课时37 数列求和&课时38 数列中的综合问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

第六章数列 课时冲关37 数列求和 对应学生用书P272 [基础巩固练] 解：(1)设等差数列{a,}的公差为d,等比数列 1.(2025·重庆模拟)已知数列{a,}的前n项和S. {b}的公比为q, 31-3(n∈N) ,a1=3,b1=1,b3+a2=9,a5-as=2b2, ∴g+3+d=9,2d=2q (1)求数列{a,}的通项公式： g=一3或q=2,:{b,}是正项等比数列， 1 ∴.d=2,9=2, (2)设数列 {/1oga+1+√/1ogan 的前n项和为 ∴an=2n+1,b.=2"-1 T.,若T.=9,求n的值. (2)由1)知S.=m3+2+D=n+2. 解：)当≥2时a.=5-S1=3)3_323 2 2 2 =3,由n=1时山，=S=3,3-3符合上式. c=日2a为寺). 2 2"-1(n为偶数) ∴.数列{an}的通项公式为an=3”: 1-[-吉）十（号-）++(2）】 (2)由(1)得 +(2+23+2+…+22-1) 1oga+1+√/1og34。 1 =1-2m+1 2-22m-1X4 1 1 1-4 -十1-m, √1og3+√10g3”√n++a = 1+22m+t 1 ∴.T.=√2-T+5-√2+…+√n十1-√m= 3 2n+1 [能力提升练] √n+1-1,则T.=√n+1-1=9,解得n=99. 4.已知在数列{an}中，a1=1,a+1一(n十1)a,=1. 2.已知{a.}为等差数列，{b}为公比大于0的等比 (1)求数列{a,)的通项公式； 数列，且b1=1,b2十b2=6,a3=3,a1十2as=b. (1)求{b.}的通项公式； (2)若数列b,}满足b,=i血2a+1 十cos(a.), (2)记c,=(2an一1)·b.1,求数列{cn}的前n 求数列2024的前2024项和T2 项和S. 解：(1)设等差数列{a,}的公差为d, 解(1)因为a+1-(n十1)a,=1,可得-8 n+1 n 等比数列{bn}的公比为g(q>0),由题设可得： 1 1 1 b(g+q2)=6 n(n+1)n+1' la,+d+2(3+3d)=b,g 即/9十g=6 所以，当≥2时号-号+号一受十…+ n r8+d+23+3d)=g廊得亿二2 =1-+-+…十 1 d=1' n-1=i-2 23 n-1 n 所以an=as十(n-3)d=n,b.=bg1=2-1 (2)由(1)可得：c.=(2n-1)2”, .S.=1×2+3×2+5×2++(2m-1)·2, 又因为a1=1,则a.=21-1: 又2S。=1×22+3×23+…+(21-3)·2"+ 当1=1时，a1=1成立，所以a.=21-1. (2n-1)·2+1, 两式相减得：一S.=2十2(22+2十…十2") (2)由1)知，6，=sin(受a)十cos(a,) (2n-1)·2+1 sin(2+1)+cos[x (2n-1)]=cosm =2+2×20-2g）-(2m-1D·21, 1-2 cos2n, 整理得：Sn=(2n-3)·21十6. 所以T2n=b1十b2十…十b2m=c0sr+Cos2π+ 3.(2025·吴忠模拟)已知等差数列{am}的前n项 +c0s(2n-1)π+c0s21π-[c0s2π+c0s4π+… 和为S,数列{bn}为正项等比数列，且a1=3,b +cos(4n-2)π+cos4nπ]， 因为c0s[(2n-1)π]+cos2nπ=-cos2nπ+ =1,b3十a2=9,as-a=2b2. c0s2nπ=0，c0s2nπ=1， (1)求数列{a.}和{b.}的通项公式： 于是(cosπ+cos2π)+…+[cos(2n-1)元+ c0s2nπ]=0， (2)若c.= 是(n为奇数)·设c的前n项和为 c0s2π+c0s4x+…+c0s[(4n-2)π]+c0s4nr=21, bn(n为偶数) 所以Tn=一21，所以数列{b}的前2024项的 T.,求Ta 和为-2024. ·395· 高考总复习数学A版 课时冲关38 数列中的综合问题 对应学生用书P274 [基础巩固练] 解：(1)a+1十a.=2n十7①， 1.记数列{a.}的前n项和为T。,且a1=1,an .n≥2，an十am-1=2n十5②， T.-1(n≥2). 当n≥2时，①一②得aw+1一am-1=2, (1)求数列{a.}的通项公式； ∴.{a.}的奇数项与偶数项各自成等差数列，且 (2)设m为整数，且对任意：∈N°，m≥上十2 公差均为2，a1=4,a2=5, .42m-1=41十2(1-1)=21+2=21-1+3→4 +…十”，求m的最小值 =n十3(n为奇数)， a2,=a,十2(1-1)=2m十3→a,=1十3(n为偶数). 