)＜P(Y＞m) 所以P(X≤m)＝１－P(X＞m)＞P(Y＞m)＝１－P (Y＞m),故C正确,当k１＝２时,P(μ－２σ１≤X≤μ ＋２σ)＝０．９５４４ 当k２＝１时,P(μ－σ２≤Y≤μ＋σ２)＝０．６８２６,故 D 错误．] ２．对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值 作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差εn ~N ０,２n æ è ç ö ø ÷,为使误差εn 在(－０．５,０．５)的概率不 小于０．９５４４,至少要测量　　　　次．(若 X~N (μ,σ),则P(|X－μ|＜２σ)＝０．９５４４) 解析:P(|εn－μ|＜２σ)＝０．９５４４, 又μ＝０,σ ２＝２n , 即P(μ－２σ＜εn＜μ＋２σ) ＝P －２ ２n＜εn＜２ ２ n æ è ç ö ø ÷＝０．９５４４, 由题意知２ ２n≤ １ ２ , 所以n≥３２． 答案:３２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８２􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 学生用书　P１９９ 　　统计与概率内容是数学知识的综合应用,也是中学数学一个重要的交汇点,已经成为联系多项知识内容的 媒介;数列是高中数学的重点内容,易与其他内容交汇融合．由于此类考题条件多,背景新颖,成为近年各种考 试的一个热点问题． [典例]　[多选]某公司员工食堂每天都有米饭和面食 两种套餐,已知员工甲每天中午都会在这两种套餐 中选择一种,米饭套餐的价格是每份１８元,面食套 餐的价格是每份１２元,如果甲当天选择了某种套 餐,他第二天会有６０％的可能性换另一种类型的套 餐,假如第１天甲选择了米饭套餐,第n天选择米饭 套餐的概率为Pn,下列选项中正确的是 (　　) A．P３＝０．５２ B．Pn＝０．４Pn－１＋０．６(１－Pn－１)(n≥２,n∈N) C．Pn＝０．４＋０．５×(－０．２)n－１ D．前k天甲午餐总费用的数学期望为１５k＋５２－ ５ ２ － １ ５ æ è ç ö ø ÷ k [解析]　若甲在第(n－１)天选择了米饭套餐,那么 在第n天有４０％的可能性选择米饭套餐, 甲在第(n－１)天选择了面食套餐,那么在第n天有 ６０％的可能性选择米饭套餐, 所以第n天选择米饭套餐的概率Pn＝０．４Pn－１＋ ０．６(１－Pn－１)(n≥２,n∈N),故B正确; 因为甲在第１天选择了米饭套餐,所以 P２＝０．４, 所以P３＝０．６×０．６＋０．４×０．４＝０．５２,故 A 正确; 由B选项得,Pn＝－０．２Pn－１＋０．６,所以Pn－０．５ ＝－０．２(Pn－１－０．５), 又由题意得,P１＝１,所以数列{Pn－０．５}是以０．５ 为首项,－０．２为公比的等比数列, 所以Pn－０．５＝０．５×(－０．２)n－１, 所以Pn＝０．５＋０．５×(－０．２)n－１,故C错误; 前k天甲午餐总费用的数学期望为１８×∑ k n＝１ [０．５＋ ０．５×(－０．２)n－１]＋１２× ∑ k n＝１ [１－０．５－０．５× (－０．２)n－１] ＝１５k＋５２－ ５ ２ － １ ５ æ è ç ö ø ÷ k ,故 D正确． [答案]　ABD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　概率之间的关系如果是数列的前后项之间的 关系,即递推关系,就可以从概率问题自然地过渡 到数列问题,再用数列的方法解决．已知数列的递 推关系求通项公式的典型方法: (１)当出现an＝an－１＋m 时,构造等差数列; (２)当出现an＝xan－１＋y时,构造等比数列; (３)当出现an＝an－１＋f(n)时,用累加法求解; (４)当出现 an an－１ ＝f(n)时,用累乘法求解． [多选](２０２５􀅰苏州模拟)随着科技的发展,越来越 多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫 地机器人的性能,开发人员设计如下实验:如图,在 △ABC表示的区域上,扫地机器人沿着三角形的 边,从三角形的一个顶点等可能地移动到另外两个 顶点之一,机器人从一个顶点移动到下一个顶点称 执行一次程序．若开始时,机器人从A 点出发,记 机器人执行n 次程序后,仍回到 A 点的概率为 P(n),则下列结论正确的是 (　　) A．P(２)＝１３ B．当n≥２时,有２P(n)＝１－P(n－１) C．