10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§１０．５　离散型随机变量及其分布列、数字特征 ★[考试要求] １．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．２．理解并会求离散型随机变量的数字特征． 　　　　　　　　学生用书　P１９２ １．离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω 中的每个样本点 ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X 为随 机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机 变量称为离散型随机变量． ２．离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量 X 的可能取值为x１, x２,􀆺,xn,称X 取每一个值xi 的概率P(X＝xi)＝ pi,i＝１,２,􀆺,n为X 的概率分布列,简称分布列． ３．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi ≥０,i＝１,２,􀆺,n; ②p１＋p２＋􀆺＋pn＝１． ４．离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为 X x１ x２ 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pn (１)均值 则称E(X)＝x１p１＋x２p２＋􀆺＋xnpn＝∑ n i＝１ xipi为 随机变量X 的均值或数学期望,数学期望简称期 望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (２)方差 称D(X)＝(x１－E(X))２p１＋(x２－E(X))２p２＋ 􀆺＋(xn－E(X))２pn＝∑ n i＝１ (xi－E(X))２pi 为随机 变量X 的方差,并称 D(X)为随机变量 X 的标 准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值 与其均值的偏离程度． ５．均值与方差的性质 (１)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (２)D(aX＋b)＝a２D(X)(a,b为常数)． 均值与方差的三个常用性质 (１)E(k)＝k,D(k)＝０,其中k为常数． (２)E(X１＋X２)＝E(X１)＋E(X２)． (３)D(X)＝E(X２)－[E(X)]２． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象． (√) (２)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值 的概率之和可以小于１． (×) (３)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此 互斥的． (√) (４)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离 变量的平均程度越小． (√) ２．设某项试验的成功率是失败率的２倍,用随机变量 ξ描述一次试验的成功次数,则P(ξ＝０)＝ (　　) A．０ B．１３ C． １ ２ D． ２ ３ 解析:B　[设P(ξ＝１)＝p,则P(ξ＝０)＝１－p．依 题意知,p＝２(１－p),解得p＝２３． 故P(ξ＝０)＝１ －p＝１３． ] ３．已知随机变量ξ的分布列是: ξ １ ２ ３ P ０．４ ０．２ ０．４ 则D(ξ)＝ (　　) A．０．６ B．０．８ C．１ D．１．２ 解析:B　[E(ξ)＝１×０．４＋２×０．２＋３×０．４＝２, 则D(ξ)＝(１－２) ２×０．４＋(２－２)２×０．２＋(３－２)２ ×０．４＝０．８．] ４．已知随机变量X 的分布列如下: X －１ ０ １ P １２ １ ３ １ ６ 若Y＝２X＋３,则E(Y)的值为　　　　． 解析:E(X)＝－１２＋ １ ６＝－ １ ３ , 则E(Y)＝E(２X＋３)＝２E(X)＋３＝－２３＋３＝ ７ ３． 答案:７ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７２􀅰 高考总复习　数学 A版 　　　　　　　　学生用书　P１９２ 　　　分布列的性质 [例１]　(１)已知随机变量X 的分布列为P(X＝k)＝ １ ２k ,k＝１,２,􀆺,则P(２＜X≤４)＝ (　　) A．３１６ B． １ ４ C． １ １６ D． ５ １６ [解析]　P(２＜X≤４)＝P(X＝３)＋P(X＝４)＝１ ２３ ＋１ ２４ ＝３１６． [答案]　A (２)若随机变量X 的分布列如下表,则mn的最大 值是 (　　) X ０ ２ ４ P m ０．５ n A．１１６ B． １ ８ C． １ ４ D． １ ２ [解析]　由分布列的性质,得 m＋n＝１２ ,m≥０,n ≥０,所以mn≤ m＋n２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１１６ ,当且仅当m＝n＝１４ 时,等号成立．故mn的最大值是１１６． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 离散型随机变量分布列的性质的应用 (１)利用“概率之和为１”可以求相关参数的值． (２)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围 内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (３)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 已知随机变量ξ的分布列如表: ξ －２ ０ ２ P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|＝２)的值是 (　　) A．