6.5 数列中的综合问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

(２)n ＝２k －１ 时,cn ＝c２k－１ ＝ １ b２k－１b２k＋１ ＝ １ (４k－３)(４k＋１)＝ １ ４ １ ４k－３－ １ ４k＋１ æ è ç ö ø ÷, ∴S奇 ＝c１＋c３＋c５＋􀆺＋c２n－１ ＝１４ １ １－ １ ５ æ è ç ö ø ÷＋１４ １ ５－ １ ９ æ è ç ö ø ÷＋１４ １ ９－ １ １３ æ è ç ö ø ÷＋􀆺＋ １ ４ １ ４n－３－ １ ４n＋１ æ è ç ö ø ÷＝ １ ４ １ １－ １ ５ æ è ç ö ø ÷＋ １５－ １ ９ æ è ç ö ø ÷＋ １９－ １ １３ æ è ç ö ø ÷[ ＋􀆺＋ １４n－３－ １ ４n＋１ æ è ç ö ø ÷ ] ＝１４ １－ １ ４n＋１ æ è ç ö ø ÷＝ n４n＋１． n＝２k时,cn＝c２k＝a２kb２k＝(４k－１)×３２k－１ ∴S偶 ＝c２＋c４＋c６＋􀆺＋c２n S偶 ＝３×３１＋７×３３＋１１×３５＋􀆺＋(４n－１)× ３２n－１,① ９S偶 ＝３×３３＋７×３５＋􀆺＋(４n－５)×３２n－１＋(４n－ １)×３２n＋１,② 由①－②可得, －８S偶 ＝３×３１＋４×３３＋４×３５＋􀆺＋４×３２n－１－ (４n－１)×３２n＋１ ＝９＋４×３ ３－４×３２n－１×９ １－９ － (４n－１)􀅰３２n＋１ ∴S偶 ＝ (８n－３)􀅰３２n＋１＋９ １６ ∴S２n ＝S奇 ＋S偶 ＝ n ４n＋１＋ (８n－３)􀅰３２n＋１＋９ １６ (n∈N∗ )． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数 列{an􀅰bn}的前n项和时,常采用错位相减法． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(２)错位相减法求和时,应注意: ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出 “Sn－qSn”的表达式． ②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是 否等于１,如果q＝１,应用公式Sn＝na１． 在数列{an}中,a１＋２a２＋３a３＋􀆺＋nan＝３n－１． (１)求{an}的通项公式; (２)若bn＝ n(n＋１)an ２ ,求数列{bn}的前n项和Sn． 解:(１)当n＝１时,a１＝３１－１＝２, 当n≥２时,则a１＋２a２＋３a３＋􀆺＋nan＝３n－１,得 a１＋２a２＋３a３＋􀆺＋(n－１)an－１＝３n－１－１, 两式相减得,nan＝３n－１－３n－１＋１＝２×３n－１,所以 an＝ ２×３n－１ n , 因为a１＝２满足上式,所以an＝ ２×３n－１ n ． (２)由(１)得bn＝ n(n＋１)an ２ ＝ n(n＋１) ２ 􀅰２×３ n－１ n ＝(n＋１)×３n－１, 所以Sn＝２×３０＋３×３１＋４×３２＋􀆺＋n×３n－２＋ (n＋１)×３n－１, 所以３Sn＝２×３１＋３×３２＋４×３３＋􀆺＋n×３n－１＋ (n＋１)×３n, 所以－２Sn＝２＋３１＋３２＋３３＋􀆺＋３n－１－(n＋１)×３n ＝１＋１－３ n １－３－ (n＋１)×３n＝１２－ ２n＋１ ２ ×３ n, 所以Sn＝ ２n＋１ ４ ×３ n－１４＝ (２n＋１)３n－１ ４ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §６．５　数列中的综合问题 ★[考试要求] 　　数列是高中数学的重要内容,是学习高等数学的基础,也是高考的重点考查内容之一．高考数列命题主要 有以下三方面:(１)考查数列本身的有关知识,要求能用等差或等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式求 解;(２)数列与其他知识的结合,如数列与函数、方程、不等式、几何等的结合;(３)数列的实际应用问题． 　　　　　　　　