6.3 等比数列-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．项的性质:在等差数列{an}中,若m＋n＝p＋q (m,n,p,q∈N∗ ),则am＋an＝ap＋aq． ２．和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前n 项 和,则 (１)S２n＝n(a１＋a２n)＝􀆺＝n(an＋an＋１); (２)S２n－１＝(２n－１)an． (３)依次k项和成等差数列,即Sk,S２k－Sk,S３k－ S２k,􀆺成等差数列． ３．求等差数列前n项和的最值,常用的方法: (１)邻项变号法,利用等差数列的单调性,求出其正 负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可 求得和的最值; (２)函数法,利用公差不为零的等差数列的前n项 和Sn＝An２＋Bn(A≠０)为二次函数,通过二次 函数的性质求最值． １．在等差数列{an}中,２(a１＋a３＋a５)＋３(a８＋a１０)＝ ３６,则a６＝ (　　) A．８ B．６ C．４ D．３ 解析:D　[由等差数列的性质可知２(a１＋a３＋a５)＋３ (a８＋a１０)＝２×３a３＋３×２a９＝６×２a６＝３６,得a６＝３．] ２．[多选](２０２５􀅰龙岩模拟)等差数列{an}的前n项 和为Sn,a１＋５a３＝S８,则下列结论一定正确的是 (　　) A．a１０＝０ B．当n＝９或１０时,Sn 取最大值 C．|a９|＜|a１１| D．S６＝S１３ 解析:AD　[因为等差数列{an}的前n项和为Sn, a１＋５a３＝S８,所以a１＋５(a１＋２d)＝８a１＋ ８×７ ２ d , 解得a１＝－９d．故a１０＝a１＋９d＝０,故 A 正确;该 数列的前n项和Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ d ２ 􀅰n２－ １９ ２d 􀅰n,它的最值,还跟d的值有关,不能推出当n ＝９或１０时,Sn 取最大值,故B错误;因为|a９|＝| a１＋８d|＝|－d|＝|d|,|a１１|＝|a１＋１０d|＝|d|, 故有|a９|＝|a１１|,故C错误;由于S６＝６a１＋ ６×５ ２ d ＝－３９d,S１３＝１３a１＋ １３×１２ ２ d＝－３９d ,故S６＝ S１３,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §６．３　等比数列 ★[考试要求] １．理解等比数列的概念．２．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．３．了解等比数列与指数函数的关系． 　　　　　　　　学生用书　P１０１ １．等比数列的有关概念 (１)定义:如果一个数列从第２项起,每一项与它的前 一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列 就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比, 通常用字母q表示,定义的数学表达式为 an＋１ an ＝q (n∈N∗ ,q为非零常数)． (２)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G 叫做a 与b的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a, G,b成等比数列⇒G２＝ab． ２．等比数列的有关公式 (１)通项公式:an＝a１qn－１＝amqn－m． (２)前n项和公式: Sn＝ na１(q＝１), a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q (q≠１)． ì î í ïï ï 等比数列的几个常用结论 (１)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠０), １ an{ },{a ２ n},{an􀅰bn}, an bn{ }仍是等比数列． (２)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一 个等比数列,即an,an＋k,an＋２k,an＋３k,􀆺为等比数 列,公比为qk． (３)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数 列,新公比是原公比的k次幂． (４){an}为等比数列,若a１􀅰a２􀅰􀆺􀅰an＝Tn,则Tn, T２n Tn ,T３n T２n ,􀆺成等比数列． (５)当q≠０,q≠１时,Sn＝k－k􀅰qn(k≠０)是{an}成等 比数列的充要条件,此时k＝ a１ １－q． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５１􀅰 高考总复习　数学 A版 (６)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的 积相等．特别地,若项数为奇数时,还等于中间 项的平方． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实 数． (×) (２)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b２＝ac． (×) (３)数列{an}的通项公式是an＝an,则其前n项和为 Sn＝ a(１－an) １－a ． (×) (４)数列{an}为等比数列,则S４,S８－S４,S１２－S８ 成 等比数列． (×) ２．已知等比数列{an},a１＝１,a５＝４,则a３＝ (　　) A．２ B．－２ C．±２ D．２ ２ 解析:A　[由等比数列的性质可知,a２３＝a１􀅰a５＝ ４,所以a３＝±２,又因为 a３ a１ ＝q２＞０,所以a３＝２．] ３．已知{an}是等比数列,且an＞０,a２a４＋２a３a５＋a４a６ ＝２５,那么a３＋a５ 的值为 (　　) A．５ B．１０ C．１５ D．２０ 解析:A　[根据等比数列的性质,得a２a４＝a２３,a４a６ ＝a２５, ∴a２a４＋２a３a５＋a４a６＝a２３＋２a３a５＋a２５＝(a３＋a５)２． 而a２a４＋２a３a５＋a４a６＝２５,∴(a３＋a５)２＝２５, ∵an＞０,∴a３＋a５＝５．] ４．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 １MB,然后每３秒自身复制一次,复制后所占内存 是原来的２倍,那么开机　　　　秒,该病毒占据 内存８GB(１GB＝２１０MB)． 解析:由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大 小构成一等比数列{an}, 且a１＝２,q＝２,∴an＝２n, 则２n＝８×２１０＝２１３,∴n＝１３． 即病毒共复制了１３次． ∴所需时间为１３×３＝３９(秒)． 答案:３９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１０１ 　　　等比数列基本量的运算 [例１]　(１)已知等比数列{an}中,a１＝１,Sn 为{an} 前n项和,S５＝５S３－４,则S４ 可以是 (　　) A．７　　　 B．９　　　 C．１５　　　 D．３０ [解析]　等比数列{an}中,设公比为q,a１＝１,Sn 为{an}前n项和,S５＝５S３－４,当q＝１时,５＝１５－ ４,矛盾,不成立,当q＝－１时,１＝５－４,S４＝０,当q ≠±１时,可得１－q ５ １－q＝５ 􀅰１－q ３ １－q－４ ,解得q２＝４, 即q＝２或q＝－２,所以当q＝２时,S４＝ １－q４ １－q＝ １－１６ １－２＝１５． 当q＝－２时,S４＝ １－q４ １－q＝ １－１６ １＋２＝－ ５,没有选项． [答案]　C (２)[多选]已知正项等比数列{an}满足a１＝２,a４＝ ２a２＋a３．若设其公比为q,前n项和为Sn,则 (　　) A．q＝２ B．an＝２n C．S１０＝２０４７ D．an＋an＋１＜an＋２ [解析]　因为a１＝２,a４＝２a２＋a３,公比为q,所以 ２q３＝４q＋２q２,得q２－q－２＝０,解得q＝２(负值舍 去),故 A 正确;an＝２×２n－１＝２n,故 B正确;Sn＝ ２×(２n－１) ２－１ ＝２ n＋１－２,所以S１０＝２０４６,故C错误; an＋an＋１＝２n＋２×２n＝３an,而an＋２＝４an＞３an,故 D正确． [答案]　ABD 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解决等比数列有关问题的两种常用思想 (１)方程思想,等比数列中有五个量a１,n,q,an, Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求 关键量a１ 和q,问题可迎刃而解． (２)分类讨论思想,等比数列的前n项和公式涉及 对公比q 的分类讨论,当q＝１时,{an}的前n 项和Sn＝na１;当q≠１时,{an}的前n项和Sn ＝ a１(１－qn) １－q ＝ a１－anq １－q ． [多选]已知等比数列{an}的各项均为正数,且３a１, １ ２a３ ,２a２ 成等差数列,则下列说法正确的是(　　) A．