P(７)＝２１６４ D．P(n)＝１３ １－ － １ ２ æ è ç ö ø ÷ n－１ [ ] 解析:BCD　[对于 A 选项,机器人第一次执行程 序后,来到B 或C 点,故P(１)＝０,第二次执行程序 后,有１ ２ 的概率回到 A 点,故 P(２)＝１２ ,故 A 项 错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８２􀅰 高考总复习　数学 A版 对于B选项,P(n－１)为执行第(n－１)次程序后仍 回到A 点的概率,要想执行n 次程序后仍回到A 点,则执行第(n－１)次程序后应在B 点或C 点,且 下一次有１ ２ 的概率回到A 点, 故当n≥２时,有P(n)＝１２ [１－P(n－１)], 即２P(n)＝１－P(n－１),故B项正确; 由B选项知P(n)＝１２ [１－P(n－１)], 即P(n)＝－１２P (n－１)＋１２ 设P(n)＋k＝－１２ [P(n－１)＋k], 可得k＝－１３ 于是P(n)－１３＝－ １ ２ P (n－１)－１３[ ],又P(１)－ １ ３＝－ １ ３≠０ , 所以数列 P(n)－１３{ } 是首项为－ １ ３ ,公比为－１２ 的等比数列, 故 P (n)－ １３ ＝ － １ ３ － １ ２ æ è ç ö ø ÷ n－１ ,P (n)＝ １３ １－ －１２ æ è ç ö ø ÷ n－１ [ ],故 D项正确; 对 于 C 选 项,由 D 项 可 得 P (７)＝ １３ １－ －１２ æ è ç ö ø ÷ ６ [ ]＝２１６４,故C项正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P２００ 　　交汇型试题在各地试题中频繁出现,与概率有关的交汇题往往是档次较高的综合题,对考查学生的 创新能力大有裨益．该类题目背景取自现实,题型新颖,考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从 已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息,搞清各数据、各事件间的关系,建立相应的数学 模型求解． [典例]　已知甲口袋有m(m≥１,m∈N∗ )个红球和２ 个白球,乙口袋有n(n≥１,n∈N∗ )个红球和２个白 球,小明从甲口袋有放回地连续摸球２次,每次摸 出一个球,然后再从乙口袋有放回地连续摸球２ 次,每次摸出一个球． (１)当m＝４,n＝２时, ①求小明４次摸球中,至少摸出１个白球的概率; ②设小明４次摸球中,摸出白球的个数为X,求X 的数学期望; (２)当m＝n时,设小明４次摸球中,恰有３次摸出 红球的概率为P,则当m 为何值时,P 最大? [解]　(１)小明从甲口袋有放回地摸出一个球,摸 出白球的概率为 ２ ４＋２＝ １ ３ 从乙口袋有放回地摸出一个球,摸出白球的概率为 ２ ２＋２＝ １ ２． ①设“小明４次摸球中,至少摸出１个白球”为事件 A,则“小明４次摸球中,摸出的都是红球”为事件􀭿A 且P(􀭿A)＝ １－１３ æ è ç ö ø ÷ ２ × １－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１９ , 所以P(A)＝１－P(􀭿A)＝１－１９＝ ８ ９． ②X 的所有可能取值为０,１,２,３,４, 由①得P(X＝０)＝P(􀭿A)＝１９ , P(X ＝１)＝C１２ × １－ １ ３ æ è ç ö ø ÷ × １３ × １－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １－１３ æ è ç ö ø ÷ ２ ×C１２× １－ １ ２ æ è ç ö ø ÷×１２＝ １ ３ , P(X＝２)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ２ × １－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １－１３ æ è ç ö ø ÷ ２ × １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋C１２× １－ １ ３ æ è ç ö ø ÷×１３×C １ ２× １－ １ ２ æ è ç ö ø ÷×１２＝ １３ ３６ , P(X＝３)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ２ ×C１２ × １－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ × １２ ＋C １ ２ × １－１３ æ è ç ö ø ÷×１３× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１６ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８２􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 P(X＝４)＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ２ × １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１３６ , 所以E(X)＝０×１９＋１× １ ３＋２× １３ ３６＋３× １ ６＋４× １ ３６＝ ５ ３． (２)由m＝n,可视为小明从甲口袋中有放回地摸出 一个球,连续摸４次,相当于４次独立重复试验, 设小明每次摸出一个红球的概率为k(０＜k＜１), 则P(k)＝C３４k３(１－k)＝４(k３－k４)． 因为P′(k)＝－１６k２ k－３４ æ è ç ö ø ÷ 所以当０＜k＜３４ 时,P′(k)＞０; 当３ ４＜k＜１ 时,P′(k)＜０, 所以 P(k)在 区 间 ０,３４ æ è ç ö ø ÷ 上 单 调 递 增,在 区 间 ３ ４ ,１æ è ç ö ø ÷上单调递减, 所以当k＝３４ 时,P(k)最大, 此时k＝ mm＋２＝ ３ ４ ,解得m＝６, 故当m＝６时,P 最大． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 构造函数求最值时,要注意变量的选取,以及变量 自身的隐含条件对变量范围的限制． 某景区的索道共有三种购票类型,分别为单程上山 票、单程下山票和双程上下山票．为提高服务水平, 现对当日购票的１２０人征集意见,当日购买单程上 山票、单程下山票和双程票的人数分别为３６,６０ 和２４． (１)若按购票类型采用按比例分配的分层随机抽样 的方法从这１２０人中随机抽取１０人,再从这１０人 中随机抽取４人,求随机抽取的４人中恰有２人购 买单程上山票的概率; (２)记单程下山票和双程票为回程票,若在征集意 见时要求把购买单程上山票的２人和购买回程票 的m(m＞２且m∈N∗ )人组成一组,负责人从某组 中任选２人进行询问,若选出的２人的购票类型相 同,则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组 被标为B 的概率为p． ①试用含m 的代数式表示p; ②若一共询问了５组,用g(p)表示恰有３组被标 为B 的概率,试求g(p)的最大值及此时m 的值． 解:(１)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票 的人数之比为３∶５∶２,所以这１０人中,购买单程 上山票、单程下山票和双程票的人数分别为１０× ３ １０＝３ ,１０×５１０＝５ ,１０×２１０＝２ , 故随机抽取的４人中恰有２人购买单程上山票的 概率P＝ C２７C２３ C４１０ ＝３１０． (２)①从m＋２人中任选２人,有 C２m＋２种选法,其中 购票类型相同的有C２m＋C２２ 种选法, 则询问的某组被标为B 的概率p＝１－ C２m＋C２２ C２m＋２ ＝１ －m ２－m＋２ m２＋３m＋２ ＝ ４m m２＋３m＋２ ． ②由题意,５组中恰有３组被标为B 的概率g(p) ＝C３５p３(１－p)２＝１０p３(１－２p＋p２)＝１０(p３－２p４ ＋p５), 所以g′(p)＝１０(３p２－８p３＋５p４)＝１０p２(p－１) (５p－３),０＜p＜１, 所以当p∈ ０,３５ æ è ç ö ø ÷ 时,g′(p)＞０,函数g(p)单调 递增; 当p∈ ３５ ,１æ è ç ö ø ÷时,g′(p)＜０,函数g(p)单调递减, 所以当p＝３５ 时,g(p)取 得 最 大 值,且 最 大 值 为 g ３５ æ è ç ö ø ÷＝C３５× ３ ５ æ è ç ö ø ÷ ３ × １－３５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２１６６２５． 由p＝ ４mm２＋３m＋２ ＝３５ ,m＞２且m∈N∗ ,得m＝３． 即当m＝３时,５组中恰有３组被标为B 的概率最 大,且g(p)的最大值为２１６６２５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８２􀅰 高考总复习　数学 A版