课时59 计数原理与排列组合-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时冲关５９　计数原理与排列组合 对应学生用书　P３１８ [基础巩固练] 一、单选题 １．从３,５,７,１１这四个质数中,每次取出两个不同 的数,分别记为a,b,则共可得到ab 的不同值的 个数为 (　　) A．６ B．８ C．１２ D．１６ 解析:C　[ab 的值的个数即为从３,５,７,１１这四 个数中任选２个数的排列数,A２４＝４×３＝１２．] ２．甲、乙两人要在一排８个空座上就坐,若要求 甲、乙两人每人的两旁都有空座,则不同的坐 法有 (　　) A．１０种 B．１６种 C．２０种 D．２４种 解析:C　[一排共有８个座位,现有两人就坐, 故有６个空座．∵要求每人两旁均有空座,∴在 ６个空座的中间５个空中插入２个座位让两人 就坐,即有 A２５＝２０种坐法．] ３．将７支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中, 每个笔筒中至少放两支笔,不同的放法有 (　　) A．９２种 B．１１２种 C．８２种 D．１３２种 解析:B　[设有A,B 两个笔筒,笔放入A 笔筒 有四种情况,分别为２支,３支,４支,５支,一旦 A 笔筒的放法确定,B 笔筒的放法也随之确定, 且对同一笔筒的笔没有顺序要求,故总的放法 为C２７＋C３７＋C４７＋C５７＝１１２种．] ４．(２０２５􀅰华大新高考联盟押题卷)A,B,C,D,E, F 这６位同学站成一排照相,要求A 与C 相邻 且A 排在C 的左边,B 与D 不相邻且均不排在 最右边,则这６位同学的不同排法数为 (　　) A．７２ B．４８ C．３６ D．２４ 解析:C　[首先将A 与C 捆绑到一起,与除B、 D 以外的其他２位同学共３个元素进行排列, 有 A３３＝６种排法,再将B、D 插空到除最右边的 ３个位置中,有 A２３＝６种排法,因此共有６×６＝ ３６种排法．] ５．(２０２５􀅰武汉调研)三对夫妻站成一排照相,则 仅有一对夫妻相邻的站法总数是 (　　) A．７２ B．１４４ C．２４０ D．２８８ 解析:D　[第一步,先选一对夫妻使之相邻,捆 绑在一起看作一个复合元素 A,有 C１３A２２＝６种 排法;第二步,再选一对夫妻,从剩下的那对夫 妻中选择一个插入到刚选的夫妻中,把这三个 人捆 绑 在 一 起 看 作 另 一 个 复 合 元 素 B,有 C１２A２２C１２＝８种排法;第三步,将复合元素 A,B 和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排 列,有 A３３＝６种排法,由分步乘法计数原理,知 三对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的 排法有６×８×６＝２８８(种)．] ６．某地环保部门召集６家企业的负责人座谈,其 中甲企业有２人到会,其余５家企业各有１人 到会,会上任选３人发言,则发言的３人来自３ 家不同企业的可能情况的种数为 (　　) A．１５ B．３０ C．３５ D．４２ 解析:B　[甲企业有２人,其余５家企业各有１ 人,共有７人,所以从７人中任选３人共有 C３７ 种情况,发 言 的 ３ 人 来 自 ２ 家 企 业 的 情 况 有 C２２C１５ 种,所以发言的３人来自３家不同企业的 可能情况共有C３７－C２２C１５＝３０(种)．] ７．(２０２５􀅰辽阳模拟)联考结束后,某班要安排６ 节课进行试卷讲评,要求课程表中要排入语文、 数学、英语、物理、化学、生物共６节课,如果第 一节课只能排语文或数学,最后一节不能排语 文,则不同的排法共有 (　　) A．１９２种 B．２１６种 C．２４０种 D．２８８种 解析:B　[分以下两种情况讨论: ①若第一节课安排语文,则后面五节课的安排 无限制,此时共有 A５５ 种; ②若第一节课安排数学,则语文可安排在中间 四节课中的任何一节,此时共有４A４４ 种． 综上所述,不同的排法共有A５５＋４A４４＝２１６(种)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６４􀅰 高考总复习　数学 A版 ８．