课时39 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

第七章　立体几何与空间向量 课时冲关３９　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 对应学生用书　P２７６ [基础巩固练] 一、单选题 １．下面关于空间几何体叙述不正确的是 (　　) A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这 两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形,其余各面是三角形的几 何体是棱锥 D．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何 体是棱柱 解析:C　[对于 A,正四棱柱的侧面都是长方 形,底面是正方形,因此它是长方体,A 正确;对 于B,在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这 两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两 点的连线平行于轴时才是母线,B正确．对于 C, 有一个面是多边形,其余各面是有公共顶点的 三角形的几何体才是棱锥,C错误;对于D,根据 棱柱的定义,有两个面平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行的几何体是棱柱,D正确．] ２．已知圆锥PO,其轴截面(过圆锥旋转轴的截面) 是底边长为６m,顶角为２π３ 的等腰三角形,该圆 锥的侧面积为 (　　) A．６πm２ B．６ ３πm２ C．３ ３πm２ D．１２ ３πm２ 解析:B　[如图所示, 设圆锥的半径为r,母线为l,由题意知,r＝OB＝ １ ２AB＝３ ,在 Rt△POB 中,∠BPO＝１２∠BPA＝ １ ２× ２π ３＝ π ３ ,所以l＝BP＝ OB sinπ３ ＝ ３ ３ ２ ＝２ ３, 所以圆锥侧面积为πrl＝π×３×２３＝６ ３πm２．] ３．(２０２４􀅰天津卷)一个五面体 ABCＧDEF．已知AD∥BE∥CF, 且两两之间距离为１．AD＝１,BE ＝２,CF＝３,则该五面体的体积 为 (　　) A．３６ B． ３ ３ ４ ＋ １ ２ C．３２ D． ３ ３ ４ － １ ２ 解析:C　[用一个完全相同 的五 面 体 HIJＧLMN (顶 点 与五面体ABCＧDEF 一一对 应)与 该 五 面 体 相 嵌,使 得 D,N;E,M;F,L 重合, 因为AD∥BE∥CF,且两两 之间距离为１．AD＝１,BE＝２,CF＝３, 则形成的新组合体为一个三棱柱, 该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为 １的等边三角形,侧棱长为１＋３＝２＋２＝３＋１＝４, VABCＧDEF＝ １ ２VABCＧHIJ ＝ １ ２× １ ２×１×１× ３ ２ ×４ ＝ ３２． ] ４．如图所示的几何体是从棱长为２ 的正方体中截去到正方体的某 个顶点的距离均为２的几何体 后的剩余部分,则该几何体的表 面积为 (　　) A．２４－３π B．２４－π C．２４＋π D．２４＋５π 解析:B　[由题意知该几何体是从棱长为２的 正方体中截去以正方体某个顶点为球心,２为半 径的１ ８ 球后的剩余部分,则其表面积＝６×２２－ ３×１４×π×２ ２＋１８×４×π×２ ２＝２４－π．] ５．甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆 心角之和为２π,侧面积分别为S甲 和S乙 ,体积 分别为V甲 和V乙 ．若 S甲 S乙 ＝２ ,则V甲 V乙 (　　) A．５ B．２ ２ C．１０ D．