课时57 用样本估计总体-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关５７　用样本估计总体 对应学生用书　P３１３ [基础巩固练] 一、单选题 １．已知一组样本数据１,２,２,３,４,５,则２．５是该组 数据的 (　　) A．极差 B．平均数 C．中位数 D．众数 解析:C　[由题得众数为２,极差为５－１＝４,平 均数为１＋２＋２＋３＋４＋５ ６ ＝ １７ ６ , 中位数为２＋３ ２ ＝２．５． ] ２．某机构调査了１０种食品的卡路里含量,结果如下: １０７,１３５,１３８,１４０,１４６,１７５,１７９,１８２,１９１,１９５．则这 组数据的第２５百分位数和中位数分别是 (　　) A．１３８,１６０􀆰５ B．１３８,１４６ C．１３８,１７５ D．１３５,１６０􀆰５ 解析:A　[将 １０ 个 数 按 从 小 到 大 排 列,因 为 １０×２５％＝２􀆰５,所以第２５百分位数为第３项 １３８;中位数为１４６＋１７５２ ＝１６０􀆰５． ] ３．在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统 计如下表: 班级 人数 平均数 方差 甲 ２０ 􀭺x甲 ２ 乙 ３０ 􀭺x乙 ３ 其中􀭵x甲＝􀭵x乙,则两个班数学成绩的方差为(　　) A．３　　　B．２　　　C．２􀆰６　　　D．２􀆰５ 解析:C　[由题意可知两个班的数学成绩的平均 数为􀭵x＝􀭵x甲 ＝􀭵x乙 ,则两个班数学成绩的方差为s２ ＝ ２０２０＋３０ × [２＋ (􀭵x甲 －􀭵x)２ ]＋ ３０２０＋３０ × [３＋(􀭵x乙－􀭵x)２]＝ ２０２０＋３０×２＋ ３０ ２０＋３０×３＝２􀆰６． ] ４．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作 试验田．这n 块地的亩产量(单位:kg)分别为 x１,x２,􀆺,xn,下面给出的指标中可以用来评估 这种农作物亩产量稳定程度的是 (　　) A．x１,x２,􀆺,xn 的平均数 B．x１,x２,􀆺,xn 的标准差 C．x１,x２,􀆺,xn 的最大值 D．x１,x２,􀆺,xn 的中位数 解析:B　[因为可以用极差、方差或标准差来描 述数据的离散程度,所以要评估亩产量稳定程 度,应该用样本数据的极差、方差或标准差．] ５．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相 等的１００块稻田上种植一种新型水稻,得到各 块稻田的亩产量(单位:kg),并整理得下表: 亩产量 [９００, ９５０) [９５０, １０００) [１０００, １０５０) [１０５０, １１００) [１１００, １１５０) [１１５０, １２００) 频数 ６ １２ １８ ３０ ２４ １０ 根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　) A．１００块稻田亩产量的中位数小于１０５０kg B．１００块稻田中亩产量低于１１００kg的稻田所 占比例超过８０％ C．１００ 块 稻 田 亩 产 量 的 极 差 介 于 ２００kg 至 ３００kg之间 D．１００块稻田亩产量的平均值介于９００kg至 １０００kg之间 解析:C　[对于 A,根据频数分布表可知,６＋ １２＋１８＝３６＜５０, 所以亩产量的中位数不小于１０５０kg,故A错误; 对于B,亩产量低于１１００kg的稻田所占比例 为６＋１２＋１８＋３０ １００ ×１００％＝６６％ ,故B不正确; 对于C,稻田亩产量的极差最大为１２００－９００＝ ３００,最小为１１５０－９５０＝２００,故C正确; 对于 D,由 频 数 分 布 表 可 得,亩 产 量 在[１０５０, １１００]的频数为１００－(６＋１２＋１８＋２４＋１０)＝３０, 所以平均值为 １ １００× (６×９２５＋１２×９７５＋１８× １０２５＋３０×１０７５＋２４×１１２５＋１０×１１７５)＝ １０６７,故 D错误．] ６．