7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§７．３　空间点、直线、平面之间的位置关系 ★[考试要求] １．借助长方体,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．２．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． ３．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 　　　　　　　　学生用书　P１１５ １．基本事实１~３ 文字语言 图形语言 符号语言 基 本 事 实 １ 过 不 在 一 条 直 线 上 的 三 点,有且只有 一个平面 A,B,C 三点不 共线⇒有且只 有一个平面α, 使A∈α,B∈α, C∈α 基 本 事 实 ２ 如 果 一 条 直 线 上 的 两 个 点 在 一 个 平 面内,那么这 条 直 线 在 这 个平面内 A∈l B∈l A∈α B∈α ì î í ï ï ï ï ⇒l⊂α 基 本 事 实 ３ 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点,那么它们 有 且 只 有 一 条 过 该 点 的 公共直线 P∈α,且P∈β ⇒α∩β＝l,且 P∈l ２．利用基本事实１和基本事实２,再结合“两点确定一 条直线”可得以下推论 推论１:经过一条直线和这条直线外一点,有且只 有一个平面; 推论２:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论３:经过两条平行直线,有且只有一个平面． ３．空间中两条直线的位置关系 (１)位置关系分类: 位置 关系 共面 直线 相交直线:在同一平面内,有且只有 　一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; ì î í ïï ï 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点． ì î í ï ï ï ï (２)基本事实４和定理: ①基本事实４:平行于同一条直线的两条直线互 相平行． ②定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平 行,那么这两个角相等或互补． ４．异面直线所成的角 (１)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做 异面直线a 与b所成的角(或夹角)． (２)范围:０,π２ æ è ç ]． (３)垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么我 们就说这两条异面直线互相垂直． ５．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (１)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三 种情况． (２)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． １．异面直线判定的一个方法 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点 的直线是异面直线． ２．唯一性定理 (１)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (２)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (３)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面 平行． (４)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面 垂直． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (１)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过 A 点的任意一条直线． (×) (２)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (√) (３)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面 重合． (×) (４)没有公共点的两条直线是异面直线． (×) ２．已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c 与b (　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析:C　[由已知得直线c与b 可能为异面直线也 可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则 a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７１􀅰 高考总复习　数学 A版 ３．已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接 四边中点的四边形一定是 (　　) A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析:B　[如图所示,易证四边形 EFGH 为平行四边形． ∵E,F 分别为AB,BC 的中点, ∴EF∥AC． 又FG∥BD, ∴∠EFG 或其补角为AC 与BD 所成的角． 而AC 与BD 所成的角为９０°, ∴∠EFG＝９０°,故四边形EFGH 为矩形．] ４．在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,E 为棱CC１ 的中点, 则异面直线AE与CD所成角的正切值为 (　　) A．２２ B． ３ ２ C． ５ ２ D． ７ ２ 解析:C　[如图,连接BE,因为 AB∥CD,所以异面直线AE 与 CD 所成的角等于相交直线AE 与AB所成的角,即为∠EAB．