学生用书　P１０８ 　　　等差数列、等比数列的综合运算 [例１]　已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数 项成等比数列,且公差和公比都是２,若对满足 m＋n≤５的任意正整数m,n,均有am＋an＝am＋n 成立． (１)求数列{an}的通项公式; (２)令bn＝ a２n－１ a２n ,求数列{bn}的前n项和Tn． [解]　(１)由题意,令m＝n＝１,则a１＋a１＝a２, 即a２＝２a１, 令m＝１,n＝２,得a１＋a２＝a３, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６１􀅰 高考总复习　数学 A版 因为a３＝a１＋２,所以３a１＝a１＋２,解得a１＝１,a２＝２, 由题意,数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成 等比数列,且公差和公比都是２, 所以an＝ １＋２n＋１２ －１ æ è ç ö ø ÷,n＝２k－１, ２×２ n ２－１,n＝２k ì î í ïï ï (k∈N), 即an＝ n,n＝２k－１, ２ n ２ ,n＝２k{ (k∈N ∗ )． (２)由(１)知bn＝ a２n－１ a２n ＝２n－１ ２n , 则Tn＝１× １ ２ æ è ç ö ø ÷ １ ＋３× １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋５× １２ æ è ç ö ø ÷ ３ ＋􀆺＋ (２n－１)× １２ æ è ç ö ø ÷ n ,所 以 １ ２Tn ＝１× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ３ ＋５× １２ æ è ç ö ø ÷ ４ ＋􀆺＋(２n－１)× １２ æ è ç ö ø ÷ n＋１ , 两式相减得１ ２Tn＝ １ ２＋ ２× １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ １２ æ è ç ö ø ÷ ３ ＋ １２ æ è ç ö ø ÷ ４ ＋􀆺＋ １２ æ è ç ö ø ÷ n [ ]－(２n－１) × １２ æ è ç ö ø ÷ n＋１ ＝ １２ ＋ ２×１４ １－ １ ２n－１ æ è ç ö ø ÷ １－１２ － (２n－１)× １ ２ æ è ç ö ø ÷ n＋１ ＝３２ － (２n＋３)× １２ æ è ç ö ø ÷ n＋１ ,所 以 Tn ＝３ －２n＋３ ２n ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (１)设置中间问题:求和需要先求出通项公式,求通 项公式需要先求出首项和公差(公比),确定解 题的顺序． (２)注意解题细节:在数列的通项公式问题中第一 项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些 细节对解题的影响也是巨大的． 已知n２(n≥４)个正数排成n行n 列,aij表示第i行 第j 列的数,其中每一行的数依次构成等差数列, 每一列的数依次构成等比数列,并且公比都为q．已 知a２４＝１,a４２＝ １ ８ ,a４３＝ ３ １６． (１)求公比q; (２)记第n行的数所构成的等差数列的公差为d, 把d１,d２,􀆺,dn 所构成的数列记为数列{dn},求数 列{dn}的前n项和Sn． a１１ a１２ a１３ a１４ 􀆺 a１n a２１ a２２ a２３ a２４ 􀆺 a２n a３１ a３２ a３３ a３４ 􀆺 a３n 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 an１ an２ an３ an４ 􀆺 ann 解:(１)因为a４２＝ １ ８ ,a４３＝ ３ １６ ,所以第４行的数所构 成的等差数列的公差d４＝a４３－a４２＝ ３ １６－ １ ８＝ １ １６ , 所以a４４＝a４３＋ １ １６＝ １ ４ ,则q２＝ a４４ a２４ ＝１４ ,又q＞０, 所以q＝１２． (２)由a４１＝ １ ８－ １ １６＝ １ １６ ,a４２＝ １ ８ ,q＝１２ ,得an１＝ １ ２n ,an２＝ １ ２n－１ ,则dn＝an２－an１＝ １ ２n－１ －１ ２n ＝１ ２n ,所 以数列{dn}是以 １ ２ 为首项,１ ２ 为公比的等比数列,则 数列{dn}的前n项和Sn＝ １ ２ １－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ n [ ] １－１２ ＝１－２－n． 　　　