课时42 空间直线、平面的平行-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关４２　空间直线、平面的平行 对应学生用书　P２８１ [基础巩固练] 一、单选题 １．(２０２５􀅰郑州、商丘名师联盟联考)过平面α外 的直线l,作一组平面与α相交,若所得交线为 a,b,c,．．．,则这些交线的位置关系为 (　　) A．平行或交于同一点 B．相交于同一点 C．相交但交于不同的点 D．平行 解析:A　[若l∥α,则l∥a,l∥b,l∥c,．．．,∴a∥b ∥c．．．．若l∩α＝P,则a,b,c,．．．交于点P．] ２．下列关于线、面的四个命题中不正确的是 (　　) A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析:C　[垂直于同一条直线的两条直线不一 定平行,可能相交或异面．] ３．如图,四边形 ABDC 是梯 形,AB∥CD,且AB∥平面 α,AC 与平面α 交于点M, M 是AC 的中点,BD 与平 面α交于点N,AB＝４,CD ＝６,则MN 等于 (　　) A．４．５ B．５ C．５．４ D．５．５ 解析:B　[因为 AB∥平面α,AB⊂平面 ABＧ DC,平 面 ABDC∩ 平 面α＝MN,所 以 AB∥ MN．又M 是AC 的中点,所以MN 是梯形ABＧ DC 的中位线,故 MN＝１２ (AB＋CD)＝５．] ４．如图,P 为平行四边形ABＧ CD 所在平面外一点,E 为 AD 的中点,F 为PC 上一 点,当PA∥平面EBF 时, PF FC＝ (　　) A．２３ B． １ ４ C． １ ３ D． １ ２ 解析:D　[连接 AC 交BE 于点G,连接 FG,因为 PA ∥ 平 面 EBF,PA ⊂ 平 面 PAC,平 面 PAC ∩ 平 面 BEF＝FG,所 以 PA∥FG,所 以PFFC＝ AG GC． 又 AD∥BC,E 为AD 的中点,所以AGGC＝ AE BC＝ １ ２ , 所以PF FC＝ １ ２． ] ５．设α,β是两个不重合的平面,下列选项中,是“α ∥β”的充要条件的是 (　　) A．α内存在无数条直线与β平行 B．存在直线l与α,β所成的角相等 C．存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β D．α内存在不共线的三个点到β的距离相等 解析:C　[对于 A,如果α∩β＝l,在α内与l平 行的直线有无数条,但此时α不平行于β,A 错 误;对于B,如果α∩β＝m,在空间必存在直线l 与m 平行的直线,此时l也与两个平面平行,即 直线l与α,β所成的角都等于０,故 B错误;对 于C,如果α∥β,则一定存在平面γ,满足γ∥α 且γ∥β;若γ∥α且γ∥β,则也一定有α∥β,则 “α∥β”的充要条件的是存在平面γ,满足γ∥α 且γ∥β,C正确;对于 D,当α∥β时,α内必存在 不共线的三个点到β的距离相等,但当α与β相 交时,同样可以在α内找到不共线的三点到β的 距离相等,D错误．] ６．如图,在多面体 ABCＧDEFG 中,平面ABC∥平面DEFG, EF∥DG,且AB＝DE,DG＝ ２EF,则 (　　) A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF 解析:A　[如图所示,取 DG 的中点M,连接AM,FM,则 由已 知 条 件 易 证 得 四 边 形 DEFM 是 平 行 四 边 形,∴ DE∥FM,且 DE＝FM．∵ 平面 ABC∥平面 DEFG,平 面ABC∩平面 ADEB＝AB,平面 DEFG∩平 面ADEB＝DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM,又 AB＝DE,∴AB＝FM,∴四边形 ABFM 是平 行四边形,∴BF∥AM,又 BF⊄平面 ACGD, AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０４􀅰 第七章　立体几何与空间向量 二、多选题 ７．