课时41 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关４１　空间点、直线、平面之间的位置关系 对应学生用书　P２７９ [基础巩固练] 一、单选题 １．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N ∈b,M∈l,N∈l,则 (　　) A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 解析:A　[∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α． 又 M∈l,N∈l,则l⊂α．] ２．在空间内,可以确定一个平面的条件是 (　　) A．两两相交的三条直线,且有三个不同的交点 B．三条直线,其中的一条与另外两条直线分别 相交 C．三个点 D．两条直线 解析:A　[对于 A,两两相交的三条直线,且有 三个不同的交点,可以确定一个平面,故 A 正 确;对于B,由两条直线异面,第三条直线与它 们分别相交,这样就不能确定一个平面,故 B错 误;对于C,只有不在同一条直线的三个点才能 确定一个平面,故 C 错误;对于 D,两条相交直 线或两条平行直线可以确定一个平面,如果是 两条 异 面 直 线,就 不 能 确 定 一 个 平 面,故 D 错误．] ３．已知平面α∥平面β,直线a⊂α,b⊂β,那么直线 a与直线b的位置关系一定是 (　　) A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交 解析:D　[由平面α∥平面β,直线a⊂α,b⊂β, 知直线a 与直线b 的位置关系是平行或异面, 即两直线不相交．] ４．已知平面α∩平面β＝l,点A,C∈α,点B∈β,且 B∉l,又AC∩l＝M,过A,B,C 三点确定的平 面为γ,则β∩γ是 (　　) A．直线CM B．直线BM C．直线AB D．直线BC 解析:B　[已知过 A,B,C 三点确定的平面为 γ,则AC⊂γ．又AC∩l＝M,则 M∈γ,又平面α ∩平面β＝l,则l⊂α,l⊂β,又因为AC∩l＝M, 所以M∈β,因为B∈β,B∈γ,所以β∩γ＝BM．] ５．在三棱锥AＧBCD 的边AB,BC,CD,DA 上分别 取E,F,G,H 四点,如果EF∩HG＝P,则点P (　　) A．一定在直线BD 上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD 上 D．不在直线AC上,也不在直线BD 上 解析:B　[如图所示,因为EF⊂ 平面ABC,HG⊂平面ACD,EF ∩HG＝P,所以P∈平面ABC, P∈平面ACD．又因为平面ABC ∩平面ACD＝AC,所以P∈AC．] ６．(２０２５􀅰宁德模拟)在长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,A１D 和CD１ 与底面所成的角分别为４５°和 ３０°,则异面直线 A１D 与B１D１ 所成角的余弦 值为 (　　) A．３４　　　B． ２ ４　　　C． ３ ４　　　D． ５ ４ 解析:B　[由题意,可 作 图,则 ∠A１DA ＝ ４５°,∠D１CD＝３０°,设 AD＝１,在 Rt△ADA１ 中,易知AA１＝AD＝ １,在Rt△D１DC中,DD１＝AA１＝１,DD１⊥CD,CD ＝ DD１ tan３０°＝ ３ ,在长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,易 知BD∥B１D１,则 ∠A１DB 为 异 面 直 线 A１D 与 B１D１ 所成的角或其补角,在 Rt△ABD 中,AD２＋ AB２＝BD２,则BD＝２,同理可得A１D＝ ２,A１B＝ ２, 由 余 弦 定 理, 得 cos ∠A１DB ＝ A１D２＋BD２－A１B２ ２A１D􀅰BD ＝２＋４－４ ２× ２×２ ＝ ２４． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０４􀅰 第七章　立体几何与空间向量 二、多选题 ７．给出以下四个命题,其中错误的是 (　　) A．不共面的四点中,其中任意三点不共线 B．若点A,B,C,D 共面,点A,B,C,E 共面,则 点A,B,C,D,E 共面 C．