解：(1)因为a1=1,a,=T。-1(n≥2)，所以a2= .an=n十3. a1=1, 1,n=1, 当n>2时，a+1=Tm=Tm-1十an=2a,故am= (2)b.= logm+(n+3),n≥2，n∈N, a2·2"-2=2-(n≥2)， b,·b2·bg…b.=log5·log6…log+(k+3) 且a1=1不满足上式， =log(k十3)， 1,=1, 故数列{an}的通项公式为an 设log:(k十3)=m,m∈N”,∴.k=4m-3, 2"2,n≥2. 令1≤4m-3≤2021→1≤m≤5，m∈N”,∴.m= (2)设S.=1+2+…+”,则S,=1, 1,2,3,4,5, 当n≥2时，Sn=1十2·2°+3·2-1+…+n .区间[1,2024]内的“幸福数”为4一3,4-3， ·22-", …,4-3, 故25.=号+221+3…2+十n…2 “所有“幸福数”的和为4·1一4)-3X5 1-4 于是5=号+(2+2++2)-1… 1349. 3.数列{an}中，a1=8,a1=2,且满足a+2=2a+ 2=多+202-…2 -an(n∈N). 1-21 (1)求a2,a,并求数列{a.}的通项公式： 整理可得Sn=7-(n十2)2-"，所以S.<7, (2)设Sn=a,|+|az|+…+|an|,求Sn; 又S-智>6，所以特合题设条件的m的最小 (3)设6，=n12-a)n∈N).T.=6+o,+… 值为7. 十b(n∈N'),是否存在最大的正整数m,使得 2.已知数列{an}满足：an+1十an=2n十7(n∈N”), 且a1=4. 对任意n∈N均有T,>器成立？若存在求出 (1)求数列{a,}的通项公式： m的值；若不存在，请说明理由. 1,7=1, 解：(1)令n=1,aa=2a2-a1=2a2-8,令n=2, (2)已知数列{b.}满足：b.= logw+2an,n≥2， a1=2u3-a2=2(2a2-8)-a2=2. ∈N°，定义使b1·b·b…b(k∈N)为整数k 解得：a2=6,a3=4, 叫做“幸福数”，求区间[1,2024]内所有“幸福 由a+2=2a+1一a.(u∈N°)知数列{an}为等差 数”的和. 数列， ·396· 第六章数列 设其公差为d,则d=“二4=一2. 4-1 期：1证明：周为口，一}是公差为2的等类 故am=a1+(n-1)d=10-2n. 数列，所以a。一 (2)由an=10-21≥0，解得n≤5.故 =”一1 当n≤5时，Sn=a1|+la2|+…+an=9m-n, 2, 当n>5时，Sn=la1|+|a2|+…+|am|=a:+ 于是当m≥2时S,-S1氵-”号 a2+…十a5一a6-a2-…-an=n2-9n+40. 所以S S.1=1 台合可见数列倍}是首项为5 9n-n,n≤5， 综上，Sn= n2-9n+40,n>5, =@1,公差为号的等差教列，于是氵=41十 1 (3)由于b,=n12-4)(2n+2 ”号s=m+2, 2 又当n=1时，S1=41, =日) 所以对n∈N,S。=a,+n(n卫 2 .Tn=b+b2+…+b 当n≥2时，an=S。-S,-1=a1十n-1,当n=1 =-)(合)++（日】 时也成立， 因此an一aw-1=1, =(1-)=片D从两T1-T, 则{a.}是首项为a1,公差为1的等差数列. (2)因为a1=1, n十1 且{a.}的公差为1，所以an=n, 2(n十2)2(n+1) 2”,n≤2， 1 2(n+1D(m+2)>0, 所以bn=max{2",n n2,n=3, 2”,n≥4. 故数列工，是单调递增教列，又因工-是数 ①当n≥4时，T=1×2+2×2+3×32+4× 列中的最小项， 2+…+n·2 =1×2+2×22+3×23+4×2+…+n·2" 要使T,>器恒成立，故只需罗<工，=成立 +3, 即可， 令F.=1×2+2×22+3×2+…+n·2", 则2F=1×22+2×23+3×2十…+n·2"+1, 由此解得m<8,由于m∈Z', 所以一F。=2十2十2十…十2”一n·2"+ 故适合条件的m的最大值为7. [能力提升练] _21-22-n·2+1=(1-）·21-2, 1-2 所以F。=(n-1)·2+1十2， 4.(2025·福州模拟)已知数列{a.}的前n项和为 所以当n≥4时，T.=(n-1)·2+1十5， 5且口，一昌}是公差为号的等差数列， ②当n≤2时，T.=F.=(n-1)·2+1十2， ③当n=3时，T.=T,=37(或直接分别求T,= (1)求证：{a,}是等差数列； 2,T2=10,T3=37). (2)用max{p,g}表示p,g中的最大值，若a1 (n-1)·2+1+2,n≤2， 1,b。=max{2".,a},求数列{abn}的前n项 综上，T。=37,n=3, 和T (n-1)·2+1+5,n≥4. ·397·