a１＞０ B．q＞０ C． a３ a２ ＝３或 a３ a２ ＝－１ D． a６ a４ ＝９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５１􀅰 第六章　数列 解析:ABD　[设等比数列{an}的公比为q, 因为数列{an}的各项均为正数,所以a１＞０,且q＞ ０,故 A,B正确; 由题 意 得 ２× １２a３ ＝３a１ ＋２a２ ,即 a１q２ ＝３a１ ＋２a１q． 两边除以a１ 得q２－２q－３＝０,解得q＝３或q＝－１ (舍去), 所以 a３ a２ ＝q＝３, a６ a４ ＝q２＝９,故C错误,D正确．] 　　　等比数列的判定与证明 [例２]　(２０２５􀅰开封质检)已知数列{an}的首项a１ ＞０,an＋１＝ ３an ２an＋１ (n∈N∗ ),且a１＝ ２ ３． (１)求证:１an －１{ }是等比数列,并求出{an}的通项 公式; (２)求数列 １an{ }的前n 项和Tn． [解]　(１)记bn＝ １ an －１, 则 bn＋１ bn ＝ １ an＋１ －１ １ an －１ ＝ ２an＋１ ３an －１ １ an －１ ＝ ２an＋１－３an ３－３an ＝ １－an ３(１－an) ＝１３ , 又b１＝ １ a１ －１＝３２－１＝ １ ２ , 所以 １ an －１{ }是首项为１２,公比为 １ ３ 的等比数列． 所以１ an －１＝１２ 􀅰 １ ３ æ è ç ö ø ÷ n－１ , 即an＝ ２􀅰３n－１ １＋２􀅰３n－１ ． 当n＝１时,a１＝ ２􀅰３° １＋２􀅰３°＝ ２ ３ 成立, 所以数列{an}的通项公式为an＝ ２􀅰３n－１ １＋２􀅰３n－１ ． (２)由(１)知,１an －１＝１２ 􀅰 １ ３ æ è ç ö ø ÷ n－１ , 即１ an ＝１２ 􀅰 １ ３ æ è ç ö ø ÷ n－１ ＋１． 所以数列 １ an{ }的前n 项和 Tn＝ １ ２ １－ １ ３n æ è ç ö ø ÷ １－１３ ＋n＝３４ １－ １ ３n æ è ç ö ø ÷＋n． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 等比数列的三种常用判定方法 １．定义法:若 an＋１ an ＝q(q 为非零常数,n∈N∗ )或 an an－１ ＝q(q为非零常数且n≥２,n∈N∗ ),则{an} 是等比数列． ２．等比中项法:若数列{an}中,an≠０且a２n＋１＝an􀅰 an＋２(n∈N∗ ),则{an}是等比数列． ３．通项公式法:若数列{an}的通项公式可写成an ＝c􀅰qn－１(c,q均是不为０的常数,n∈N∗ ),则 {an}是等比数列． [多选]已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正 确的是 (　　) A．若b２＝ac,则a,b,c成等比数列 B．若{an}为等差数列,则{２an}为等比数列 C．若Sn＝３n－１,则数列{an}为等比数列 D．若a１＝１,a２＝２,３an＋１＝an＋２an＋２(n∈N∗ ),则 {an＋１－an}为等比数列 解析:BCD　[对于 A,当a＝b＝c＝０时有b２＝ac, 此时a,b,c不成等比数列,故 A 错; 对于B,若{an}为等差数列,设其公差为d,则此时 有２ an＋１ ２an ＝２an＋１－an＝２d＞０, 所以数列{２an}为等比数列,故B对; 对于C,若Sn＝３n－１,则a１＝S１＝２, an＝Sn－Sn－１＝３n－１－(３n－１－１)＝３n－３n－１＝２􀅰 ３n－１(n≥２), a１＝２显然满足an＝２􀅰３n－１,所以数列{an}为等比 数列,故C正确; 对于 D:因 为 ３an＋１ ＝an ＋２an＋２,所 以 ２(an＋２ － an＋１)－(an＋１－an)＝０, 而a１＝１,a２＝２,因此数列{an＋１－an}是首项为１, 公比为１ ２ 的等比数列,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５１􀅰 高考总复习　数学 A版 　　　等比数列性质 ▶[角度１]　等比数列项的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－１]　在等比数列{an}中,a３,a１５是方程x２＋６x ＋２＝０的两根,则 a２a１６ a９ 的值为 (　　) A．－２ B．－ ２ C．２ D．