若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c 共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 解析:BCD　[反证法:如果四个点中,有３个点 共线,第４个点不在这条直线上, 根据基本事实２的推论可知,这四个点共面,这 与已知矛盾,故 A 正确; 如图１,A,B,C,D 共面,A,B,C,E 共面,但A, B,C,D,E 不共面,故B错误; 如图２,a,b共面,a,c共面,但b,c异面,故 C 错误; 如图３,a,b,c,d四条线段首尾相接,但a,b,c,d 不共面,故 D错误．] 　　图１　　　　　　　图２　　　　　图３ ８．如图,已知二面角AＧBDＧ C 的大小为π３ ,G,H 分别 是BC,CD 的中点,E,F 分别在AD,AB 上,AEAD＝ AF AB＝ １ ３ ,且AC⊥平面BCD,则以下说法正确 的是 (　　) A．E,F,G,H 四点共面 B．FG∥平面ADC C．若直线FG,HE 交于点P,则P,A,C 三点 共线 D．若△ABD 的面积为６,则△BCD 的面积为３ 解析:ACD　[由AEAD＝ AF AB＝ １ ３ 知EF＝１３BD , 且EF∥BD． 又∵C,H 分别为BC 和CD 的中点,∴GH∥ BD,且CH＝１２BD ,∴EF∥GH, 因此E,F,G,H 共面,A 项正确; 假设FG∥平面ADC 成立,因为平面ABC∩平 面DAC＝AC, 所以 FG∥AC,又G 是BC 的中点,所以 F 是 AB 的中点,与AFAB＝ １ ３ 矛盾,B项不正确; 因为FG⊂平面 ABC,P∈FG,所以 P∈ 平面 ABC,同理P∈平面ADC, 因为 平 面 ABC∩ 平 面 ADC＝AC,所 以 P∈ AC,所以P,A,C 三点共线,因此C正确; 易知 S△BCD ＝cos π ３ 􀅰S△ABD ＝ １ ２ ×６＝３ ,D 正确．] 三、填空题 ９．已知在棱长为a的正方体ABCDＧA′B′C′D′中, M,N 分别为CD,AD 的中点,则 MN 与A′C′ 的位置关系是　　　　　　． 解析:如图,由题意可知 MN∥AC．又因为 AC ∥A′C′, 所以 MN∥A′C′． 答案:平行 １０．如 图,四 边 形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们 所在的平面互相垂直,则 异面直线AP 与BD 所成 的角为　　　　． 解析:如 图,将 原 图 补 成 正 方 体 ABCDＧ QGHP, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０４􀅰 高考总复习　数学 A版 连接AG,GP,则GP∥BD,所以∠APG 或其 补角为异面直线AP 与BD 所成的角, 在△AGP 中,AG＝GP＝AP, 所以∠APG＝π３． 答案:π ３ 四、解答题 １１．如图所示,在棱长为２的正 方体ABCDＧA１B１C１D１ 中, E,F 分 别 是 AB,CC１ 的 中点． (１)求异面直线 A１E 与D１F 所成的角的余 弦值; (２)求三棱锥A１ＧD１EF 的体积． 解:(１)如图,设BB１ 的中点 为 H,连接 HF,EH,A１H, 因为F 是CC１ 的中点, 所 以 A１D１ ∥CB ∥ HF, A１D１＝CB＝HF, 因此四边形A１D１FH 是平行四边形, 所以D１F∥A１H,D１F＝A１H, 因此∠EA１H 是异面直线A１E 与D１F 所成的 角或其补角, 正方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 的 棱 长 为 ２,E 是 AB 的中点, 所以A１E＝A１H＝ ２２＋１２＝ ５, EH＝ １２＋１２＝ ２, 由 余 弦 定 理 可 知,cos ∠EA１H ＝ A１E２＋A１H２－EH２ ２A１E􀅰A１H ＝ ５＋５－２ ２× ５× ５ ＝４５ , 所以异面直线A１E 与D１F 所成的角的余弦值 为４ ５． (２)因为A１D１∥HF,HF⊄平面A１D１E,A１D１ ⊂平面A１D１E, 所以 HF∥平面A１D１E, 因此点 H,F 到平面A１D１E 的距离相等, 即VFＧA１D１E＝VHＧA１D１E＝VD１ＧA１EH , VD１ＧA１EH ＝ １ ３D１A１ 􀅰S△A１EH ＝１３×２× ２ ２－１２×２×１×２－ １ ２×１×１ æ è ç ö ø ÷＝１, 所以三棱锥A１ＧD１EF 的体积为１． １２．如 图,四 棱 柱 ABCD Ｇ A１B１C１D１ 的侧棱AA１⊥底 面ABCD,四边形ABCD 为 菱形,E,F 分别为AA１,CC１ 的中点,M 为AB 上一点． (１)若D１E 与CM 相交于点 K,求证 D１E,CM,DA 三条直线相交于同 一点; (２)若AB＝２,AA１＝４,∠BAD＝ π ３ ,求点D１ 到平面FBD 的距离． 