５ １０４ 解析:C　[设母线长为l,甲圆锥底面半径为r１, 乙圆锥底面圆半径为r２, 则 S甲 S乙 ＝ πr１l πr２l ＝ r１ r２ ＝２, 所以r１＝２r２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９３􀅰 高考总复习　数学 A版 又因为 ２πr１ l ＋ ２πr２ l ＝２π , 则 r１＋r２ l ＝１ , 所以r１＝ ２ ３l ,r２＝ １ ３l , 所以甲圆锥的高h１＝ l２－ ４ ９l ２＝ ５３l , 乙圆锥的高h２＝ l２－ １ ９l ２＝２ ２３l , 所以 V甲 V乙 ＝ １ ３πr ２ １h１ １ ３πr２ ２h２ ＝ ４ ９l ２× ５３l １ ９l ２×２ ２３l ＝ １０．] ６．魔方,又叫鲁比克方块,最早 是由匈牙利布达佩斯建筑学 院厄尔诺 􀅰 鲁比克教授于 １９７４年发明的机械益智玩 具．魔方拥有竞速、盲拧、单 拧等多种玩法,风靡程度经 久未衰,每年都会举办大小赛事,是最受欢迎的 智力游戏之一,一个三阶魔方,由２７个单位正 方体组成,如图是把魔方的中间一层转动了 ４５°,则该魔方的表面积是 (　　) A．５４ B．１０８－３６ ２ C．１６２－７２ ２ D．８１－７２ ２ 解析:C　[如图,转动了４５°后, 此时魔方相对原来魔方多出了 １６个小三角形的面积, 显然小三角形为等腰直角三角 形,直角边为x,则斜边为 ２x, 故(２＋ ２)x＝３,可得x＝３－３ ２２ 由几何 关 系 得:阴 影 部 分 的 面 积 为 S＝ １２ × ３－３ ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２７４－ ９ ２ ２ , 所以,所 求 面 积 S′ ＝６×３×３＋１６× ２７ ４－ ９ ２ ２ æ è ç ö ø ÷＝１６２－７２ ２．] 二、多选题 ７．如 图,在 直 三 棱 柱 ABCＧ A１B１C１ 中,AB＝２,BC＝３, CC１＝４,且 AB⊥BC,P 为 BC１ 的中点,则 (　　) A．三棱锥 AＧBCC１ 的体积 为４ B．三棱锥CＧAPC１ 的体积为 ５ ２ C．四棱锥C１ＧABB１A１ 的体积为８ D．三棱锥C１ＧABC 的表面积为１４＋２ １３ 解析:ACD　[对 A:VAＧBCC１＝VC１ＧABC＝ １ ３×CC１ ×S△ABC＝ １ ３×４× １ ２×２×３＝４ ,故 A 正确;对 B:VCＧAPC１ ＝VAＧPCC１,而三棱锥 AＧBCC１ 与三棱 锥AＧPCC１ 有共同的高, ∵P 为BC１ 的 中 点,∴S△PCC１ ＝ １ ２S△BCC１ ,∴ VAＧPCC１＝ １ ２VAＧBCC１＝ １ ２×４＝２ ,故B错误;对C: VC１ＧABB１A１＝VABCＧA１B１C１ －VC１ＧABC ＝ ２ ３VABCＧA１B１C１ ＝２３× １ ２×２×３×４＝８ ,故 C正确;对 D:由题 可知,AC＝ １３,AC１＝ ２９,BC１＝５,∴AB２＋ BC２１＝AC２１, ∴△ABC１ 是直角三角形,AB⊥BC１, ∴三棱锥C１ＧABC 的表面积为:S△ABC＋S△BCC１ ＋S△ACC１＋S△ABC１ ＝１２×２×３＋ １ ２×３×４＋ １ ２× １３×４＋ １ ２× ２×５＝１４＋２ １３,故 D正确．] ８．(２０２５􀅰湖南月考)如图,AD 与BC分别为圆台上、下底面 直径,AD∥BC,若 AB＝３, AD＝２,BC＝４,则 (　　) A．圆台的表面积为１４π B．圆台的体积为１４ ２π C．圆台的中截面(过圆台高的中点且平行底面 的截面)面积为５π ２ D．