数列与其他知识的交汇问题 ▶[角度１]　数列与不等式的交汇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例 ２ － １]　 已 知 {an }为 等 差 数 列,bn ＝ an－６,n为奇数, ２an,n为偶数,{ 记Sn,Tn 分别为数列{an},{bn} 的前n项和,S４＝３２,T３＝１６． (１)求{an}的通项公式; (２)证明:当n＞５时,Tn＞Sn． [解]　(１)设等差数列{an}的公差为d． 因为bn＝ an－６,n为奇数, ２an,n为偶数,{ 所以b１＝a１－６,b２＝２a２＝２a１＋２d,b３＝a３－６＝a１ ＋２d－６． 因为S４＝３２,T３＝１６, 所以 ４a１＋６d＝３２, (a１－６)＋(２a１＋２d)＋(a１＋２d－６)＝１６,{ 整理,得 ２a１＋３d＝１６, a１＋d＝７,{ 解得 a１＝５, d＝２,{ 所以{an}的通项公式为an＝２n＋３． (２)证明:由(１)知an＝２n＋３, 所以Sn＝ n[５＋(２n＋３)] ２ ＝n ２＋４n． 当n为奇数时, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６１􀅰 第六章　数列 Tn＝(－１＋１４)＋(３＋２２)＋(７＋３０)＋􀆺＋[(２n－７) ＋(４n＋２)]＋２n－３＝[－１＋３＋７＋􀆺＋(２n－７) ＋(２n－３)]＋[１４＋２２＋３０＋􀆺＋(４n＋２)]＝ n＋１ ２ (－１＋２n－３) ２ ＋ n－１ ２ (１４＋４n＋２) ２ ＝３n ２＋５n－１０ ２ ． 当n＞５时,Tn－Sn＝ ３n２＋５n－１０ ２ － (n２＋４n)＝ n２－３n－１０ ２ ＝ (n－５)(n＋２) ２ ＞０ , 所以Tn＞Sn． 当n为偶数时,Tn＝(－１＋１４)＋(３＋２２)＋(７＋ ３０)＋􀆺＋[(２n－５)＋(４n＋６)]＝[－１＋３＋７＋􀆺 ＋(２n－５)]＋[１４＋２２＋３０＋􀆺＋(４n＋６)]＝ n ２ (－１＋２n－５) ２ ＋ n ２ (１４＋４n＋６) ２ ＝ ３n２＋７n ２ ． 当n＞５时,Tn－Sn＝ ３n２＋７n ２ － (n２＋４n)＝n ２－n ２ ＝n (n－１) ２ ＞０ , 所以Tn＞Sn． 综上可知,当n＞５时,Tn＞Sn． ▶[角度２]　数列与函数的交汇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例２－２]　已知函数f(x)是定义在 R上的严格增 函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a１０１２＞０, 则f(a１)＋f(a２)＋f(a３)＋ 􀆺 ＋f(a２０２２)＋ f(a２０２３)的值 (　　) A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为０ D．可正可负 [解析]　因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格 增函数, 所以f(０)＝０,且当x＞０时,f(x)＞０; 当x＜０时,f(x)＜０． 因为数列{an}是等差数列,a１０１２＞０, 故f(a１０１２)＞０． 再根据a１＋a２０２３＝２a１０１２＞０, 所以a１＞－a２０２３, 则f(a１)＞f(－a２０２３)＝－f(a２０２３), 所以f(a１)＋f(a２０２３)＞０． 同理可得f(a２)＋f(a２０２２)＞０,f(a３)＋f(a２０２１)＞ ０,􀆺, 所以f(a１)＋f(a２)＋f(a３)＋􀆺＋f(a２０２２)＋f(a２０２３) ＝[f(a１)＋f(a２０２３)]＋[f(a２)＋f(a２０２２)]＋􀆺＋ [f(a１０１１)＋f(a１０１３)]＋f(a１０１２)＞０． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数 关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项公式或 前n项和公式,再利用数列或数列对应的函数解决最 值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明． １．分形的数学之美,是以简单的基本 图形,凝聚扩散,重复累加,以迭代 的方式而形成的美丽的图案．自然 界中存在着许多令人震撼的天然 分形图案,如鹦鹉螺的壳、蕨类植 物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图为正方形经过 多次自相似迭代形成的分形图形,且相邻的两个正 方形的对应边所成的角为１５°．若从外往里最大的 正方形边长为９,则第５个正方形的边长为 (　　) A．８１４ B． ８１ ６ ８ C．４ D． ４ ６ ３ 解析:C　[设第n个正方形的边长为an,则由已知 可得an＝an＋１sin１５°＋an＋１cos１５°, ∴ an＋１ an ＝ １sin１５°＋cos１５°＝ １ ２sin６０° ＝ ６３ , ∴{an}是以９为首项, ６ ３ 为公比的等比数列, ∴a５＝a１q４＝９× ６３ æ è ç ö ø ÷ ４ ＝４．] ２．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)A＞０,|φ|≤ π ２ ,ω＞０æ è ç ö ø ÷, 射线y＝－２(x≥０)与该函数图象的交点的横坐标从 左至右依次构成数列{xn},且xn＝４n－ ７ ３ (n∈N∗),则 f(５)＝　　　　． 解析:因为xn＝４n－ ７ ３ (n∈N∗ ), 则数列{xn}是等差数列,公差为４,且f(xn)＝－２, n∈N∗ , 因此A＝２,函数f(x)的最小正周期是４, 即２π ω＝４ ,解得ω＝π２ , 又f(x１)＝f ５ ３ æ è ç ö ø ÷＝－２, 即有π ２× ５ ３＋φ＝π＋２kπ ,k∈Z, 由|φ|≤ π ２ ,解得φ＝ π ６ , 于是f(x)＝２cos π２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷, 所以f(５)＝２cos５π２＋ π ６ æ è ç ö ø ÷＝－１． 答案:－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６１􀅰 高考总复习　数学 A版 学生用书　P１０９ 　　子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有 规律的数列组合而成的,具体求解时,要搞清楚子数列的项在原数列中的位置,以及在子数列中的位置, 即项不变化,项数变化,它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想,能很好地考查学生的 思维． [典例]　(２０２５􀅰岳阳模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,其公比q≠－１, a４＋a５ a７＋a８ ＝１２７ ,且S４＝a３ ＋９３． (１)求数列{an}的通项公式; (２)已知bn＝ log１３an,n为奇数, an,n为偶数, { 求数列{bn}的前n 项和Tn． [解]　(１)因为{an}是等比数列,公比q≠－１, 则a４＝a１q３,a５＝a１q４,a７＝a１q６,a８＝a１q７, 所以 a４＋a５ a７＋a８ ＝ a１q３＋a１q４ a１q６＋a１q７ ＝１ q３ ＝１２７ ,解得q＝３, 由S４＝a３＋９３,可得 a１(１－３４) １－３ ＝９a１＋９３ , 解得a１＝３, 所以数列{an}的通项公式为an＝３n． (２)由(１)得bn＝ －n,n为奇数, ３n,n为偶数,{ 当n为偶数时,Tn＝b１＋b２＋􀆺＋bn ＝(b１＋b３＋􀆺＋bn－１)＋(b２＋b４＋􀆺＋bn) ＝－(１＋３＋􀆺＋n－１)＋(３２＋３４＋􀆺＋３n) ＝－ n ２ [１＋(n－１)] ２ ＋ ９１－９ n ２( ) １－９ ＝９８ (３n－１)－n ２ ４ ; 当n为奇数时,Tn＝Tn＋１－bn＋１＝ ９ ８ (３n＋１－１)－ (n＋１)２ ４ －３ n＋１＝１８×３ n＋１－９８－ (n＋１)２ ４ , 综上所述, Tn＝ １ ８×３ n＋１－９８－ (n＋１)２ ４ ,n为奇数, ９ ８ (３n－１)－n ２ ４ ,n为偶数． ì î í ï ï ï ï 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 数列中的奇、偶项问题的常见题型 (１)数列中连续两项和或积的问题[an ＋an＋１＝ f(n)或an􀅰an＋１＝f(n)]; (２)含有(－１)n 的类型; (３)含有{a２n},{a２n－１}的类型． 