－ ２或 ２ [解析]　设等比数列{an}的公比为q,因为a３,a１５ 是方程x２＋６x＋２＝０的根,所以a３􀅰a１５＝a２９＝２, a３＋a１５＝－６,又a３、a１５同号,所以a３＜０,a１５＜０, 则a９＝－ ２,所以 a２a１６ a９ ＝ a２９ a９ ＝a９＝－ ２． [答案]　B ▶[角度２]　等比数列前n项和的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例３－２]　记Sn 为等比数列{an}的前n项和,若S４ ＝－５,S６＝２１S２,则S８＝ (　　) A．１２０ B．８５ C．－８５ D．－１２０ [解析]　方法一:设等比数列{an}的公比为q(q≠ ０),由题意易知q≠１, 则 a１(１－q４) １－q ＝－５ , a１(１－q６) １－q ＝２１× a１(１－q２) １－q , ì î í ï ï ï ï 化简整理得 q２＝４, a１ １－q＝ １ ３． ì î í ïï ï 所以S８＝ a１(１－q８) １－q ＝ １ ３ ×(１－４４)＝－８５． 方法二:易知S２,S４－S２,S６－S４,S８－S６,􀆺为等 比数列,所以(S４－S２)２＝S２􀅰(S６－S４),解得S２＝ －１或S２＝ ５ ４． 当S２＝－１时,由(S６－S４)２＝(S４ －S２)􀅰(S８－S６),解得S８＝－８５;当S２＝ ５ ４ 时,结 合S４ ＝－５ 得 a１(１－q４) １－q ＝－５ , a１(１－q２) １－q ＝ ５ ４ , ì î í ï ï ï ï 化 简 可 得q２ ＝ －５,不成立,舍去．所以S８＝－８５． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 应用等比数列性质的两个关注点 (１)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另 外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(２)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列 问题解决,例如有关Sm,S２m,S３m的问题可利用 Sm,S２m －Sm,S３m －S２m (Sn ≠０)成等比数列 求解． １．已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,若a２＋a４ ＋a６＝４π,b２b４b６＝３ ３,则tan a１＋a７ １＋b２b６ ＝ (　　) A．－ ３ B．－ ３３ C． ３ ３ D．３ 解析:A　[因为{an}是等差数列,所以a２＋a４＋a６ ＝３a４＝４π,故a４＝ ４π ３ ,则a１＋a７＝２a４＝ ８π ３ , 因为{bn}是等比数列,所以b２b４b６＝b３４＝３ ３,故b４ ＝ ３,则b２b６＝b２４＝３, 所以tan a１＋a７ １＋b２b６ ＝tan２π３＝－ ３． ] ２．[多选]设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为 Sn,前n项积为Tn,且满足条件a１＞１,a２０２４a２０２５＞ １,(a２０２４－１)(a２０２５－１)＜０,则下列结论正确的是 (　　) A．{an}为递减数列 B．S２０２４＋１＜S２０２５ C．T２０２４是数列{Tn}中的最大项 D．T４０４９＞１ 解析:AC　 [由 (a２０２４ －１)(a２０２５ －１)＜０,得 a２０２４－１＞０, a２０２５－１＜０{ 或 a２０２４－１＜０, a２０２５－１＞０．{ ∵a１＞１,a２０２４a２０２５ ＞１,∴a２０２４和a２０２５同号,且一个大于１,一个小于 １．∵a１＞１,∴a２０２４＞１,a２０２５＜１,即数列{an}的前 ２０２４项都大于１,而从第２０２５项开始都小于１,公 比q＝ a２０２５ a２０２４ ＜１．∵a１＞１,∴an＝a１qn－１为减函数,故 {an}为递减数列,故 A 正确;∵a２０２５＜１,∴a２０２５＝ S２０２５－S２０２４＜１,即S２０２４＋１＞S２０２５,故 B错误;等 比数列{an}的 前n 项 积 为Tn,且 数 列 {an}的 前 ２０２４项大于１,而从第２０２５项开始都小于１,故 T２０２４是数列{Tn}中的最大项,故 C 正确;T４０４９＝ a１a２a３􀆺a４０４９＝a４０４９２０２５,∵a２０２５＜１,∴a４０４９２０２５＜１,即 T４０４９＜１,故 D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５１􀅰 第六章　数列 学生用书　P１０３ 　　高考中与数列相关的计算与证明问题中经常出现利用递推关系构造新数列问题,此类问题一般含有一定 的技巧性,难度中等． [典例]　(１)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a１＝１, Sn＋１－２Sn＝１,n∈N∗．