从点A 经过圆台的表面到点C 的最短距离 为３ ３ 解析:AD　[对 A 选项:圆台的 表面积为π×１２＋π×２２＋π×(１ ＋２)×３＝１４π,故 A 正确;对于 B选项:圆台的体积为１３ (π×１２ ＋π×２２＋π× １２×２２)×２ ２＝１４ ２π３ ,故B错 误;对于C选项:易知圆台的轴截面 ABCD 为 等腰梯形,其中位线为中截面圆的直径,所以中 截面圆的半径长为２＋４ ４ ＝ ３ ２ ,所以中截面圆的 面积为π× ３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝９π４ ,故C错误;对于D选项: 将圆台沿着轴截面ABCD 切开,将圆台的侧面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９３􀅰 第七章　立体几何与空间向量 的一半展开如图所示,延长BA、CD 交于点M, 在圆台的轴截面等腰梯形ABCD 中,AD∥BC, AD＝１２BC ,易 知 A,D 分 别 为BM,CM 的 中 点,所以AM＝DM＝AB＝３,设∠AMD＝θ,则 AD ︵ ＝３θ＝π,则θ＝π３ ,在△ACM 中,AM＝３, CM＝６,∠AMD＝ π３ ,由 余 弦 定 理 可 得 AC ＝ AM ２ ＋CM ２ －２AM􀅰CMcosπ３ ＝ ３２＋６２－２×３×６×１２＝３ ３ ,因此,从点 A 经过圆台的表面到点C 的最短距离为３ ３,故 D正确．] 三、填空题 ９．底面边长为４的正四棱锥被平行于其底面的平 面所截,截去一个底面边长为２,高为３的正四 棱锥,所得棱台的体积为　　　　． 解析:由 题 意 易 求 正 四 棱 锥 的 高 为 ６,V棱台 ＝ V大四棱锥－V小四棱锥＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ １０．若正△ABC 用斜二测画法画出的水平放置图 形的直观图为△A′B′C′,当△A′B′C′的面积为 ３时,△ABC的面积为　　　　　． 解析:△A′B′C′是正△ABC 的斜二测画法的 水平放置图形的直观图,如图所示, 设B′C′＝a,则△A′B′C′的面积为１２ 􀅰a􀅰O′A′􀅰 sin４５°＝ ３,∴O′A′＝２ ６a ,△ABC 的面积为 S＝１２a 􀅰OA＝１２a 􀅰２􀅰O′A′＝a􀅰２ ６a ＝２ ６． 答案:２ ６ 四、解答题 １１．如图,AB 是圆柱的底面直 径,AP 是圆柱的母线且AB ＝AP＝４,点C 是圆柱底面 圆周上的点． (１)求圆柱的侧面积和体积; (２)若AC＝２,D 是PB 的中 点,点 E 在 线 段 AP 上,求 CE＋DE 的最小值． 解:(１)由题知,底面半径为２,母线长为４, 所以圆柱的侧面面积S＝２πrl＝１６π, 圆柱的体积V＝πr２l＝１６π． (２)记底面圆心为 O,连 接OC, 因为 底 面 半 径 为 ２,AC ＝２, 将 三 角 形 APC 旋 转 到 APC′,使得APC′和轴截面PAB共面,如图: 则OC′＝２＋２＝４,OD＝２, 当C′,E,D 三点共线时,CE＋DE 取得最小值 ４２＋２２＝２ ５． １２．如图,矩形O′A′B′C′是用 斜二测画法画出的水平放 置 的 一 个 平 面 四 边 形 OABC 的直观图,其中O′A′＝３,O′C′＝１． (１)求平面四边形OABC的面积; (２)若该四边形OABC以OA 为轴,旋转一周, 求旋转形成的几何体的体积和表面积． 解:(１)因为S原图形 ＝２ ２S直观图 , 所以S四边形OABC＝２ ２S直观图 ＝６ ２． (２)平 面 四 边 形 OABC 如 图 所 示,在 Rt △ODC 中, 有OC２＝OD２＋CD２＝(２ ２)２＋１２＝９, 所以OC＝３,所以AB＝３． 如图,分别过点B,C 作OA 及其延长线的垂线,垂足为 E,F． 矩形FEBC 绕OA 及其延长线旋转一周得到 一个底面半径r＝OD＝２ ２,母线l１＝BC＝３ 的圆柱; Rt△BEA 绕OA 旋转一周得到一个底面半径 r＝OD＝２ ２,母线l２＝AB＝３,高h１＝AE＝１ 的圆锥; Rt△CFO 绕OA 及其延长线旋转一周得到一 个底面半径r＝OD＝２ ２,母线l３＝OC＝３,高 h２＝OF＝CD＝１的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底 的圆 锥,再 加 上 一 个 同 底 的 圆 锥 构 成 的 组 合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体 积,减去挖去的圆锥体积,加上组合的圆锥的 体积, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００４􀅰 高考总复习　数学 A版 所以旋 转 形 成 的 几 何 体 的 体 积V＝πr２l１ － １ ３πr ２l２＋ １ ３πr ２l３＝π×(２ ２)２×３－ １ ３π× (２ ２)２×１＋１３π× (２ ２)２×１＝２４π． 