课时27 正弦定理、余弦定理-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关２７　正弦定理、余弦定理 对应学生用书　P２５２ [基础巩固练] 一、单选题 １．在△ABC中,C＝６０°,a＋２b＝８,sinA＝６sinB, 则c等于 (　　) A．３５ B．３１ C．６ D．５ 解析:B　[因为sinA＝６sinB,由正弦定理可得 a＝６b,又a＋２b＝８,所以a＝６,b＝１,因为C＝ ６０°,所以c２＝a２＋b２－２abcosC,即c２＝６２＋１２ －２×１×６×１２ ,解得c＝ ３１．] ２．在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c依次成 等差数列,且B＝π３ ,则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析:A　[因为a,b,c依次成等差数列, 所以b＝a＋c２ ． 由余弦定理可得cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ １ ２ , 将b＝a＋c２ 代入上式整理得(a－c)２＝０, 所以a＝c． 又B＝π３ ,所以△ABC 为等边三角形．] ３．在 △ABC 中,内 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c．点D 为BC 的中 点,AD＝１,B＝π３ ,且△ABC 的面积为 ３２ ,则c ＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:A　 [因 为 B＝ π３ ,由 余 弦 定 理 得c２ ＋ a ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －２c×a２cos π ３＝１ ,即a２＋４c２－２ac＝４, 又S△ABC＝ １ ２acsinB＝ ３ ４ac＝ ３ ２ ,得ac＝２,所 以a２＋４c２－２ac＝４＝２ac,即４c２－４ac＋a２＝０, 故(２c－a)２ ＝０,则a＝２c,所 以 ２c２ ＝２,故c ＝１．] ４．在△ABC中,内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,且满足 (b－c)２ －a２ ＝ －bc,若a＝ ３,则 △ABC外接圆的半径长为 (　　) A．３ B．１ C．２ D．１２ 解析:B　[由(b－c)２－a２＝－bc,可得b２＋c２－ a２＝bc,再由余弦定理可得:cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝bc２bc＝ １ ２ ,故 A＝π３ ,因为a＝ ３,所以２R＝ a sinA＝ ３ ３ ２ a,则R＝１．] ５．(２０２５􀅰鹰潭模拟)在三角形 ABC 中,a＝１, b＋c sinA＝ a＋b sinA＋sinB－sinC ,求bsinA＝ (　　) A．３２ B． ２ ３ C．１２ D． ６ ２ 解析:A　[∵b＋csinA＝ a＋b sinA＋sinB－sinC ,由 正弦定理得b＋c a ＝ a＋b a＋b－c ,整理得a２＋c２－b２ ＝ac, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６３􀅰 高考总复习　数学 A版 由余弦定理得cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ １ ２ ,∵０＜B ＜π,∴B＝π３． 由正弦定理 a sinA＝ b sinB 得bsinA＝asinB＝１ ×sinπ３＝ ３ ２． ] ６．(２０２５􀅰乐山统考)已知△ABC 中,AB →􀅰AC → ＝ －３,AB＝２,cos２A＋sin２B＋sin２C＋sinBsinC ＝１,D 是边BC 上一点,∠CAD＝３∠BAD．则 AD 等于 (　　) A．６５ B． ３ ３ ４ C．６２ D． ６ ３ ７ 解析:B　[设△ABC 中,角A,B,C 的对边为a, b,c, ∵cos２A＋sin２B＋sin２C＋sinBsinC＝１, 即sin２B＋sin２C＋sinBsinC＝sin２A, ∴b２＋c２＋bc＝a２, ∴cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２ , 又A∈(０,π),∴A＝２π３ , 又AB →􀅰AC → ＝－３,AB＝２, ∴AB →􀅰AC → ＝２bcosA＝２b× －１２ æ è ç ö ø ÷＝－３, 即b＝３, ∴a２＝b２＋c２＋bc＝３２＋２２＋３×２＝１９, 故a＝ １９, ∴cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １９＋９－４ ６ １９ ＝ ４ １９ , sinC＝ ３ １９ ,tanC＝ ３４ , 又∠CAD＝３∠BAD,A＝２π３ , ∴∠CAD＝π２ ,AD＝ACtanC＝３× ３４＝ ３ ３ ４ ． ] 二、多选题 ７．