如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方 体中,下列叙述正确的有 (　　) A．AH⊥FC B．AC∥BG C．BD 与FC 所成的角为６０° D．AC∥平面BEG 解析:ACD　[将平面展开 图以 ABCD 为 下 底 面,折 起还原为正方体,各顶点的 字母 标 记 如 图 所 示,连 接 DE,则 AH ⊥DE,FC∥ DE,∴AH⊥FC,故 A 正确;AC∥EG,EG与BG 相交,∴AC与BG显然不平行,故B错误; ∵DE∥CF,△BDE 为等边三角形,∴∠BDE ＝６０°,故异面直线BD 与FC 所成的角为６０°, 故C正确;∵AC∥EG,AC⊄平面BEG,EG⊂ 平面BEG,∴AC∥平面BEG,故 D正确．] ８．在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,M,N,Q 分别 是棱D１C１,A１D１,BC的中点,点P 在BD１ 上且 BP＝２３BD１． 则以下四个说法中正确的是 (　　) A．MN∥平面APC B．C１Q∥平面APC C．A,P,M 三点共线 D．平面MNQ∥平面APC 解析:BC　[如图,对于 A,连 接 MN,AC,则 MN ∥AC,连 接 AM, CN,易得 AM,CN 交于 点 P,即 MN ⊂ 平 面 APC,所 以 MN∥ 平 面 APC是错误的;对于B,由 A 项知 M,N 在平面 APC 内,由题易知AN∥C１Q,AN⊂平面APC, 所以C１Q∥平面 APC 是正确的;对于 C,由 A 项知A,P,M 三点共线是正确的;对于 D,由 A 项知 MN⊂平面APC,又 MN⊂平面 MNQ,所 以平面 MNQ∥平面APC 是错误的．] 三、填空题 ９．如图,在长方体 ABCD ＧA１B１C１D１ 中,过 BB１ 的中点E 作一个与平面 ACB１ 平行的平面交AB 于点 M,交BC 于点 N, 则MN AC＝　　　　． 解析:∵平面 MNE∥平面ACB１,平面 MNE∩ 平 面 ABB１A１ ＝ EM,平 面 ACB１ ∩ 平 面 ABB１A１＝B１A,平面 MNE∩平面 CBB１C１＝ EN,平面ACB１∩平面CBB１C１＝B１C,∴由两 个平面平行的性质定理可得EN∥B１C,EM∥ B１A．∴ BE EB１ ＝BMAM ,BE EB１ ＝BNNC ,又∵E 为BB１ 的中点,∴M,N 分别为BA,BC 的中点,∴MN ＝１２AC ,即MN AC ＝ １ ２． 答案:１ ２ １０．在正四棱柱 ABCDＧA１B１C１D１ 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是DD１ 的中点,设Q 是CC１ 上的点,则点Q 满足条件　　　　时,有平面 D１BQ∥平面PAO． 解析:如图所示,当Q 为CC１ 的中点时,因为 P 为DD１ 的 中点,所 以 QB∥PA．连 接 DB,因 为 P,O 分 别 是 DD１, DB的中点,所以D１B∥PO,又 D１B⊄ 平 面 PAO,PO⊂ 平 面 PAO,所以D１B∥平面PAO,又QB⊄平面PAO, PA⊂平面PAO,所以QB∥平面PAO,又D１B∩ QB＝B,所以平面D１BQ∥平面PAO．故当Q 为 CC１ 的中点时,平面D１BQ∥平面PAO． 答案:Q 为CC１ 的中点 四、解答题 １１．如图,四棱锥 P－ABＧ CD 的底面是边长为８ 的正方形,四条侧棱长 均为２ １７．点G,E,F, H 分别是棱PB,AB, CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD,BC∥平面GEFH． (１)证明:GH∥EF; (２)若EB＝２,求四边形GEFH 的面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１４􀅰 高考总复习　数学 A版 解:(１)证明:因为BC∥ 平面GEFH,BC⊂平面 PBC,且 平 面 PBC∩ 平面 GEFH ＝GH,所 以GH∥BC,同理可证 EF∥BC,因此GH∥EF． (２)连接AC,BD 交于点O,BD 