不 妨设正方体的棱长为２,则CE＝ １,BC＝２,由勾股定理得BE＝ ５．又由 AB⊥平面 BCC１B１ 可得AB⊥BE,所以tan∠EAB＝ BE AB＝ ５ ２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１１７ 　　　基本事实的应用 [例１]　已知在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,E,F 分别为D１C１,C１B１ 的中点,AC∩BD＝P,A１C１∩ EF＝Q．求证: (１)D,B,F,E 四点共面; (２)若A１C 交平面DBFE 于点R,则P,Q,R 三点 共线; (３)DE,BF,CC１ 三线交于一点． [证 明]　 (１)如 图 所 示,连 接B１D１． 因 为 EF 是 △C１D１B１ 的 中 位 线,所以EF∥B１D１． 在 正 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,B１D１∥BD,所以EF∥BD, 所以EF,BD 确定一个平面, 即D,B,F,E 四点共面． (２)在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,连接A１C, 设A１,C,C１ 确定的平面为α, 平面BDEF 为β． 因为Q∈A１C１,所以Q∈α． 又因为Q∈EF,所以Q∈β, 所以Q 是α与β的公共点, 同理,P 是α与β的公共点． 所以α∩β＝PQ． 又因为A１C∩β＝R, 所以R∈A１C,R∈α,且R∈β． 则R∈PQ,故P,Q,R 三点共线． (３)因为EF∥BD 且EF＜BD, 所以DE 与BF 相交,设交点为 M, 则由 M∈DE,DE⊂平面D１DCC１, 得 M∈平面D１DCC１, 同理,M∈平面B１BCC１． 又因为平面D１DCC１∩平面B１BCC１＝CC１, 所以 M∈CC１． 所以DE,BF,CC１ 三线交于一点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．点共线问题的证明方法 证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某两 个平面的公共点,再依据基本事实３证明这些点 都在这两个平面的交线上． ２．线共点问题的证明方法 证明空间三线共点,先证两条直线交于一点,再 证第三条直线经过这点,将问题转化为证明点在 直线上． ３．点线共面问题的证明方法 (１)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线 在此平面内． (２)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证明其 余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合． 如图,平面ABEF⊥平面ABCD, 四边形 ABEF 与ABCD 都是直 角梯形,∠BAD＝∠FAB＝９０°, BC∥AD 且BC＝ １２AD ,BE∥ AF 且BE＝１２AF ,G,H 分别为 FA,FD 的中点． (１)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (２)C,D,F,E 四点是否共面? 为什么? 解:(１)证明:由题设知,因为G、H 分别为FA、FD 的中点,所以GH∥AD 且GH＝１２AD , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７１􀅰 第七章　立体几何与空间向量 又BC∥AD 且BC＝１２AD , 故GH∥BC 且GH＝BC, 所以四边形BCHG 是平行四边形． (２)C,D,F,E 四点共面．理由如下: 由BE∥AF 且BE＝１２AF ,G 是FA 的中点知BE ∥GF 且BE＝GF,所以四边形EFGB 是平行四边 形,所以EF∥BG． 由(１)知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH 共面．又点D 在直线FH 上, 所以C,D,F,E 四点共面． 　　　空间位置关系的判断 [例２]　(１)(多选)如图所示,已 知在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,l⊂平面 A１B１C１D１,且l与 B１C１ 不平行,则下列结论能成立 的是 (　　) A．l与AD 平行 B．l与AB 异面 C．l与CD 所成的角为３０° D．l与BD 垂直 [解析]　假设l∥AD,则由AD∥BC∥B１C１,可得 l∥B１C１,与“l与B１C１ 不平行”矛盾,所以l与AD 不平行,A 错误;取l为A１C１ 所在直线,满足 B,B 正确;又因为l⊥B１D１,B１D１∥BD,所以l⊥BD,D 正确;取l与C１D１ 成３０°角,因为C１D１∥CD,所以 此时l与CD 所成的角为３０°,C正确． [答案]　BCD (２)在底面半径为１的圆柱OO１ 中,过旋转轴OO１ 作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB＝２,E 是BC ︵ 的中点,F 是AB 的中点,则 (　　) A．AE＝CF,AC与EF 是共面直线 B．AE≠CF,AC与EF 是共面直线 C．AE＝CF,AC与EF 是异面直线 D．AE≠CF,AC与EF 是异面直线 [解析]　由题意,圆柱的轴截面 ABCD 是边长为２的正方形,E 是BC ︵ 的中点,F 是AB 的中点, AC⊂平面 ABC,所以EF 与平 面ABC 相交,且与AC 无交点, 所以AC 与EF 是异面直线．又因为CF＝ １２＋２２ ＝ ５,AE＝ ２２＋(２)２＝ ６,所以AE≠CF． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构 造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断; 二是排除法,特别地,对于异面直线的判定常用到 结论:“平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平 面内不经过点B 的直线是异面直线．” １．