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积, 加上两个圆锥的侧面积之和, 所以S＝２πrl１＋πrl２＋πrl３＝２π×２ ２×３＋π ×２ ２×３＋π×２ ２×３＝２４ ２π． [能力提升练] １３．[多选]如图,四边形ABＧ CD 为正方形,ED⊥平面 ABCD,FB∥ED,AB＝ ED＝２FB,记三棱锥EＧ ACD,FＧABC,FＧACE 的 体积 分 别 为 V１,V２,V３ 则 (　　) A．V３＝２V２ B．V３＝V１ C．V３＝V１＋V２ D．２V３＝３V１ 解析:CD　[设 AB＝ ED＝２FB＝２a,因为ED ⊥ 平 面 ABCD,FB∥ ED,则V１＝ １ ３ 􀅰ED􀅰 S△ACD ＝ １ ３ 􀅰２a􀅰１２ 􀅰 (２a)２＝４３a ３, V２＝ １ ３ 􀅰FB􀅰S△ABC ＝ １ ３ 􀅰a􀅰１２ 􀅰(２a)２＝ ２ ３a ３,连接BD 交AC 于点M,连接EM,FM, 易得BD⊥AC, 又ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则ED ⊥AC,又 ED ∩BD ＝D,ED,BD ⊂ 平 面 BDEF,则AC⊥平面BDEF, 又BM＝DM＝１２BD＝ ２a ,过F 作FG⊥DE 于 G,易得四边形BDGF为矩形,则FG＝BD＝２ ２ a,EG＝a,则EM＝ (２a)２＋(２a)２＝ ６a,FM＝ a２＋(２a)２＝ ３a,EF＝ a２＋(２ ２a)２＝３a, EM２＋FM２ ＝EF２,则 EM ⊥FM,S△EFM ＝ １ ２EM 􀅰FM＝３ ２２a ２,AC＝２ ２a, 则V３＝VAＧEFM ＋VCＧEFM ＝ １ ３AC 􀅰S△EFM ＝２a３, 则２V３＝３V１,V３＝３V２,V３＝V１＋V２,故 A、B 错误;C、D正确．] １４．[多选]中国古代数学的瑰 宝«九章算术»中记载了一 种称为“曲池”的几何体, 该几何体是上、下底面均 为扇环形的柱体(扇环是 指圆 环 被 扇 形 截 得 的 部 分)．现有一个如图所示的曲池,AA１ 垂直于底 面,AA１＝５,底面扇环所对的圆心角为 π ２ ,弧 AD 的长度是弧BC 长度的３倍,CD＝２,则下 列说法正确的是 (　　) A．弧AD 长度为３２π B．曲池的体积为１０π３ C．曲池的表面积为２０＋１４π D．三棱锥AＧCC１D 的体积为５ 解析:ACD　[设弧AD 所在圆的半径为R,弧 BC 所在圆的半径为r, 因为弧 AD 的长度是弧BC 长度的３倍,π２R ＝３×π２r ,即R＝３r, ∴CD＝R－r＝２r＝２,∴r＝１,R＝３, 所以弧AD 的长度为３２π ,故 A 正确; 曲池的体积为V＝ １４πR ２－１４πr ２æ è ç ö ø ÷ ×AA１＝ １ ４π×３ ２－１４π×１ ２æ è ç ö ø ÷×５＝１０π,故B错误; 曲 池 的 表 面 积 为 １ ４πR ２－１４πr ２æ è ç ö ø ÷ × ２ ＋ １ ２πR＋ １ ２πr æ è ç ö ø ÷×５＋２×５×２ ＝ １４π×３ ２－１４π×１ ２æ è ç ö ø ÷×２＋ １２π×３＋ １ ２π×１ æ è ç ö ø ÷× ５＋２０＝２０＋１４π,故C正确; 三棱锥AＧCC１D 的体积为 １ ３× １ ２×２×３×５＝ ５,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０４􀅰 第七章　立体几何与空间向量