7.4 空间直线、平面的平行-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§７．４　空间直线、平面的平行 ★[考试要求] １．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．２． 能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题． 　　　　　　　　学生用书　P１１９ １．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果平面外一条直线与 此平面内的一条直线平 行,那么该直线与此平 面平行(“线线平行⇒线 面平行”) ∵l∥a, a⊂α, l⊄α, ∴l∥α 性 质 定 理 一条直线与一个平面 平行,如果过该直线的 平面与此平面相交,那 么该直线与交线平行 (简记为“线面平行⇒ 线线平行”) ∵l∥α, l⊂β, α∩β＝b, ∴l∥b ２．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行,那么这两个 平面平行(简记为“线 面平行⇒面面平行”) ∵a∥β, b∥β, a∩b＝P, a⊂α, b⊂α, ∴α∥β 性 质 定 理 两个平面平行,如果另 一个平面与这两个平 面相交,那么两条交线 平行 ∵α∥β, α∩γ＝a, β∩γ＝b, ∴a∥b １．垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a ⊥β,则α∥β． ２．垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥ α,则a∥b． ３．平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥ γ,则α∥γ． ４．两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平 行于另一个平面． ５．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． ６．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面 平行． ７．两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成 比例． ８．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条直线,那么这两个平面平行． ９．三种平行关系的转化 １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这 条直线平行于这个平面． (×) (２)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于 这个平面内的任一条直线． (×) (３)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α． (×) (４)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面, 那么这两个平面平行． (×) ２．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 (　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α,β平行于同一条直线 D．α,β垂直于同一平面 解析:B　[若α∥β,则α内有无数条直线与β平行, 反之不成立;若α,β平行于同一条直线,则α与β可 以平行,也可以相交;若α,β垂直于同一平面,则α 与β可以平行,也可以相交,故 A,C,D均不是充要 条件．根据平面与平面平行的判定定理及性质定理 知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行,反之也成立．因此B中的条 件是α∥β的充要条件．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７１􀅰 高考总复习　数学 A版 ３．设有两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β, 则下列命题正确的是 (　　) A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥β C．若m∥n,m∥α,则n∥α D．若α∥β,m⊂α,则m∥β 解析:D　[若 m∥α,n∥α,则 m,n可以平行、相交 或异面,故 A 错误;若 m∥α,m∥β,则α∥β或α,β 相交,故B错误;若m∥n,m∥α,则n∥α或n⊂α, 故C错误;若α∥β,m⊂α,则m∥β,故 D正确．] ４．在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,E 是DD１ 的中点, 则BD１ 与平面ACE 的位置关系为　　　　． 解析:如图所示,连接 BD 交 AC 于 F,则 F 是 BD 的 中 点,连 接 EF,则 EF 是 △BDD１ 的 中 位 线,∴EF∥ BD１,又 EF ⊂ 平 面 ACE, BD１⊄平面 ACE,∴BD１∥平面 ACE． 答案:平行 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１２０ 　　　直线与平面平行的判定与性质 ▶[角度１]　直线与平面平行的判定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－１]　如图所示,正方形ABCD 与正方形ABEF 所在的平面相交 于 AB,在 AE,BD 上 各 有 一 点 P,Q,且 AP＝DQ,求证:PQ∥ 平 面BCE． [证明]　 方 法 一:如 图 所 示,作 PM∥AB 交BE 于点 M,作 QN ∥AB 交BC 于点N,连接 MN． 