«数术记遗»是«算经十书»中的一部,相传是汉 末徐岳(约公元２世纪)所著,该书主要记述了: 积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九 宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数１４ 种计算器械的使用方法．某研究性学习小组３ 人分工搜集整理１４种计算器械的相关资料,其 中一人４种、另两人每人５种计算器械,则不同 的分配方法有 (　　) A． C４１４C５１０C５５A３３ A２２ 种 B． C４１４C５１０C５５A２２ A３３ 种 C． C４１４C５１０C５５ A２２ 种 D．C４１４C５１０C５５ 种 解析:A　[先将１４种计算器械分为三组,方法 数 为 C４１４C５１０C５５ A２２ ,再 分 给 ３ 个 人,方 法 数 为 C４１４C５１０C５５ A２２ ×A３３．] 二、多选题 ９．现有数学课外兴趣小组分为４组,第一、二、三、 四组分别有７人、８人、９人、１０人,则下列说法 正确的是 (　　) A．选１人为负责人的选法种数为３４ B．每组选１名组长的选法种数为５４００ C．若推选２人发言,这２人需来自不同的小组, 则不同的选法种数为４２０ D．若另有３名学生加入这个４小组,加入的小 组可自由选择,且第一组必须有人选,则不同 的选法有３７种 解析:AD　[对于 A,４个数学课外兴趣小组共 有７＋８＋９＋１０＝３４(人),故选１人为负责人的 选法共有３４种,A 正确;对于 B,分四步:第一、 二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选１ 名组长,所以不同的选法共有７×８×９×１０＝５ ０４０(种),B错误;对于 C,分六类:从第一、二组 中各选１人,有７×８种不同的选法; 从第一、三组中各选１人,有７×９种不同的选 法;从第一、四组中各选１人,有７×１０种不同 的选法;从第二、三组中各选１人,有８×９种不 同的选法;从第二、四组中各选１人,有８×１０ 种不同的选法;从第三、四组中各选１人,有９× １０种不同的选法．所以不同的选法共有７×８＋ ７×９＋７×１０＋８×９＋８×１０＋９×１０＝４３１ (种),C错误;对于 D,若不考虑限制条件,每个 人都有４种选法,共有４３＝６４种选法,其中第一 组没有人选,每个人都有３种选法,共有３３＝２７ 种选法,所以不同的选法有６４－２７＝３７(种), D对．] １０．现将８把椅子排成一排,４位同学随机就座,则 下列说法中正确的是 (　　) A．４个空位全都相邻的坐法有１２０种 B．４个空位中只有３个相邻的坐法有２４０种 C．４个空位均不相邻的坐法有１２０种 D．４ 个 空 位 中 至 多 有 ２ 个 相 邻 的 坐 法 有 ８４０种 解析:AC　[将四个空位当成一个整体,全部 的坐法有 A５５＝１２０(种),故 A 正确;先排４个 学生 A４４,然后将三个相邻的空位当成一个整 体,和另一个空位插入到由４个学生形成的５ 个空当中,有 A２５ 种方法,所以一共有 A４４A２５＝ ４８０(种)坐法,故 B错误;先排４个学生 A４４,４ 个空位是一样的,然后将４个空位插入到由４ 个学生形成的５个空当中,有 C４５ 种方法,所以 一共有 A４４C４５＝１２０(种)坐法,故 C 正确;至多 有２个相邻即都不相邻或者有两个相邻,由 C 可知都不相邻的坐法有１２０种,空位两个两个 相邻的有 A４４C２５＝２４０(种),空位只有两个相邻 的有 A４４C１５C２４＝７２０(种),所以一共有１２０＋２４０ ＋７２０＝１０８０(种)坐法,故 D错．] １１．安排甲、乙、丙、丁、戊５名同学参加２０２３年成 都大运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼 仪、司机四项工作可以安排,则以下说法正确 的是 (　　) A．若每人都安排一项工作,则不同的方法种数 为４５ B．若每项工作至少有１人参加,则不同的方法 种数为 A４５C１４ C．如果司机工作不安排,其余三项工作至少安 排 １ 人,则 不 同 的 方 法 种 数 为 (C３５C１２ ＋ C２５C２３)A３３ D．