在△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b, c．下列结论正确的是 (　　) A．a２＝b２＋c２－２bccosA B．asinB＝bsinA C．a＝bcosC＋ccosB D．acosB＋bcosA＝sinC 解析:ABC　[在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为a,b,c． 在 A 中,由余弦定理得:a２＝b２＋c２－２bccosA, 故 A 正确; 在B中,由正弦定理得:asinA＝ b sinB , ∴asinB＝bsinA,故B正确; 在C中,∵a＝bcosC＋ccosB, ∴ 由 余 弦 定 理 得:a＝b×a ２＋b２－c２ ２ab ＋c ×a ２＋c２－b２ ２ac , 整理,得２a２＝２a２,故C正确; 在 D 中,由余弦定理得acosB＋bcosA＝a× a２＋c２－b２ ２ac ＋b× b２＋c２－a２ ２bc ＝c≠sinC ,故 D 错误．] ８．已知△ABC的三个内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若a＝２,A＝π３ ,且 ３ ２－sin (B－C)＝sin ２B,则△ABC的面积为 (　　) A．３ B．２ ３ C．２ ３３ D． ３ ３ 解析:AC　[∵A＝ π３ ,且 ３ ２ －sin (B－C)＝ sin２B, ∴ ３２＝sin２B＋sin (B－C), 即sinA＝sin２B＋sin(B－C), 又sinA＝sin(B＋C), ∴sinBcosC＋cosBsinC＝２sinBcosB＋sinB cosC－cosBsinC, 即cosBsinC＝sinBcosB． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６３􀅰 第四章　三角函数与解三角形 当cosB＝０时,可得B＝π２ ,C＝π６ , ∴S△ABC＝ １ ２ac＝ １ ２×２×２×tan π ６＝ ２ ３ ３ ; 当cosB≠０时,sinB＝sinC, 由正弦定理可知b＝c, ∴△ABC 为等腰三角形, 又∵A＝π３ ,∴a＝b＝c＝２． ∴S△ABC＝ ３ ４a ２＝ ３． 综上可知,△ABC 的面积为 ３或２ ３３ ． ] 三、填空题 ９．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,２cosAbc ＝ cosB ab ＋ cosC ac ,则A＝　　　　． 解析:因为２cosA bc ＝ cosB ab ＋ cosC ac , 所以２a􀅰cosA＝c􀅰cosB＋b􀅰cosC, 由正弦定理得２sinAcosA＝sinCcosB＋sin BcosC, 即２sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA, 因为sinA＞０, 所以cosA＝１２ , 因为A 为三角形内角,则A＝π３． 答案:π ３ １０．(２０２５􀅰广州调研)△ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,asinCsin(A＋C)＝２ ３csinAsin２ B ２ ,则角B 的大小为　　　　;若a＋c＝６, △ABC的面积为２ ３,则b的值为　　　　． 解析:由正弦定理可得 sinAsinCsin(A＋C)＝２ ３sinC􀅰sinAsin２B２ , ∵sinAsinC≠０,A＋C＝π－B, ∴sinB＝２ ３sin２B２ , 即２sinB２cos B ２＝２ ３sin ２ B ２ , 又０＜B２＜ π ２ ,故tanB２＝ ３ ３ , ∴B２＝ π ６ ,即B＝π３． ∵S△ABC＝ １ ２acsinB＝２ ３ , ∴ac＝８,而a＋c＝６, ∴(a＋c)２＝a２＋２ac＋c２＝３６, ∴a２＋c２＝２０, 由余弦定理得b２＝a２＋c２－２accosB＝２０－８ ＝１２,解得b＝２ ３． 答案:π ３　２ ３ 四、解答题 １１．在△ABC 中,点D 在线段AB 上,且AD＝５, BD＝３,若CB＝２CD,cos∠CDB＝－ ５５． (１)求△ABC面积． (２)证明△ABC为钝角三角形． 