因 为 正 方 形 ABCD 和 正 方 形 ABEF 有公共边AB,所以 AE＝ BD,又因为AP＝DQ,所以PE＝QB,又因为PM ∥AB∥QN,所以PMAB ＝ PE AE＝ QB BD＝ QN DC ,所以PM AB ＝QNDC ,又因为AB＝DC,所以PM＝QN,所以四边 形PMNQ 为平行四边形,所以PQ∥MN．又 MN ⊂平 面 BCE,PQ ⊄ 平 面 BCE,所 以 PQ ∥ 平 面BCE． 方法二:如图所 示,连 接 AQ 并 延长 交 BC 于 点 M,有DQQB ＝ AQ QM ,又因为正方形 ABCD 与正 方形ABEF 有公共边AB,所以 AE＝BD,又因为 AP＝DQ,所以 PE＝QB,所以 DQ QB＝ AP PE , 从而有AP PE＝ AQ QM ,所以 PQ∥EM,又 EM⊂ 平面 BCE,PQ⊄平面BCE,所以PQ∥平面BCE． 方法三:如图,在平面 ABEF 内, 过点 P 作PM ∥BE 交AB 于点 M,连接QM,则PM∥平面BCE, 因为 PM∥BE,所 以APPE ＝ AM MB , 又AE＝BD,AP＝DQ,所以PE＝BQ, 所以AP PE＝ DQ BQ ,所以AM MB＝ DQ QB , 所以 MQ∥AD,又AD∥BC,所以MQ∥BC,又BC ⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE, 所以 MQ∥平面BCE．又因为PM∩MQ＝M,PM, MQ⊂平面PMQ,所以平面 PMQ∥平面BCE,又 因为PQ⊂平面PMQ,所以PQ∥平面BCE． ▶[角度２]　直线与平面平行的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１－２]　已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上 取一点G,过G 和PA 作平面PAHG 交平面BMD 于GH．求证:PA∥GH． [证明]　 如 图 所 示,连 接 AC 交 BD 于点O,连接 MO, 因 为 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形, 所以O 是AC 的中点, 又因为 M 是PC 的中点, 所以PA∥MO． 又因为 MO⊂平面BMD,PA⊄平面BMD, 所以PA∥平面BMD． 又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH, 且PA⊂平面PAHG,所以PA∥GH． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７１􀅰 第七章　立体几何与空间向量 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 线面平行问题的解题关键 (１)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找 到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是 利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面 平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式 证明两直线平行． (２)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位 置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定 交线． 如图,四边形ABCD 为长方形, PD＝AB＝２,AD＝４,点E,F 分 别为 AD,PC 的 中 点．设 平 面 PDC∩平面PBE＝l．证明: (１)DF∥平面PBE; (２)DF∥l． 证明:(１)取PB 的中点G,连接FG,EG, 因为点F 为PC 的中点, 所以FG∥BC,FG＝１２BC , 因为四边形ABCD 为长方形,所 以BC∥AD,且BC＝AD, 所以DE∥FG,DE＝FG,所以四 边形DEGF 为平行四边形, 所以 DF∥GE,因为 DF⊄平面 PBE,GE⊂平面 PBE,所以DF∥平面PBE． (２)由(１)知DF∥平面PBE, 又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE＝l, 所以DF∥l． 　　　平面与平面平行的判定与性质 [例２]　如图,在正方体ABCDＧ A１B１C１D１ 中,S 是B１D１ 的中 点,E,F,G 分别是BC,DC, SC的中点,求证: (１)EG∥平面BDD１B１; (２)平面EFG∥平面BDD１B１． [解]　(１)如图,连接SB,∵ E,G 分别是BC,SC 的中点, ∴EG∥SB．又 ∵SB⊂ 平 面 BDD１B１, EG ⊄ 平 面 BDD１B１,∴ 直 线 EG ∥ 平 面BDD１B１． (２)连接SD,∵F,G 分别是DC,SC 的中点,∴FG ∥SD．又 ∵SD ⊂ 平 面 BDD１B１,FG ⊄ 平 面 BDD１B１,∴FG∥平面BDD１B１,由(１)知,EG∥平 面BDD１B１,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG, EG∩FG＝G, ∴平面EFG∥平面BDD１B１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 证明面面平行的方法 (１)面面平行的定义． (２)面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行,则这两个平面平行． (３)垂直于同一条直线的两个平面平行． (４)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这 两个平面平行． (５)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互 转化． 