已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l (　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 解析:C　[直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在 与l平行的直线,∴A错误;当l⊂α时,在平面α内不 存在与l异面的直线,∴D错误;当l∥α时,在平面α 内不存在与l相交的直线,∴B错误;无论哪种情形在 平面α内都有无数条直线与l垂直,∴C正确．] ２．如图为正方体表面的一种展 开图,则 图 中 的 四 条 线 段 AB,CD,EF,GH 在原正方 体中互为异面直线的对数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:C　[还原的正方体如 图所示, 是异面直线的共三对,分别 为AB 与CD,AB 与GH, EF 与GH．] 　　　异面直线所成的角 [例３]　(１)[多选]已知正方体ABCD－A１B１C１D１, 则 (　　) A．直线BC１ 与DA１ 所成的角为９０° B．直线BC１ 与CA１ 所成的角为９０° C．直线BC１ 与平面BB１D１D 所成的角为４５° D．直线BC１ 与平面ABCD 所成的角为４５° [解析]　 如 图,连 接 B１C、 BC１,因为DA１∥B１C,所以直 线BC１ 与B１C所成的角即为 直线BC１ 与DA１ 所成的角, 因 为 四 边 形 BB１C１C 为 正 方形,则B１C⊥BC１,故直线 BC１ 与 DA１ 所 成 的 角 为 ９０°,A 正确; 连接A１C,因为 A１B１⊥平面BB１C１C,BC１⊂平面 BB１C１C,则A１B１⊥BC１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６７１􀅰 高考总复习　数学 A版 因为B１C⊥BC１,A１B１∩B１C＝B１,所以 BC１⊥平 面A１B１C, 又因为A１C⊂平面 A１B１C,所以 BC１⊥CA１,故 B 正确; 连接A１C１,设A１C１∩B１D１＝O,连接BO, 因 为 BB１ ⊥ 平 面 A１B１C１D１,C１O ⊂ 平 面 A１B１C１D１,则C１O⊥B１B, 因为C１O⊥B１D１,B１D１∩B１B＝B１,所以C１O⊥平 面BB１D１D, 所以 ∠C１BO 为 直 线BC１ 与 平 面 BB１D１D 所 成 的角, 设 正 方 体 棱 长 为 １,则 C１O ＝ ２ ２ ,BC１ ＝ ２, sin∠C１BO＝ C１O BC１ ＝１２ , 所以,直线BC１ 与平面BB１D１D 所成的角为３０°, 故C错误;因为C１C⊥平面ABCD,所以∠C１BC 为 直线BC１ 与平面ABCD 所成的角,易得∠C１BC＝ ４５°,故 D正确． [答案]　ABD (２)(２０２５􀅰潍坊检测)已知三棱锥PＧABC 中,PA ⊥平面ABC,AB＝２,AC＝２,BC＝２ ２,PA＝３,D 为PB 的中点,则异面直线AD 与PC 所成角的余 弦值为 (　　) A．２ １５１５ B． ５ ３ １２ C． ５ １４ D． ９ １３ [解析]　如图所示,由 AB ＝２,AC＝２,BC＝２ ２,则 有 AB２＋AC２＝BC２,所 以 AB⊥AC, 取BC 的中点E,连接 AE, DE,则 DE∥PC,∠ADE 或其补角即为异面直线AD 与PC 所成的角．E 为BC 的中点,则AE＝ ２,PA ⊥平 面 ABC,Rt△PAC 中,PC＝ PA２＋AC２ ＝ ９＋４＝ １３,∴DE＝１２PC＝ １３ ２ ,Rt△PAB 中, PB＝ PA２＋AB２＝ ９＋４＝ １３,∴DA＝ １３２ ,在 △ADE 中,根 据 余 弦 定 理 可 得 cos∠ADE ＝ AD２＋DE２－AE２ ２AD×DE ＝ １３ ４＋ １３ ４－２ ２×１３４ ＝９１３． 所以异面直 线AD 与PC 所成角的余弦值为９１３． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一 条相交,一般采用图中已有的平行线或者 作平行线,形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体,在 这两个几何体中找异面直线相应的位置, 形成三角形求解 １．在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,P 为B１D１ 的中 点,则直线PB 与AD１ 所成的角为 (　　) A．π２ B． π ３ C． π ４ D． π ６ 解析:D　[如图,连接A１C１, BC１,因为 AD１∥BC１,所以 ∠PBC１(或 其 补 角)为 直 线 PB 与AD１ 所成的角．设正 方体 的 棱 长 为 ２,则 PB＝ ６,PC１＝ ２,BC１＝２ ２,则 PB２＋PC２１＝BC２１,所 以 PB ⊥PC１,△PBC１ 为直角三角形．在 Rt△PBC１ 中, 因为sin∠PBC１＝ PC１ BC１ ＝ ２ ２ ２ ＝１２ ,所以直线 PB 与AD１ 所成的角为 π ６． ] ２．如图,圆台OO１ 的上底面半径为 O１A１＝１,下底面半径为OA＝２, 母线长 AA１＝２,在下底面内过 OA 的中点B 作OA 的垂线交圆 O 于点C,则异面直线 OO１ 与 A１C 所成角的大 小为 (　　) A．３０° B．４５° C．６０° D．９０° 解析:B　[在直角梯形OO１A１A 中,∵B 为OA 的中点,OA＝２, ∴O１A１ ＝OB＝AB＝１,连 接 A１B,易知四边形OO１A１B 为矩 形,∴OO１∥A１B,∴∠BA１C(或其补角)为异面直 线OO１ 与A１C 所成的角．在 Rt△AA１B 中,AA１＝ ２,AB＝１,∴A１B＝ ３．连接OC,在 Rt△OBC 中, 由OB＝１,OC＝２,得BC＝ ３．在 Rt△A１BC 中, BC＝A１B,∴∠BA１C＝４５°,即 异 面 直 线 OO１ 与 A１C 所成角的大小为４５°．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７７１􀅰 第七章　立体几何与空间向量