课时28 解三角形中的最值与范围问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关２８　解三角形中的最值与范围问题 对应学生用书　P２５４ [基础巩固练] １．(２０２５􀅰青岛模拟)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且c＝２ ３, ２sin２C－π３ æ è ç ö ø ÷＝ ３． (１)若a＝２ ２,求角A; (２)求△ABC面积的最大值． 解:(１)由２sin２C－π３ æ è ç ö ø ÷＝ ３, 得sin２C－π３ æ è ç ö ø ÷＝ ３２ , 因为△ABC 为锐角三角形,所以C∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, 则２C－π３∈ － π ３ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷, 所以２C－π３＝ π ３ ,得C＝π３ , 由正弦定理得 a sinA＝ c sinC ,２ ２ sinA＝ ２ ３ sinπ３ ,得 sinA＝ ２２ , 因为A∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,所以A＝π４． (２)由(１)可知C＝π３ ,在锐角三角形ABC 中,c ＝２ ３,C＝π３ , 则由余弦定理得c２＝a２＋b２－２abcosC, 即１２＝a２＋b２－２abcosπ３＝a ２＋b２－ab≥２ab－ ab＝ab,当且仅当a＝b时取等号, 所以ab的最大值为１２, 所以１ ２absinC≤ １ ２×１２× ３ ２＝３ ３ ,当且仅当a ＝b时取等号, 所以△ABC 面积的最大值为３ ３． ２．(２０２５􀅰绵阳模拟)在斜三角形 ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos(C－B) sinA＝cos(C－A)sinB． (１)证明:A＝B; (２)若１c＝sinB ,求１ c２ －１ a２ 的最小值． 解:(１)证明:在△ABC 中,A＋B＋C＝π, ∵cos(C－B)sinA＝cos(C－A)sinB, ∴(cosCcosB＋sinCsinB)sinA＝(cosCcosA＋ sinCsinA)sinB, ∴cosCcosBsinA＝cosCcosAsinB, 又∵△ABC 为斜三角形,∴cosC≠０, ∴cosBsinA＝cosAsinB,∴sin(A－B)＝０, ∵A,B 为△ABC 的内角,∴A＝B． (２)由题意及(１)得, 在△ABC 中,∵A＝B,∴a＝b,△ABC 是等腰 三角形,由正弦定理得 b sinB＝ c sinC , 则１ b＝ sinC csinB ,又１ c＝sinB ,即csinB＝１, ∴１a＝ １ b＝sinC＝sin (A＋B)＝sin２B, ∴ １ c２ － １ a２ ＝ sin２B － sin２２B ＝ sin２B － ４cos２Bsin２B＝sin２B－４(１－sin２B)sin２B, 令sin２B＝t,f(t)＝t－４(１－t)t＝４t２－３t＝ ４t－３８ æ è ç ö ø ÷ ２ －９１６ ,又０＜sin２B＜１,即０＜t＜１, ∴当t＝３８ ,即sinB＝ ６４ 时,f(t)取最小值,且 f(t)min＝－ ９ １６ ,此时A＝B≠π４ ,则C≠π２ ,符合 题意． ∴１ c２ －１ a２ 的最小值为－９１６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７３􀅰 高考总复习　数学 A版 ３．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且２bsin A＋π６ æ è ç ö ø ÷＝a＋c． (１)求B; (２)若△ABC为锐角三角形,且b＝２,求其周长 的取值范围． 解:(１)因为２bsin A＋π６ æ è ç ö ø ÷＝a＋c, 由正弦定理可得 ２sinBsin A＋π６ æ è ç ö ø ÷＝sinA＋sinC, 即２sinB ３ ２sinA＋ １ ２cosA æ è ç ö ø ÷＝sinA＋sin(A ＋B), 整理得 ３sinBsinA＝sinA＋cosBsinA, 又A∈(０,π),所以sinA≠０, 所以 ３sinB－cosB＝１,即sinB－π６ æ è ç ö ø ÷＝１２ , 又B∈(０,π),所以B－π６∈ － π ６ ,５π ６ æ è ç ö ø ÷, 所以B－π６＝ π ６ ,即B＝π３． (２)由(１)知B＝π３ ,又b＝２, 由正弦定理,得 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝ ４ ３ , 所以a＝４ ３ sinA,c＝４ ３ sinC, 所以a＋c＝４ ３ (sinA＋sinC) ＝４ ３ sinA＋sin２π３－A æ è ç ö ø ÷[ ] ＝４ ３ ３ ２sinA＋ ３ ２cosA æ è ç ö ø ÷＝４sin A＋π６ æ è ç ö ø ÷, 在锐角△ABC 中, ０＜C＝２π３－A＜ π ２ ０＜A＜π２ ì î í ï ï ï ï ⇒π６＜A＜ π ２ ,则π ３＜A＋ π ６＜ ２π ３ , 所以 ３ ２＜sin A＋ π ６ æ è ç ö ø ÷≤１,则２ ３＜a＋c≤４, 故△ABC 的周长的取值范围为(２ ３＋２,６]． [能力提升练] ４．在△ABC中,锐角A,B,C 的对边分别为a,b, c,已知(b－c)sinB＝bsin(A－C)． (１)求角A 的大小; (２)求sinA＋sinB＋sinC的取值范围． 解:(１)由(b－c)sinB＝bsin(A－C),得(b－c) sinB＝b(sinAcosC－cosAsinC), 由正弦定理及余弦定理的推论得 b２－bc＝abcosC－bccosA＝a ２＋b２－c２ ２ － b２＋c２－a２ ２ ＝a ２－c２, 所以a２ ＝b２ ＋c２ －bc,又 因 为a２ ＝b２ ＋c２ － ２bccosA,所以cosA＝１２ , 又A∈(０,π),所以A＝π３． (２)由(１)得A＝π３ , 则 sin A ＋sin B ＋sinC ＝ ３２ ＋sin B ＋ sin２π３－B æ è ç ö ø ÷ ＝sinB＋sin２π３cosB－cos ２π ３sinB＋ ３ ２ ＝３２sinB＋ ３ ２cosB＋ ３ ２ ＝ ３sinB＋π６ æ è ç ö ø ÷＋ ３２ , 在锐角△ABC 中,A＝π３ ,所以０＜B＜π２ 且０＜ ２π ３－B＜ π ２ , 所以π ６＜B＜ π ２ ,所以π ３＜B＋ π ６＜ ２π ３ ,所以 ３ ２ ＜sinB＋π６ æ è ç ö ø ÷≤１, 所以 ３＋３ ２ ＜ ３sinB＋ π ６ æ è ç ö ø ÷＋ ３２≤ ３ ３ ２ , 所 以 sin A ＋sin B ＋sin C 的 取 值 范 围 为 ３＋ ３ ２ ,３ ３ ２ æ è ç ù û úú． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７３􀅰 第四章　三角函数与解三角形