２３ B． １ ２ C． １ ４ D． １ ３ 解析:A　[因为a,b,c成等差数列,所以b＝a＋c２ , 根据随机变量分布列的性质:a＋b＋c＝１, 所以３(a＋c) ２ ＝１⇒a＋c＝ ２ ３ , 所以P(|ξ|＝２)＝P(ξ＝２)＋P(ξ＝－２)＝ ２ ３． ] 　　　 离散型随机变量的分布列及数字特征 [例２]　下表为某汽车模型公司共有２５个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示: 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 ８ １２ 米色内饰 ２ ３ (１)若小明从这些模型中随机抽一个模型,记事件 A 为小明取到的模型为红色外观,事件B 为取到的 模型是米色内饰,求P(B),P(B|A),并据此判断 事件A,B 是否相互独立． (２)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖 中,每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模 型．现做出如下假设: 假设１．抽取的情况有三种可能,外观和内饰均同 色、外观和内饰均异色、外观和内饰有一个同色; 假设２．一等奖为６００元,二等奖为３００元,三等奖 为１５０元; 假设３．按抽到的结果的概率大小,概率越小,奖金 越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖． 设奖金为X,写出X 的分布列,并求X 的期望． [解]　(１)红色外观共８＋２＝１０个, ∴P(A)＝１０２５＝ ２ ５ , 米色内饰共２＋３＝５个,∴P(B)＝５２５＝ １ ５ , 红色外观且米色内饰有２个,P(AB)＝２２５ , ∴P(B|A)＝P (BA) P(A)＝ ２ ２５ ２ ５ ＝１５ , ∵P(B)＝P(B|A),∴A,B 相互独立． (２)当外观和内饰均同色,则每种情况中抽２个,概 率为 C２８＋C２１２＋C２２＋C２３ C２２５ ＝４９１５０ , 当外观和内饰均异色,则各种情况抽１个,概率为 C１８C１３＋C１２C１１２ C２２５ ＝４８３００＝ ４ ２５ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７２􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 外观和内饰恰有１个同色,则概率为 C１８C１２＋C１１２C１３＋C１８C１１２＋C１２C１３ C２２５ ＝１５４３００＝ ７７ １５０ , ∵４２５＜ ４９ １５０＜ ７７ １５０ , ∴一等奖:外观和内饰均异色; 二等奖:外观和内饰均同色; 三等奖:外观和内饰恰有１个同色． ∴P(X＝６００)＝４２５ ,P(X＝３００)＝４９１５０ , P(X＝１５０)＝７７１５０ , 其分布列为 X １５０ ３００ ６００ P ７７１５０ ４９ １５０ ４ ２５ ∴E(X)＝６００×４２５＋３００× ４９ １５０＋１５０× ７７ １５０＝２７１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求离散型随机变量均值与方差的关键及注意点 (１)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随 机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列, 正确运用均值、方差公式进行计算． (２)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b,D(aX＋b)＝a２D (X)的应用． 甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目, 每个项目胜方得１０分,负方得０分,没有平局．三 个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军．已 知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为０．５, ０．４,０．８,各项目的比赛结果相互独立． (１)求甲学校获得冠军的概率; (２)用X 表示乙学校的总得分,求 X 的分布列与 期望． 解:(１)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A, B,C,所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC) ＋P(􀭿ABC)＋P(A􀭺BC)＋P(AB􀭺C)＝０．５×０．４× ０．８＋０．５×０．４×０．８＋０．５×０．６×０．８＋０．５×０．４ ×０．２＝０．１６＋０．１６＋０．２４＋０．０４＝０．６． (２)依题可知,X 的可能取值为０,１０,２０,３０,所以, P(X＝０)＝０．５×０．４×０．８＝０．１６, P(X＝１０)＝０．５×０．４×０．８＋０．５×０．６×０．８＋ ０．５×０．４×０．２＝０．４４, P(X＝２０)＝０．５×０．６×０．８＋０．５×０．４×０．２＋ ０．５×０．６×０．２＝０．３４, P(X＝３０)＝０．５×０．６×０．２＝０．０６． 即X 的分布列为 X ０ １０ ２０ ３０ P ０．１６ ０．４４ ０．３４ ０．０６ 期望E(X)＝０×０．