交EF 于点K, 连接OP,GK,因为PA＝PC,点O 是AC 的中 点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD,又BD ∩AC＝O,且AC,BD 都在平面ABO 内,所以 PO⊥平面ABCD, 又因为平面GEFH⊥平面ABCD, 且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH, 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK, 所以PO∥GK,且GK⊥平面ABCD,从而GK ⊥EF,所以GK 是梯形GEFH 的高,由AB＝ ８,EB＝２得EB∶AB＝KB∶DB＝１∶４,从而 KB＝１４BD＝ １ ２OB ,即点 K 是OB 的中点．再 由PO∥GK 得GK＝１２PO ,即点G 是PB 的 中点,同理GH＝１２BC＝４ ,由已知可得OB＝４ ２,PO＝ PB２－OB２＝ ６８－３２＝６,所以GK ＝３,故四边形GEFH 的面积S＝GH＋EF２ 􀅰 GK＝４＋８２ ×３＝１８． [能力提升练] １２．如图所示,在正方体ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,点 F 是棱AA１ 上的一个动点, 平面 BFD１ 交棱CC１ 于 点E,则下列命题中不正 确的是 (　　) A．存在点F,使得A１C１∥平面BED１F B．存在点F,使得B１D∥平面BED１F C．对于任意点F,四边形BED１F 均为平行四 边形 D．对于任意点F,三棱锥FＧBB１D１ 的体积均 不变 解析:B　[对 于 A,由 题 意知 B,F,D１,E 四 点 共 面,平 面 BFD１E∩ 平 面 ABB１A１＝BF, 平 面 BFD１E ∩ 平 面 CDD１C１ ＝ D１E,平 面 ABB１A１∥平面CDD１C１, 故BF∥D１E,同理可证BE∥D１F,即四边形 BFD１E 为平行四边形 故 当 F 为 AA１ 的 中 点 时,由 于 BF ＝ AB２＋AF２＝ (D１C１)２＋(EC１)２＝D１E, 可得 AF＝１２AA１＝C１E＝ １ ２CC１ ,则 E 也为 CC１ 的中点, 连接EF,A１C１,而 A１F∥C１E,A１F＝C１E,则 四边形A１FEC１ 为平行四边形, ∴EF∥A１C１,EF⊂平面BED１F,A１C１⊄平面 BED１F,∴A１C１∥平面BED１F,A 正确;对于 B,由于 BD１⊂ 平 面 BED１F,B１D 与BD１ 相 交,因此B１D∥平面BED１F 不成立,B错误; 对于C,由 A 的分析知,四边形BED１F 一定为 平行四边形,故C正确;对于 D,∵AA１∥BB１, AA１⊄平面BB１D１,BB１⊂平面BB１D１, 故AA１∥平面BB１D１,∴点F 到平面BB１D１ 的距离为定值,而△BB１D１ 的面积为定值, ∴三棱锥FＧBB１D１ 的体积为定值,即对于任 意点F,三棱锥FＧBB１D１ 的体积均不变,故 D 正确．] １３．[多选](２０２５􀅰湖南名校模拟)已知点P 是棱 长为 ２ 的正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 的底面 ABCD 上一个动点(含边界),若F 是A１B１ 的 中点,且满足PF∥平面B１CD１,则 (　　) A．FP 所在的平面与正方体表面的交线为五 边形 B．FP 所在的平面与正方体表面的交线为六 边形 C．FP 长度的最大值是２ ２ D．FP 长度的最小值是 ５ 解析:BC　 [由 题 意 知,FP 所在的平面平 行 于 平 面 B１CD１,且 该平面与正方体表面 的交线为如图所示正 六边 形,故 A 错 误,B 正确;又点P的运动轨迹为线段MN,∴FP 长度 的最大值为|FN|＝ BB２１＋BC２＝２ ２,FP 长度 的最小值为|FM|＝ B１F２＋B１B２＋BM２＝ ６,故 C正确,D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１４􀅰 第七章　立体几何与空间向量