已知数列{an}的前n项和Sn＝ ３n２＋n ２ ,{bn}为等比 数列,公比为２,且b１,b２＋１,b３ 为等差数列． (１)求{an}与{bn}的通项公式; (２)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数 列记为{cn},求数列{cn}的前n项和Tn． 解:(１)由Sn＝ ３n２＋n ２ 得, 当n＝１时,a１＝S１＝２, 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝３n－１, 当n＝１时,上式也成立, 所以an＝３n－１． 依题意,b１＋b３＝２(b２＋１), b１＋b１􀅰２２＝２(b１􀅰２＋１), 解得b１＝２,所以bn＝２n． (２)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为２１, ２３,２５,２７,􀆺, 所以２１,２３,２５,２７,􀆺构成首项为２, 公比为４的等比数列,所以cn＝２×４n－１, 则Tn＝c１＋c２＋􀆺＋cn＝ ２(１－４n) １－４ ＝ ２(４n－１) ３ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６１􀅰 第六章　数列 学生用书　P１１０ 　　近几年全国各地高考试题,我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影,它们对数列综合问题 的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现,有时还伴随着数列与集合,难度较大． [典例]　(１)０－１周期序列在通信技术中有着重要 应用．若序列a１a２􀆺an􀆺满足ai∈{０,１}(i＝１,２, 􀆺),且存在正整数m,使得ai＋m＝ai(i＝１,２,􀆺)成 立,则称其为０－１周期序列,并称满足ai＋m＝ai(i ＝１,２,􀆺)的最小正整数m 为这个序列的周期．对 于周期为m 的０－１序列a１a２􀆺an􀆺,C(k)＝ １ m∑ m i＝１ aiai＋k(k＝１,２,􀆺,m－１)是描述其性质的重要指 标,下列周期为５的０－１序列中,满足C(k)≤１５ (k＝１,２,３,４)的序列是 (　　) A．１１０１０􀆺 B．１１０１１􀆺 C．１０００１􀆺 D．１１００１􀆺 [解析]　周期为５的０－１序列中, C(k)＝１５∑ ５ i＝１ aiai＋k(k＝１,２,３,４)． 验证C(１)＝１５ (a１a２＋a２a３＋a３a４＋a４a５＋a５a６) ＝１５ (a１a２＋a２a３＋a３a４＋a４a５＋a５a１)≤ １ ５． 对于 A,C(１)＝１５ (１＋０＋０＋０＋０)＝１５ , 满足C(１)≤１５． 对于B,C(１)＝１５ (１＋０＋０＋１＋１)＝３５＞ １ ５ , 不满足C(１)≤１５ ,故排除B． 对于C,C(１)＝１５ (０＋０＋０＋０＋１)＝１５ , 满足C(１)≤１５． 对于 D,C(１)＝１５ (１＋０＋０＋０＋１)＝２５＞ １ ５ , 不满足C(１)≤１５ ,故排除 D． 再对 A,C验证C(２)＝１５ (a１a３＋a２a４＋a３a５＋a４a６ ＋a５a７)＝ １ ５ (a１a３ ＋a２a４ ＋a３a５ ＋a４a１ ＋a５a２) ≤１５． 对于 A,C(２)＝１５ (０＋１＋０＋１＋０)＝２５＞ １ ５ , 不满足C(２)≤１５ ,故排除 A． 对于C,C(２)＝１５ (０＋０＋０＋０＋０)＝０, 满足C(２)≤１５． [答案]　C (２)[多选](２０２５􀅰威海模拟)已知数列{an}的首项 a１＝１,前n项和为Sn．