课时40 球的切，接问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关４０　球的切、接问题 对应学生用书　P２７８ 一、单选题 １．已知圆柱的高为１,它的两个底面的圆周在直径 为２的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 (　　) A．π　　　B．π２　　　C． ３π ４　　　D． π ４ 解析:C　 [设 圆 柱 的 底 面 半 径 为r,则r２ ＋ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１２,解得r＝ ３２ 或r＝－ ３２ (舍去),所以 圆柱的体积V＝πr２h＝π× ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ×１＝３π４． ] ２．已知圆锥的高为８,底面圆的半径为４,顶点与 底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表 面积为 (　　) A．１００π B．６８π C．５２π D．５０π 解析:A　[设球的半径为r,则r２＝(８－r)２＋ ４２,解得r＝５,所以球的表面积为４πr２＝１００π．] ３．如图,已知球O 是棱长为１的 正 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 的 内切球,则平面 ACD１ 截球O 的截面面积为 (　　) A．６π６ B． π ３ C．π６ D． ３π ３ 解析:C　[平面ACD１ 截球 O 的 截 面 为 △ACD１ 的 内 切圆, ∵正方体棱长为１, ∴AC＝CD１＝AD１＝ ２． ∴内切圆半径r＝tan３０°􀅰AE ＝ ３３× ２ ２＝ ６ ６． ∴S＝πr２＝π×１６＝ π ６． ] ４．在直三棱柱 ABCＧA１B１C１ 中,AB⊥BC,AB＝ BC＝AA１＝４,点P 为B１C１ 的中点,则四面体 PABC的外接球的体积为 (　　) A．４１ ４１６ π B． ４１ ４１ ３ π C．４１ ４１２ π D．４１ ４１π 解析:A　 [如 图,分 别 取 AC,A１C１,BC 的中点M,N, Q,连接 MN,PQ,MQ,NP, 则 MN ∥CC１ ∥PQ,因 为 CC１⊥平面 ABC,所以 MN ⊥ 平 面 ABC,PQ ⊥ 平 面 ABC,因为AB⊥BC,所以 M 即为△ABC 外接 圆的圆心,所以四面体PABC 的外接球的球心 O 在MN 上,设OM＝x,四面体PABC 的外接 球的半径为R,则OA＝OP＝R,AM＝１２AC＝２ ２,MQ＝NP＝１２AB＝２ ,则R２＝８＋x２＝(４－ x)２＋４,解得x＝３２ ,所以R＝ ８＋９４＝ ４１ ２ ,所 以四面体 PABC 的外接 球 的 体 积 为 ４３πR ３＝ ４１ ４１ ６ π． ] ５．已知三棱锥PＧABC 的四个顶点在球O 的球面 上,PA＝PB＝PC,△ABC 是边长为２的正三 角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF＝ ９０°,则球O 的体积为 (　　) A．６π B．６π C．２４π D．８ ６π 解析:A　[设PA＝PB＝PC＝２x,E,F 分别为 PA,AB 中点,∴EF∥PB,且EF＝１２PB＝x , ∵△ABC 为边长为２的等边三角形,∴CF＝ ３,又∠CEF＝９０°,∴CE＝ ３－x２,AE＝１２PA 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０４􀅰 高考总复习　数学 A版 ＝x,在 △AEC 中,由 余 弦 定 理 cos ∠EAC＝ x２＋４－(３－x２) ２×２×x ,作 PD⊥AC 于 D,∵PA＝ PC,∴D 为AC 中点, 又cos∠EAC＝ADPA＝ １ ２x ,∴ x２＋４－３＋x２ ４x ＝ １ ２x ,解 得 x ＝ ２２ ,∴PA＝PB＝PC＝ ２,又AB＝BC＝AC＝２,∴PA,PB,PC 两两 垂直,即三棱锥PＧABC 是以PA,PB,PC 为棱 的正 方 体 的 一 部 分;所 以 球 O 的 直 径 ２R＝ ２＋２＋２＝ ６,解得R＝ ６２ ,则球O 的体积V＝ ４ ３πR ３＝４３π× ６ ６ ８ ＝６π． ] ６．在三棱锥PＧABC 中,PA⊥平面ABC,AB＝BC ＝CA＝２ ２,且三棱锥PＧABC 的体积为８３ ,若 三棱锥PＧABC 的四个顶点都在同一球面上,则 该球的表面积为 (　　) A．４π B．１６π３ C．８π D．１６π 解析:D　[∵三棱锥PＧABC 的体积为８３ , ∴１３× ３ ４× (２ ２)２×PA＝８３ , ∴PA＝４ ３３ ,将三棱锥补成三棱柱,可得球心在 三棱柱的中心, 球心到底面的距离d 等于三棱柱的高PA 的一 半,即２ ３ ３ , ∵△ABC 是边长为２ ２的正三角形, ∴△ABC 外接圆的半径r＝２ ６３ , ∴球O 的半径为 R＝ d２＋r２＝ ２ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ６ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２, ∴球O 的表面积为４π×２２＝１６π．] 