获得该校“三好学生”称号,还要求学生在近期 连续３次大型考试中,每次考试的名次都在全 校前５名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、 丁四位同学都获得了“三好学生”称号,四位同学在 近期连续３次大型考试名次的数据分别为 甲同学:平均数为３,众数为２;乙同学:中位数 为３,众数为３; 丙同学:众数为３,方差小于３;丁同学:平均数 为３,方差小于３． 则一定符合推荐要求的同学有 (　　) A．甲和乙 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丁 解析:D　[对于甲同学,平均数为３,众数为２, 则３次考试的成绩的名次为２,２,５,满足要求; 对于乙同学,中位数为３,众数为３, 可举反例:３,３,６,不满足要求; 对于丙同学,众数为３,方差小于３, 可举特例:３,３,６,则平均数为４, 方差s２＝１３× [２×(３－４)２＋(６－４)２]＝２＜３, 不满足要求; 对于丁同学,平均数为３,方差小于３,设丁同学 ３次考试的名次分别为x１,x２,x３, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５４􀅰 第九章　统计与成对数据的统计分析 若x１,x２,x３ 中至少有一个大于等于６, 则方差s２＝１３ [(x１－３)２＋(x２－３)２＋(x３－３)２] ＞３, 与已知条件矛盾,所以x１,x２,x３ 均不大于５,满 足要求．] 二、多选题 ７．某校随机抽取了１００名学生测量体重,经统计, 这些学生的体重数据(单位:kg)全部介于４５至 ７０之间,将数据整理得到如图所示的频率分布 直方图,则 (　　) A．频率分布直方图中a的值为０．０７ B．这１００名学生中体重低于６０kg的人数为６０ C．据此可以估计该校学生体重的第７８百分位 数约为６２ D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为６２．５ 解析:AC　[对于 A 项,因为５×(０．０１＋a＋ ０．０６＋０．０４＋０．０２)＝１,解得a＝０．０７,故 A 项 正确;对于B项,(０．０１＋０．０７＋０．０６)×５×１００ ＝７０人,故 B项错误;对于 C项,因为０．０１×５ ＋０．０７×５＋０．０６×５＝０．７,０．０１×５＋０．０７×５ ＋０．０６×５＋０．０４×５＝０．９,０．７＜０．７８＜０．９, 所以第７８百分位数位于[６０,６５)之间,设第７８ 百分位数为x,则０．０１×５＋０．０７×５＋０．０６×５ ＋(x－６０)×０．０４＝０．７８,解得x＝６２,故 C项 正确;对于 D项,因为０．０１×５×４７．５＋０．０７× ５×５２．５＋０．０６×５×５７．５＋０．０４×５×６２．５＋ ０．０２×５×６７．５＝５７．２５,即估计该校学生体重 的平均数约为５７．２５,故 D项错误．] ８．(２０２５􀅰海南开学考)已知数据x１,x２,x３,􀆺, x１０,满足:xi－xi－１＝１(２≤i≤１０),若去掉x１, x１０后组成一组新数据,则新数据与原数据相比, 下列说法正确的是 (　　) A．中位数不变 B．若x１＝１,则数据x１,x２,x３,􀆺,x１０的第７５百 分位数为７．５ C．平均数不变 D．方差变小 解析:ACD　[原来的中位数与现在的中位数均 为 x５＋x６ ２ ＝ ２x１＋９ ２ ＝x１＋４．５ ,故中位数不变, 故 A 正确;当x１＝１时,数据按从小到大顺序排 列:１,２,３,４,５,６,７,８,９,１０． 