解:(１)证明:∵D１E 与CM 相交于点K, ∴K∈D１E,K∈CM, 而D１E⊂平面ADD１A１,CM⊂平面ABCD, 且平面ADD１A１∩平面ABCD＝AD, ∴K∈AD, ∴D１E,CM,DA 三条直线相交于同一点K． (２)∵四边形ABCD 为菱形,AB＝２, ∴BC＝CD＝２, 而四棱柱的侧棱AA１⊥底面ABCD, ∴CC１⊥底面ABCD, 又∵F 是CC１ 的中点,CC１＝４,∴CF＝２, ∴BF＝DF＝２ ２, 又∵四边形ABCD 为菱形,∠BAD＝π３ , ∴BD＝AB＝２, ∴S△FBD＝ １ ２×２× (２ ２)２－１＝ ７． 设点D１ 到平面FBD 的距离为h,点B 到平 面DD１F 的距离为d, 则d＝２sinπ３＝ ３ , 又∵VD１ＧFBD＝VBＧDD１F, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０４􀅰 第七章　立体几何与空间向量 ∴１３×S△FBD×h＝ １ ３×S△DD１F×d , ∴１３× ７×h＝ １ ３× １ ２×４×２× ３ , 解得h＝４ ２１７ ． 即点D１ 到平面FBD 的距离为 ４ ２１ ７ ． [能力提升练] １３．[多选]在正方体ABCDＧA′B′C′D′中,E,F,G 分别为棱BB′,DD′,CC′上的一点,且D′FD′D＝ B′E B′B＝ CG C′C＝λ ,H 是B′C′的中点,I是棱C′D′ 上的动点,则 (　　) A．当λ＝１３ 时,G∈平面AEF B．当λ＝１２ 时,AC′⊂平面AEF C．当０＜λ＜１时,存在点I,使A,F,H,I四点 共面 D．当０＜λ＜１时,存在点I,使FI,EH,CC′三 条直线交于同一点 解析:BCD　[对于 A,当λ＝１３ 时,如图１,在 CC′取点 M,使 MC′＝１３CC′ ,取CD 中点N, 易知GN∥MD∥EA,GN⊄平面AEF,EA⊂ 平面 AEF,∴GN∥ 平 面 AEF,故 G∉ 平 面 AEF,所以选项 A 错误; 　 对于 B,如 图 ２,当λ＝１２ 时,E,F,G 分 别 为 BB′,DD′,CC′的 中 点,连 接 BG,FC′,EC′, GF,易知四边形BGC′E 与ABGF 均为平行 四边形,则 BG∥AF,BG∥EC′,所 以 AF∥ EC′,则 A,F,E,C′四 点 共 面,AC′⊂ 平 面 AEF,所以选项B正确; 对于C,如图３,延长AF 与A′D′的延长线交于 点 M,连接MH 与C′D′的交点即为点I,则A, F,H,I四点共面,所以选项C正确; 　 对于 D,如图４,连接EH 并延长与CC′的延长 线交于点N,连接FN 与C′D′的交点即为点 I,则存在点I,使FI,EH,CC′三条直线交于同 一点N,所以选项 D正确．] １４．[多选](２０２５􀅰揭阳摸底)a,b为空间中两条互 相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a,b都垂直,斜边AB 以直 线AC 为旋转轴旋转,下列结论中正确的是 (　　) A．当直线 AB 与a 成 ６０°角时,AB 与b 成 ３０°角 B．当直线 AB 与a 成 ６０°角时,AB 与b 成 ６０°角 C．直线AB 与a 所成角的最小值为４５° D．直线AB 与a 所成角的最大值为６０° 解析:BC　 [由 题 意,AB 是以AC 为轴,BC 为底面 半径的圆锥的母线,又AC ⊥a,AC⊥b,AC⊥圆锥底 面,所以在底面内可以过点B,作BD∥a,交底 面圆C 于点D,如图所示,连接 DE,则 DE⊥ BD,所以DE∥b,连接AD,设BC＝１,在等腰 三角形ABD 中,AB＝AD＝ ２,当直线AB 与 a 成６０°角时,∠ABD＝６０°,故BD＝ ２,又在 Rt△BDE 中,BE＝２,所以DE＝ ２,过点B 作 BF∥DE,交圆C 于点F,连接 AF,EF,所以 BF＝DE＝ ２,所以△ABF 为等边三角形,所 以∠ABF＝６０°,即 AB 与b 成６０°角,故 B 正 确,A 错误;当a∥BC 或a 与BC 重合时,可知 C正确;很明显,可以满足平面ABC⊥直线a, 所以 直 线 AB 与a 所 成 角 的 最 大 值 为９０°,D 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０４􀅰 高考总复习　数学 A版