若每项工作至少有１人参加,甲、乙不会开 车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜 任四项 工 作,则 不 同 的 安 排 方 法 种 数 为 C１３C２４A３３＋C２３A３３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６４􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 解析:AD　[若每人都安排一项工作,每人有４ 种安排方法,则有４５ 种安排方法,故 A 正确; 先将５人分为４组,再将分好的４组全排列, 安排４项工作,有 C２５A４４ 种安排方法,故 B 错 误;先将５人分为３组,有 C３５C１２ A２２ ＋ C２５C２３ A２２ æ è ç ö ø ÷ 种分 组方法,将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三 项工作,有 A３３ 种情况,则有 C３５C１２ A２２ ＋ C２５C２３ A２２ æ è ç ö ø ÷A３３ 种安排方法,故C错误;①从丙,丁,戊中选出１ 人开车,②从丙,丁,戊中选出２人开车,则有 C１３C２４A３３＋C２３A３３ 种安排方法,故 D正确．] 三、填空题 １２．将５本不同的书分发给４位同学,其中甲、乙 两本书不能同时发给某一位同学,每位同学都 发到书,每本书只能给一位同学,则不同的分 配方案数为　　　　(用数字作答) 解析:５本书送４人共有 C２５A４４＝２４０,甲,乙送 一人有 A４４＝２４个结果,２４０－２４＝２１６． 答案:２１６ １３．已知某射箭场馆共需要６名志愿者,其中３名 会说韩语,３名会说日语．目前可供选择的志愿 者中有４人只会韩语,５人只会日语,另外还有 １人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共 有　　　　种．(用数字作答)． 解析:若 从 只 会 韩 语 中 选 ３ 人,则 C３４ (C３５ ＋ C２５C１１)＝４×２０＝８０种,若从只会韩语中选２ 人,则C２４C１１C３５＝６×１０＝６０种,故不同的选人 方案共有６０＋８０＝１４０种． 答案:１４０ １４．在数学中,有一个被称为自然常数(又叫欧拉 数)的常数e≈２．７１８２８．小明在设置银行卡的 数字密码时,打算将自然常数的前６位数字２, ７,１,８,２,８进行某种排列得到密码．如果排列 时要求两个２相邻,两个８不相邻,那么小明 可以设置的不同密码共有　　　个． 解析:如果排列时要求两个２相邻,两个８不 相邻,两个２捆绑看作一个元素与７,１全排 列,排好后有４个空位,两个８插入其中的２ 个空位中,注意到两个２,两个８均为相同元 素,那么小明可以设置的不同密码共有 A３３􀅰 C２４＝３６． 答案:３６ [能力提升练] １５．如图,一只青蛙开始时位于数轴上原点的位 置,每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单 位长度,记an 为第n 次跳跃后对应数轴上的数 字(n＝１,２,􀆺,１４),则满足a２８＝１６,a１４＝２的 跳跃方法有 (　　) A．３３６种 B．４４８种 C．３１５种 D．４２０种 解析:B　[因为a２８＝１６,所以a８＝－４或a８ ＝４． 当a８＝－４,a１４＝２时,前８次向左跳跃６次, 向右跳跃２次,后６次向右跳跃６次, 所以有C６８C０６＝２８(种)跳跃方法; 当a８＝４,a１４＝２时,前８次向右跳跃６次,向 左跳跃２次,后６次向左跳跃４次,向右跳跃 ２次, 所以有C２８C４６＝２８×１５＝４２０(种)跳跃方法． 综上所述,满足a２８＝１６,a１４＝２的跳跃方法有 ２８＋４２０＝４４８(种)．] １６．(２０２５􀅰扬州模拟)花灯,又名“彩灯”“灯笼”, 是中国传统农业时代的文化产物,兼具生活功 能与艺术特色．如图,现有悬挂着的６盏不同 的花灯需要取下,每次取１盏,则不同取法种 数为　　　　． 解析:由题意,取下６盏不同的花灯, 先对６盏不同的花灯进行全排列,共有 A６６ 种 方法,因为每次只取一盏花灯,而且只能从下 往上取, 所以必须除去重复的排列顺序,即先取上方的 顺序, 故共有取法种数为 A６６ A２２A２２A２２ ＝９０． 答案:９０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６４􀅰 高考总复习　数学 A版