因为１０×７５％＝７．５,所以该组数据的第７５百 分位数是第８个数８,故B错误; 由于xi－xi－１＝１(２≤i≤１０),故x２＝xi＋１,x３ ＝x１＋２,􀆺􀆺,x９＝x１＋８,x１０＝x１＋９, 原 来 的 平 均 数 为 x１＋x２＋􀆺＋x１０ １０ ＝ １０x１＋４５ １０ ＝x１＋４．５, 去 掉 x１,x１０ 后 的 平 均 数 为 x２＋x３􀆺＋x９ ８ ＝ ８x１＋３６ ８ ＝x１＋４．５ ,平均数不变,故C正确; 原来的方差为 (x１－x１－４．５)２＋(x２－x１－４．５)２＋􀆺＋(x１０－x１－４．５)２ １０ ＝８．２５, 去掉x１,x１０后的方差为 (x２－x１－４．５)２＋(x３－x１－４．５)２＋􀆺＋(x９－x１－４．５)２ ８ ＝５．２５, 方差变小,故 D正确．] 三、填空题 ９．已知样本数据a１、a２、a３、a４、a５ 都为正数,其方 差s２＝１５ (a２１＋a２２＋a２３＋a２４＋a２５－８０),则样本数 据２a１＋３,２a２＋３,２a３＋３,２a４＋３,２a５＋３的平 均数为　　　　． 解析:根据题意,设样本数据a１、a２、a３、a４、a５ 的 平均数为􀭺x, 其方差s２＝１５ [(a１－􀭺x)２＋(a２－􀭺x)２＋(a３－􀭺x)２ ＋(a４－􀭺x)２＋(a５－􀭺x)２] ＝１５ (a２１＋a２２＋a２３＋a２４＋a２５－２a１􀭺x－２a２􀭺x－２a３􀭺x －２a４􀭺x－２a５􀭺x＋５􀭺x２) ＝１５ (a２１＋a２２＋a２３＋a２４＋a２５－５􀭺x２), 又s２＝１５ (a２１＋a２２＋a２３＋a２４＋a２５－８０), 则有５􀭺x２＝８０,解得􀭺x＝４, 则样本数据２a１＋３、２a２＋３、２a３＋３、２a４＋３、２a５ ＋３的平均数为２􀭺x＋３＝１１． 答案:１１ １０．现有某地一年四个季度的 GDP(亿元),第一季 度 GDP为２３２(亿元),第四季度 GDP为２４１ (亿元),四个季度的 GDP逐季度增长,且中位 数与 平 均 数 相 同,则 该 地 一 年 的 GDP 为 　　　　(亿元)． 解析:设第二季度 GDP 为x 亿元,第三季度 GDP为y亿元,则２３２＜x＜y＜２４１, ∵中位数与平均数相同, ∴x＋y２ ＝ ２３２＋x＋y＋２４１ ４ ,∴x＋y＝４７３, ∴该地一年的GDP为２３２＋x＋y＋２４１＝９４６(亿元)． 答案:９４６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６４􀅰 高考总复习　数学 A版 四、解答题 １１．第８届中国一南亚博览会暨第２８届中国昆明 进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心 隆重开幕．本届南博会以“团结协作、共谋发 展”为主题,共设１５个展馆,展览面积１５万平 方米,吸引８２个国家、地区和国际组织参会, ２０００多家企业进馆参展．某机构邀请了进馆参 展的１００家企业对此次展览进行评分,分值均 在[９０,１００]内,并将部分数据整理如下表: 分数 [９０,９２)[９２,９４)[９４,９６) [９８,１００] 频数 １０ １０ ２０ ２０ (１)估计这１００家企业评分的中位数(保留小 数点后一位); (２)估计这１００家企业评分的平均数与方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． 解:(１)由题意得这１００家企业评分在[９６,９８) 内的频数为１００－１０－１０－２０－２０＝４０, 设这１００家企业评分的中位数的估计值为x, 因为评分在[９０,９６)内的频数之和为１０＋１０＋ ２０＝４０＜５０, 评分在[９０,９８)内的频数之和为４０＋４０＝８０＞５０, 所以x∈[９６,９８),由５０－４０４０ ＝ x－９６ ９８－９６ ,得x＝ ９６．