二、多选题 ７．正四棱锥PＧABCD 的底面边长为２,外接球的 表面积为２０π,则正四棱锥PＧABCD 的高可能 是 (　　) A．５＋１ B．５－１ C．５＋ ３ D．５－ ３ 解析:CD　[依题意外接 球 的 球 心 可 能 在 圆 锥 内,也可能在圆锥外,如 果在锥内如图: 其中 O１ 是正方 形 ABＧ CD 的中心,O 是外接球的球心, ∵PＧABCD 是正四棱锥,∴PO１⊥平面ABCD, BO１＝ ２, 设外接球的半径为R,则BO＝PO＝R,４πR２＝ ２０π,R＝ ５, 在 Rt△BOO１ 中,OO１＝ BO２－BO２１＝ ３,PO１ ＝PO＋OO１＝ ５＋ ３; 如果在锥外,如图: PO１＝PO－OO１＝ ５－ ３．] ８．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M,N,若线段MN 的最小值为 ３－１,则下列说 法中正确的是 (　　) A．正方体的外接球的表面积为１２π B．正方体的内切球的体积为４３π C．正方体的棱长为２ D．线段MN 的最大值为２ ３ 解析:ABC　[设正方体的棱长为a, 则正方体外接球的半径为体对角线长的一半, 即 ３ ２a ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０４􀅰 第七章　立体几何与空间向量 内切球的半径为棱长的一半,即１ ２a． ∵M,N 分别为外接球和内切球上的动点, ∴MNmin＝ ３ ２a－ １ ２a＝ ３－１ ２ a＝ ３－１ , 解得a＝２,即正方体的棱长为２,外接球的半径 R＝ ３,内接球半径r＝１, ∴正方体外接球的表面积为４π×(３)２＝１２π, 内切 球 的 体 积 为４π ３π×１ ３ ＝ ４３π ,故 A,B,C 正确; 线段 MN 的最大值为 ３＋１,故 D错误．] 三、填空题 ９．在正四棱台ABCDＧA１B１C１D１ 中,上、下底面边长 分别为３ ２,４ ２,该正四棱台的外接球的表面积 为１００π,则该正四棱台的高为　　　　　． 解析:设正四棱台的外接球的半径为R,则４πR２ 图１ ＝１００π,解 得 R＝５,连 接AC、BD 相交于点E, 连 接 A１C１,B１D１ 相 交 于点 F,连 接 EF,则 球 心 O 在 直 线EF 上,连 接OB,OB１,如图１,当球心O 在线段EF 上时, 则OB＝OB１＝R＝５,因为上、下底面边长分别 图２ 为３ ２,４ ２,所以 BE＝ ４,B１F＝３,由勾股定理得 OF ＝ OB２１－B１F２ ＝４, OE＝ OB２－BE２ ＝３,此 时该正四棱台的高为３＋４＝７,如图２,当球心O 在FE 的延长线上时, 同 理 可 得 OF ＝ OB２１－B１F２ ＝ ４,OE ＝ OB２－BE２＝３, 此时该正四棱台的高为４－３＝１． 答案:１或７ １０．(２０２５􀅰安徽阜阳模拟)已知四棱锥SＧABCD, SA⊥平面ABCD,AD⊥DC,SA＝３ ３,BC＝ ４,二面角SＧBCＧA 的大小为π３． 若点S,A,B, C,D 均在球O 的表面上,则该球O 的表面积 为　　　　． 解析:因为AD⊥DC,所以∠ADC＝９０°, 因为点S,A,B,C,D 均在球O 的表面上, 所以四边形 ABCD 内接于圆,所以∠ABC＝ ９０°,所以BC⊥AB, 因为SA⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD,所 以SA⊥BC, 又 AB⊥BC,SA∩AB＝A,SA,AB⊂ 平 面 SAB,所以BC⊥平面SAB, SB⊂平面SAB,所以BC⊥SB,又AB⊥BC, 所以二面角SＧBCＧA 的平面角为∠SBA,所以 ∠SBA＝π３ , 在 Rt△ABS 中,因为SA＝３ ３,所以 AB＝ SA tanπ３ ＝３ ３ ３ ＝３, 由余弦定理可得:cos６０°＝SB ２＋AB２－SA２ ２􀅰SB􀅰AB ＝SB ２＋９－２７ ６􀅰SB ＝ １ ２ , 即SB２－３SB－１８＝０,即 SB＝６ 或 SB＝ －３(舍 去), 所 以 SB ＝６,所 以 Rt △ABC 外接圆的直径为: AC＝ AB２＋BC２＝５, 即四边形ABCD 外接圆的直径为５, 因为SA⊥平面ABCD,所以,四棱锥SＧACD 外接球的半径为: R＝ １２AC æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １２SA æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２５４＋ ２７ ４＝ １３ 所以四面体SＧABCD 外接球的表面积为S＝ ４π(１３)２＝５２π． 答案:５２π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０４􀅰 高考总复习　数学 A版