设λ与k 是常数,若对任意 n∈N∗ ,均有S １ k n＋１－S １ k n ＝λa １ k n＋１成立,则称此数列为 “λ－k”数列．若数列{an}是“ ２ ２－２ ”数列,且an＞０, 则 (　　) A．Sn＝９n－１ B．{an}为等比数列 C．{Sn－an}的前n项和为 ９n－１－１ ８ D．Snan{ }为等差数列 [解析]　由条件可知,λ＝ ２２ ,k＝２, 则 Sn＋１－ Sn＝ ２ ２ an＋１＝ ２ ２ Sn＋１－Sn , 两边平方后,整理为 Sn＋１－４ Sn＋１Sn＋３Sn＝０, 即(Sn＋１－ Sn)(Sn＋１－３ Sn)＝０, 得 Sn＋１＝ Sn或 Sn＋１＝３ Sn, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６１􀅰 高考总复习　数学 A版 若 Sn＋１＝ Sn,则Sn＋１＝Sn,则an＋１＝０, 这与an＞０矛盾,所以不成立, 所以 Sn＋１＝３ Sn,则Sn＋１＝９Sn,S１＝a１＝１, 所以数列{Sn}是首项为１,公比为９的等比数列, 即Sn＝９n－１,故 A 正确; 由Sn＋１＝９Sn 可得Sn＝９Sn－１(n≥２),两式相减得, an＋１＝９an(n≥２),并且n＝１时,S２＝９S１,即a１＋ a２＝９a１,得a２＝８, 那么 a２ a１ ＝８≠９,所以{an}不是等比数列,故B错误; an＝ １,n＝１, ８􀅰９n－２,n≥２,{ 当n＝１时,S１－a１＝０, 当n≥２时,设数列{Sn－an}的前n项和为Tn, 则Tn＝(S１－a１)＋(S２－a２)＋􀆺＋(Sn－an) ＝(S１＋S２＋􀆺＋Sn)－(a１＋a２＋􀆺＋an) ＝１－９ n １－９－ １＋ ８×(１－９n－１) １－９[ ]＝ ９n－１－１ ８ , 当n＝１ 时,T１ ＝０ 成 立,故 Tn ＝ ９n－１－１ ８ ,故 C 正确; 因为 S１ a１ ＝１, S２ a２ ＝９８ ,S３ a３ ＝８１７２ ,S１ a１ ＋ S３ a３ ≠２ S２ a２ , 所以数列 Sn an{ }不是等差数列,故 D错误． [答案]　AC 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解决此类问题,关键是根据题干中的新定义、新公 式、新定理、新法则、新运算等,将新数列转化为等 差或等比数列,或者找到新数列的递推关系进行 求解． [多选](２０２５􀅰武汉模拟)已知数列{an}满足:对任 意的n∈N∗ ,总存在 m∈N∗ ,使得Sn＝am,则称 {an}为“回旋数列”．以下结论中正确的是 (　　) A．若an＝２０２３n,则{an}为“回旋数列” B．设{an}为等比数列,且公比q为有理数,则{an} 为“回旋数列” C．设{an}为等差数列,当a１＝１,公差d＜０时,若 {an}为“回旋数列”,则d＝－１ D．若{an}为“回旋数列”,则对任意n∈N∗ ,总存在 m∈N∗ ,使得an＝Sm 解析:AC　[对于 A,由an＝２０２３n可得Sn＝２０２３ (１＋２＋３＋􀆺＋n)＝２０２３×n (n＋１) ２ , 由Sn＝am 可得２０２３× n(n＋１) ２ ＝２０２３m , 取m＝n (n＋１) ２ 即可,则{an}为“回旋数列”,故 A 正确; 对于B,当q＝１时,Sn＝na１,am＝a１, 由Sn＝am 可得na１＝a１,故当n＝２时,很明显na１ ＝a１ 不成立,故{an}不是“回旋数列”,故B错误; 对于C,{an}是等差数列,故am＝１＋(m－１)d, Sn＝n＋ n(n－１) ２ d , 因为数列{an}是“回旋数列”, 所以１＋(m－１)d＝n＋n (n－１) ２ d , 即m＝n－１d ＋ n(n－１) ２ ＋１ , 其中n(n－１) ２ 为非负整数, 所以要保证n－１ d 恒为整数, 故d为所有非负整数的公约数, 且d＜０,所以d＝－１,故C正确; 对于 D,由 A 可知,当an＝２０２３n时, {an}为“回旋数列”, 取a２＝２０２３×２,Sm＝２０２３× m(m＋１) ２ , 显然 不 存 在 m,使 得 Sm ＝a２ ＝２０２３×２,故 D 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６１􀅰 第六章　数列