１６＋１０×０．４４＋２０×０．３４＋３０ ×０．０６＝１３． 　　　均值与方差中的决策问题 [例３]　(２０２５􀅰株洲模拟)品酒师需要定期接受品 酒鉴别能力测试,测试方法如下:拿出n瓶外观相 同但品质不同的酒让其品尝,要求按品质优劣为它 们排序,经过一段时间,等他等记忆淡忘之后,再让 他品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序, 这称为一轮测试．设在第一次排序时被排为１,２, ３,􀆺,n 的n 种酒,在第二次排序时的序号为a１, a２,a３,􀆺,an,并令X＝∑ n i＝１ |i－ai|,称X 是两次排序 的偏离度．评委根据一轮测试中的两次排序的偏离 度的高低为其评分． (１)当n＝３时,若a１,a２,a３ 等可能地为１,２,３的各 种排列,求X 的分布列; (２)当n＝４时, ①若a１,a２,a３,a４ 等可能地为１,２,３,４的各种排 列,计算X≤２的概率; ②假设某品酒师在连续三轮测试中,都有X≤２(各 轮测试相互独立),你认为该品酒师的鉴别能力如 何,请说明理由． [解]　(１)a１,a２,a３ 的排序共有 A３３＝６种,且每种 排序等可能, 此时X 可取０,２,４, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７２􀅰 高考总复习　数学 A版 又X＝０时,a１,a２,a３ 的排序为１,２,３,P(X＝０) ＝１６ , X＝２时,a１,a２,a３ 的排序为１,３,２或２,１,３,P(X ＝２)＝１３ , X＝４时,a１,a２,a３ 的排序为３,２,１或２,３,１或３, １,２,P(X＝４)＝１２ , 所以X 的分布列为: X ０ ２ ４ P １６ １ ３ １ ２ (２)①a１,a２,a３,a４ 的排序共有 A４４＝２４种,且每种 排序等可能, 而∑ n i＝１ (i－ai)＝０,故i－ai(i＝１,２,３,４)中有偶数个 奇数,故∑ n i＝１ |i－ai|必为偶数, 当X＝０时,a１,a２,a３,a４ 的排序与第一次排序无变 化时, 此时仅有１种排序:１,２,３,４,则P(X＝０)＝１２４ , 当X＝２时,a１,a２,a３,a４ 的排序与第一次排序相比 仅有相邻两个位置变化时, 此时有３种排序:２,１,３,４、１,３,２,４、１,２,４,３,P(X ＝２)＝３２４＝ １ ８ , 所以P(X≤２)＝P(X＝０)＋P(X＝２)＝１２４＋ １ ８ ＝１６ ; ②因为各轮测试相互独立, 所以“连续三轮测试中,都有X≤２”的概率为 １６ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ １２１６＜ ５ １０００ , 所以 １ ２１６ 是一个小概率,这表明仅凭随机猜测得到 三轮测试都有X≤２的结果的可能性很小, 所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力,不是靠 随机猜测． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平, 方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整 体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方 案取舍的重要理论依据．一般先比较均值,若均值 相同,再用方差来决定． 有时也通过比较事件发生概率的值进行决策． 某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B 两类问 题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类 并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同 学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机 抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比 赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得２０分, 否则得０分;B 类问题中的每个问题回答正确得８０ 分,否则得０分． 已知小明能正确回答A 类问题的概率为０．８,能正 确回答B 类问题的概率为０．６,且能正确回答问题 的概率与回答次序无关． (１)若小明先回答A 类问题,记X 为小明的累计得 分,求X 的分布列; (２)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答 哪类问题? 并说明理由． 解:(１)随机变量X 所有可能取值为:０,２０,１００． P(X＝０)＝１－０．８＝０．２;P(X＝２０)＝０．８×(１－０．６) ＝０．３２;P(X＝１００)＝０．８×０．６＝０．４８,故随机变量X 的分布列如下: X ０ ２０ １００ P ０．２ ０．３２ ０．４８ (２)设小明先回答 B 类问题,记Y 为小明的累计 得分． 故随机变量Y 的所有可能取值为:０,８０,１００． P(Y＝０)＝１－０．６＝０．４;P(Y＝８０)＝０．６×(１－０．８) ＝０．１２;P(Y＝１００)＝０．６×０．８＝０．４８． 故E(Y)＝０×０．４＋８０×０．１２＋１００×０．４８＝５７．６． 由(１)知E(X)＝０×０．２＋２０×０．３２＋１００×０．４８ ＝５４．４． 因为E(Y)＞E(X),故应先回答B 类问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７２􀅰 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列