解:(１)设线段CD＝a,则 BC＝２a,在△BCD 中,由余弦定理得BC２＝CD２＋BD２－２CD􀅰 BDcos∠CDB,即 ４a２ ＝a２ ＋９－２a×３× － ５５ æ è ç ö ø ÷,解 得 a＝ ５ (负值舍去),则 CD＝ ５,BC＝２ ５,又 ０＜ ∠CDB＜π,则sin∠CDB＝ １－cos２∠CDB＝ ２ ５ ５ ,所以S△DBC ＝ １ ２BD 􀅰CDsin∠CDB＝１２ ×３× ５×２ ５５ ＝３ ,又因为AD＝５,BD＝３,所 以S△ABC＝ ３＋５ ３ S△DBC＝８． (２)因为cos∠ADC＝cos π－∠CDB( ) ＝ ５５ , 所以在△ADC 中,AC２＝AD２＋CD２－２AD􀅰 CD􀅰cos∠ADC ＝２５＋５－２×５× ５× ５５＝ ２０,所以 AC＝２ ５,故在△ABC 中,cosC＝ BC２＋AC２－AB２ ２BC􀅰AC ＝ ２０＋２０－６４ ２×２ ５×２ ５ ＝－３５＜０ , 所以∠C 为钝角,则△ABC 为钝角三角形． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６３􀅰 高考总复习　数学 A版 １２．(２０２３􀅰新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积 为 ３,D 为BC 的中点,且AD＝１． (１)若∠ADC＝π３ ,求tanB; (２)若b２＋c２＝８,求b,c． 解:(１)因为S△ABC＝２S△ADC＝２× １ ２× a ２×１× sin６０°＝ ３４a＝ ３ ,解得a＝４, 在△ADC 中由余弦定理得b２＝１２＋２２－２×１ ×２×cosπ３＝３ , 在△ABD中,c２＝１２＋２２－２×１×２×cos２π３＝７ , 在 △ABC 中,cosB＝c ２＋a２－b２ ２ca ＝ ７＋１６－３ ２ ７×４ ＝５ ７１４ ,sinB＝ １－cos２B＝ ２１１４ ,因此tanB ＝sinBcosB＝ ３ ５． (２)在△ABC 中,由中线长公式可得(２AD)２＋ BC２＝２(AB２＋AC２),即２２＋a２＝２(b２＋c２)＝ １６,所以a２＝１２,又S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ,因 而bcsinA＝２ ３,又由余弦定理得a２＝b２＋c２ －２bccosA,即１２＝８－２bccosA,所以bccosA ＝－２,故tanA＝－ ３⇒cosA＝－１２ ,所以bc ＝４,又b２＋c２＋２bc＝８＋８＝１６＝(b＋c)２,b２＋ c２－２bc＝８－８＝０＝(b－c)２,故可得b＝c＝２． [能力提升练] １３．[多选]在△ABC 中,D 在线段AB 上,且AD ＝５,BD＝３,若CB＝２CD,cos∠CDB＝－ ５５ , 则 (　　) A．sin∠CDB＝３１０ B．△ABC的面积为８ C．△ABC的周长为８＋４ ５ D．△ABC为钝角三角形 解析:BCD　[由cos∠CDB＝－ ５５ 可得sin∠CDB＝ １－１５＝ ２ ５ ５ ,故 A 错 误;设 CD＝x,CB＝２x,在 △CBD 中,由余弦定理,可得－ ５５ ＝９＋x ２－４x２ ６x ,整 理 可 得,５x２ － ２ ５x－１５＝０,解得x＝ ５,即CD＝ ５,CB＝ ２ ５,所以S△ABC＝S△BCD ＋S△ADC＝ １ ２×３× ５ ×２ ５５ ＋ １ ２×５× ５× ２ ５ ５ ＝８ ,故 B 正确;由 余弦定 理,可 知 cosB＝BC ２＋BD２－CD２ ２BC􀅰BD ＝ BC２＋AB２－AC２ ２BC􀅰AB ,即 ２０＋９－５ ２×３×２ ５ ＝２０＋６４－AC ２ ２×８×２ ５ ,解得 AC＝２ ５,故△ABC 的 周长AB＋AC＋BC＝８＋２ ５＋２ ５＝８＋４ ５, 故C正 确;由 余 弦 定 理,可 得 cos∠ACB＝ ２０＋２０－６４ ２×２ ５×２ ５ ＝－３５＜０ ,故∠ACB 为钝角,D 正确．] １４．(２０２５􀅰珠海模拟)△ABC 中,内角A,B,C 对 的边长分别为a,b,c,且满足２cosBcosC(tan B＋tanC)＝cosBtanB＋cosCtanC,则cosA 的最小值是　　　　． 解析:２cosBcosC(tanB＋tanC)＝２cosBcos C sinBcosB＋ sinC cosC æ è ç ö ø ÷, ＝２sinBcosC＋２sinCcosB＝２sin(B＋C)＝ ２sinA, cosBtanB＋cosCtanC＝sinB＋sinC, 所以sinB＋sinC＝２sinA, 由正弦定理得,b＋c＝２a, 由 余 弦 定 理 得,cos A ＝ b ２＋c２－a２ ２bc ＝ b２＋c２－ b＋c２ æ è ç ö ø ÷ ２ ２bc ＝ ３(b２＋c２) ８bc － １ ４≥ ３bc ４bc－ １ ４ ＝１２ , 当且仅当b＝c＝a时取等号,此时A＝π３． 答案:１ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６３􀅰 第四章　三角函数与解三角形