则通项公式an＝　　　　． [解析]　因为Sn＋１－２Sn＝１, 所以Sn＋１＝２Sn＋１． 因此Sn＋１＋１＝２(Sn＋１), Sn＋１＋１ Sn＋１ ＝２． 因为a１＝S１＝１,S１＋１＝２, 所以{Sn＋１}是首项为２,公比为２的等比数列． 所以Sn＋１＝２n,Sn＝２n－１． 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝２n－１,a１＝１也满足此式, 故an＝２n－１(n∈N∗ )． [答案]　２n－１(n∈N∗ ) (２)在数列{bn}中,b１＝－１,bn＋１＝ bn ３bn＋２ ,n∈N∗ , 则通项公式bn＝　　　　． [解析]　对递推式bn＋１＝ bn ３bn＋２ 的两边同时取倒数, 得 １ bn＋１ ＝ ３bn＋２ bn ,即 １ bn＋１ ＝２􀅰１bn ＋３, 因此 １ bn＋１ ＋３＝２􀅰 １bn ＋３æ è ç ö ø ÷,１ b１ ＋３＝２, 故 １ bn ＋３{ }是以２为首项、２为公比的等比数列, 于是１ bn ＋３＝２􀅰２n－１＝２n,可得bn＝ １ ２n－３ (n∈N∗)． [答案]　 １ ２n－３ (n∈N∗ ) (３)在数列{an}中,a１＝ １ ２ ,且an＋１＝－２an＋３n＋１ (n∈N∗ ),则通项公式an＝　　　　． [解析]　递推式的两边同时除以３n＋１, 得到 an＋１ ３n＋１ ＝－２３ 􀅰an ３n ＋１． 令bn＝ an ３n ,则bn＋１＝－ ２ ３bn＋１． 显然有bn＋１－ ３ ５＝－ ２ ３ bn－ ３ ５ æ è ç ö ø ÷,b１－ ３ ５＝－ １３ ３０ , 故 bn－ ３ ５{ }是以－ １３ ３０ 为首项,－２３ 为公比的等比数列． 因此bn－ ３ ５＝－ １３ ３０ 􀅰 －２３ æ è ç ö ø ÷ n－１ , 可得an＝－ １３ １０ 􀅰(－２)n－１＋１５ 􀅰３n＋１(n∈N∗ )． [答案]　－１３１０× (－２)n－１＋１５×３ n＋１(n∈N∗ ) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)形如an＋１＝can＋d(c≠０,其中a１＝a)型 ①若c＝１,数列{an}为等差数列; ②若d＝０,数列{an}为等比数列; ③若c≠１且d≠０,数列{an}为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(２)形如an＋１＝ ran pan＋q (r,p,q为常数,r＞０,p,q, an≠０)型 an＋１＝ ran pan＋q (r,p,q为常数,r＞０,p,q,an≠０)的 求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线 性递推式an＝Aan－１＋B(n≥２,A,B 是常数), 进而求解． (３)形如an＋１＝pan＋q􀅰pn＋１(p≠０,１,q≠０)型 an＋１＝pan＋q􀅰pn＋１(p≠０,１,q≠０)的求解方 法是等式两边同时除以pn＋１,即得 an＋１ pn＋１ － an pn ＝ q,则数列 an pn{ }为等差数列． [多选]已知数列{an}满足a１＝１,an＋１＝ an ２＋３an (n ∈N＋ ),则下列结论正确的是 (　　) A．１an ＋３{ }为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ １ ２n－１－３ C．{an}为递增数列 D．１an{ }的前n 项和Tn＝２ n＋２－３n－４ 解析:AD　[因为an＋１＝ an ２＋３an , 所以 １ an＋１ ＝ ２＋３an an ＝２an ＋３, 所以 １ an＋１ ＋３＝２ １an ＋３æ è ç ö ø ÷,且１ a１ ＋３＝４≠０, 所以 １ an ＋３{ }是以４为首项,２为公比的等比数列, 即１ an ＋３＝４×２n－１,所以１an ＝２n＋１－３, 可得an＝ １ ２n＋１－３ ,故选项 A 正确,选项B错误; 因为１ an ＝２n＋１－３单调递增, 所以an＝ １ ２n＋１－３ 单调递减, 即{an}为递减数列,故选项C错误; １ an{ }的前n 项和Tn＝(２ ２－３)＋(２３－３)＋􀆺＋ (２n＋１－３)＝(２２＋２３＋􀆺＋２n＋１)－３n＝２２×１－２ n １－２ －３n＝２n＋２－３n－４．故选项 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５１􀅰 高考总复习　数学 A版