５． (２)这１００家企业评分的平均数的估计值为􀭺x ＝ １１００ (９１×１０＋９３×１０＋９５×２０＋９７×４０＋ ９９×２０)＝９６, 这１００家企业评分的方差的估计值为: s２＝ １１００ [(９１－９６)２×１０＋(９３－９６)２×１０＋ (９５－９６)２×２０＋(９７－９６)２×４０＋(９９－９６)２ ×２０]＝５．８． １２．某蔬果经销商销售某种蔬果,售价为每千克２５ 元,成本为每千克１５元．销售宗旨是当天进货 当天销售．如果当天卖不出去,未售出的全部 降价以每千克１０元处理完．根据以往的销售 情况,按 [０,１００),[１００,２００),[２００,３００), [３００,４００),[４００,５００]进行分组,得到如图所 示的频率分布直方图． (１)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求 量的平均数􀭺x(同一组中的数据用该组区间中 点值代表); (２)该经销商某天购进了２５０千克该种蔬果,假设 当天的需求量为x千克(０≤x≤５００),利润为y 元．求y关于x的函数关系式,并结合频率分布直 方图估计利润y不小于１７５０元的概率． 解:(１)􀭺x＝５０×０􀆰００１０×１００＋１５０×０􀆰００２０ ×１００＋２５０×０􀆰００３０×１００＋３５０×０􀆰００２５× １００＋４５０×０􀆰００１５×１００＝２６５．故该种蔬果日 需求量的平均数为２６５千克． (２)当日需求量不低于２５０千克时,利润y＝ (２５－１５)×２５０＝２５００(元),当日需求量低于２５０ 千克时,利润y＝(２５－１５)x－(２５０－x)×５＝１５x －１２５０(元), 所以y＝ １５x－１２５０,０≤x＜２５０, ２５００,２５０≤x≤５００,{ 由y≥１７５０,得 ２００≤x≤５００,所 以 P(y≥ １７５０)＝P(２００≤x≤５００)＝０􀆰００３０×１００＋ ０􀆰００２５×１００＋０􀆰００１５×１００＝０􀆰７．故估计利 润y不小于１７５０元的概率为０．７． [能力提升练] １３．[多选](２０２５􀅰深圳模拟)若甲组样本数据x１, x２,􀆺,xn(数据各不相同)的平均数为２,方差 为４,乙组样本数据３x１＋a,３x２＋a,􀆺,３xn＋ a的平均数为４,则下列说法正确的是 (　　) A．a的值为－２ B．乙组样本数据的方差为３６ C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同 解析:ABD　[由题意可知,３×２＋a＝４,故a＝ －２,故 A 正确;乙组样本数据方差为９×４＝ ３６,故B正确;设甲组样本数据的中位数为xi, 则乙组样本数据的中位数为３xi－２,所以两组 样本数据的样本中位数不一定相同,故 C 错 误;甲组数据的极差为xmax－xmin, 则乙组数据的极差为(３xmax－２)－(３xmin－２) ＝３(xmax－xmin),所以两组样本数据的样本极 差不同,故 D正确．] １４．某同学掷骰子５次,并记录了每次骰子出现的 点数,得出平均数为２,方差为２．４的统计结 果,则下列点数中一定不出现的是 (　　) A．１ B．２ C．５ D．６ 解析:D　[因为 (６－２)２ ５ ＝３．２ ,根据方差的计算 公式知,方差大于２．４,因此不能出现点数６, 因为 (５－２)２ ５ ＝１．８＜２．４ ,(２－２) ２ ５ ＝０＜２．４ , (１－２)２ ５ ＝０．２＜２．４ , 则点数１,２,５都有可能出现．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６４􀅰 第九章　统计与成对数据的统计分析