如图,四棱锥PＧABCD 中, PA⊥ 平 面 ABCD,AB⊥ AC,AB∥CD,AB＝２CD, E,F 分 别 为 PB,AB 的 中点． (１)求证:平面PAD∥平面EFC; (２)若 PA＝AB＝AC＝２,求点 B 到平面PCF 的距离． 解:(１)证明:因为E,F 分别为PB,AB 的中点,所 以EF∥PA,因 为 EF⊄ 平 面 PAD,PA⊂ 平 面 PAD,所以EF∥平面PAD．因为AB∥CD,AB＝ ２CD,所以AF∥CD,AF＝CD,所以四边形ADCF 为平行 四 边 形,所 以 CF∥AD．因 为 CF⊄ 平 面 PAD,AD⊂平面PAD,所以CF∥平面PAD．因为 EF∩CF＝F,EF,CF⊂平面EFC,所以平面PAD ∥平面EFC． (２)因为AB⊥AC,AB＝AC＝２,F 为AB 的中点, 所以S△BCF＝ １ ２BF 􀅰AC＝１２×１×２＝１ ,因为PA ⊥平面ABCD,所以VPＧBCF＝ １ ３S△BCF 􀅰PA＝１３× １×２＝２３ ,因 为 PF＝CF＝ ５,PC＝２ ２,所 以 S△PCF ＝ １ ２PC 􀅰 PF２－ PC２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １２ ×２ ２× ５－２＝ ６．设点B 到平面PCF 的距离为h,因为 VBＧPCF＝VPＧBCF,所以 １ ３× ６×h＝ ２ ３ ,所以B 到平 面PCF 的距离h＝ ６３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８１􀅰 高考总复习　数学 A版 　　　平行关系的综合应用 [例 ３]　 如 图,在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,P,Q 分别是棱DD１,AB 的中点． (１)若平面 PQC 与直线AA１ 交于点 R,求 AR A１R 的值; (２)若 M 为棱CC１ 上一点且CM＝λCC１,BM∥平 面PQC,求λ的值． [解]　(１)如图所示,因为平面 ABB１A１∥平面CDD１C１,且平 面 ABB１A１ ∩ 平 面 PQC ＝ RQ,平面CDD１C１∩平面PQC ＝PC, 所以RQ∥PC,根据空间等角 定理可知,△ARQ∽△DPC,则ARDP＝ AQ DC , 又DC＝a,DP＝１２a ,AQ＝１２a ,则AR １ ２a ＝ １ ２a a , 即AR＝１４a ,A１R＝ ３ ４a ,所以AR A１R ＝１３． (２)取 AA１ 的 中 点 E,则 R 为AE 的 中 点,连 接 BE,则 BE∥RQ,又 RQ⊂ 平 面 PCQ,BE⊄ 平 面PCQ, 则BE∥平面PCQ． 又BM∥平面PCQ,BM,BE⊂平面BME,且BM ∩BE＝B,所以平面BME∥平面PCQ, 设DD１∩平面BME＝F,连接EF,FM, 由 平 面 BME ∥ 平 面 PCQ,平 面 BME ∩ 平 面 CDD１C１＝FM,平面 PCQ∩平面 CDD１C１＝PC, 所以FM∥PC, 又CM∥PF,则四边形CPFM 为平行四边形, 同理四边形PREF 也是平行四边形, 所以 CM＝PF＝ER＝１４a ,所 以λ＝CMCC１ ＝ １ ４a a ＝１４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 平行中的探索性问题 １．对命题条件的探索常采用以下三种方法: (１)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; (２)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的 条件,再证明其充分性; (３)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的 条件． ２．对命题结论的探索常采用以下方法: 首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理 论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就 肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设． 如图,在 斜 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,D,D１ 分 别 为 AC,A１C１ 上 的点． (１)当 A１D１ D１C１ 等于何值时,BC１∥平 面AB１D１; (２)若平面BC１D∥平面AB１D１,求 AD DC 的值． 解:(１)当 A１D１ D１C１ ＝１时,BC１∥平面AB１D１． 如图,连接 A１B 交AB１ 于点 O, 连接OD１． 由 棱 柱 的 性 质 知,四 边 形 A１ABB１ 为平行四边形, ∴点O 为A１B 的中点． 在△A１BC１ 中,O,D１ 分别为A１B,A１C１ 的中点, ∴OD１∥BC１． 又OD１⊂平面AB１D１,BC１⊄平面AB１D１, ∴BC１∥平面AB１D１． ∴当 A１D１ D１C１ ＝１时,BC１∥平面AB１D１． (２)由 已 知,平 面 BC１D∥ 平 面 AB１D１,且 平 面 A１BC１∩ 平 面 BC１D＝BC１,平 面 A１BC１ ∩ 平 面 AB１D１＝OD１． 因此BC１∥OD１,同理AD１∥DC１． ∴ A１D１ D１C１ ＝ A１O OB ,A１D１ D１C１ ＝DCAD． 又 A１O OB ＝１ ,∴DCAD＝１ ,即AD DC＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８１􀅰 第七章　立体几何与空间向量