课时25 三角函数的图象与性质-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版2019）

课时冲关２５　三角函数的图象与性质 对应学生用书　P２４８ [基础巩固练] 一、单选题 １．已知函数f(x)＝sinωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)的最小正 周期为π,则f π８ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１　　　B．１２　　　 C．－１　　　D．－ １ ２ 解析:A　[由题设知２πω＝π ,所以ω＝２,f(x)＝ sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷,所以f π８ æ è ç ö ø ÷＝sin ２×π８＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ sinπ２＝１． ] ２．已知a∈R,记y＝sinx 在[a,２a]的最小值为 sa,在[２a,３a]的最小值为ta,则下列情况不可能 的是 (　　) A．sa＞０,ta＞０ B．sa＜０,ta＜０ C．sa＞０,ta＜０ D．sa＜０,ta＞０ 解析:D　[由给定区间可知,a＞０． 区间[a,２a]与区间[２a,３a]相邻,且区间长度相同． 取a＝π６ ,则[a,２a]＝ π６ ,π ３[ ],区间[２a,３a]＝ π ３ ,π ２[ ],可知sa＞０,ta＞０,故 A 可能; 取a＝５π１２ ,则[a,２a]＝ ５π１２ ,５π ６[ ],区间[２a,３a] ＝ ５π６ ,５π ４[ ],可知sa＞０,ta＜０,故C可能; 取a＝７π６ ,则[a,２a]＝ ７π６ ,７π ３[ ],区间[２a,３a] ＝ ７π３ ,７π ２[ ],可知sa＜０,ta＜０,故B可能． 结合选项可得,不可能的是sa＜０,ta＞０．] ３．函数f(x)＝２sinx＋５π６ æ è ç ö ø ÷sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷图象的对 称轴可以是 (　　) A．直线x＝５π１２ B． 直线x＝π３ C．直线x＝π６ D． 直线x＝２π３ 解析:A　[f(x)＝２sin x＋π３ æ è ç ö ø ÷＋π２[ ] sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷＝２cosx＋π３ æ è ç ö ø ÷sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷ ＝sin２x＋２π３ æ è ç ö ø ÷,令２x＋２π３＝ π ２＋kπ (k∈Z),解 得x＝－π１２＋ kπ ２ (k∈Z),所以f(x)的对称轴为 直线x＝－π１２＋ kπ ２ (k∈Z),当k＝１时,x＝５π１２． ] ４．(２０２５􀅰 济 南 模 拟 )已 知 函 数 y ＝ ２sin x＋θ＋π３ æ è ç ö ø ÷ θ∈ －π２ ,π ２[ ] æ è ç ö ø ÷是偶函数,则θ的 值为 (　　) A．０ B．π６ C． π ４ D． π ３ 解析:B　[因为函数y＝２sin x＋θ＋π３ æ è ç ö ø ÷ 为偶 函数,所 以θ＋ π３ ＝kπ＋ π ２ (k∈Z)．又θ∈ －π２ ,π ２[ ],所以θ＋ π ３＝ π ２ ,解得θ＝π６ ,经检 验符合题意．] ５．若α∈ π４ ,π ２ æ è ç ö ø ÷,则sinα,cosα,tanα的大小顺 序是 (　　) A．cosα＜tanα＜sinα B．tanα＜cosα＜sinα C．cosα＜sinα＜tanα D．sinα＜cosα＜tanα 解析:C　[当α∈ π４ ,π ２ æ è ç ö ø ÷,２ ２ ＜sinα＜１ ,０＜ cosα＜ ２２ ,tanα＞１,则０＜cosα＜ ２２＜sinα＜１ ＜tanα,则cosα＜sinα＜tanα．] ６．如 果 函 数 y＝３cos(２x＋φ)的 图 象 关 于 点 ４π ３ ,０æ è ç ö ø ÷对称,那么|φ|的最小值为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３　 D． π ２ 解析:A　[由题意得３cos２×４π３＋φ æ è ç ö ø ÷ ＝３cos２π３＋φ＋２π æ è ç ö ø ÷＝３cos２π３＋φ æ è ç ö ø ÷＝０, ∴２π３＋φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z), ∴φ＝kπ－ π ６ (k∈Z),取k＝０,得|φ|的最小值 为π ６． ] 二、多选题 ７．(２０２５􀅰广东珠海模拟)已知f(x)＝cos(sinx),则 下列选项中正确的是 (　　) A．f(x)＝f(x＋π) B．f(x)关于x＝π轴对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５３􀅰 第四章　三角函数与解三角形 C．f(x)关于 π２ ,０æ è ç ö ø ÷中心对称 D．f(x)的值域为[－１,１] 解析:AB　[A 中,因为f(x)＝cos(sinx),所以 f(x＋π)＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝ cos(sinx)＝f(x),所以 A 正确;B中,由 A 可 得f(x＋π)＝f(x),f(－x＋π)＝cos[sin(－x＋π)] ＝cos(sinx)＝f(x),所以f(x＋π)＝f(－x＋π), 所以可得x＝π是函数的对称轴,所以 B正确; C中,因 为 f x＋π２ æ è ç ö ø ÷ ＝cos sinx＋π２ æ è ç ö ø ÷[ ] ＝ cos(cosx),而f π２－x æ è ç ö ø ÷＝cossin π２－x æ è ç ö ø ÷[ ]＝ cos(cosx)＝f x＋π２ æ è ç ö ø ÷,所以对称轴为x＝π２ , 所以C不正确;D中,因为sinx∈[－１,１],所以 f(x)∈[cos(sin１),１],所以 D不正确．] ８．(２０２５􀅰石家庄模拟)已知函数f(x)＝|sinx|| cosx|,则下列说法正确的是 (　　) A．f(x)的图象关于直线x＝π２ 对称 B．f(x)的周期为π２ C．(π,０)是f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间 π４ ,π ２[ ]上单调递减 解析:ABD　[f(x)＝|sinx||cosx|＝|sin xcosx|＝１２|sin２x| ,则f π２ æ è ç ö ø ÷＝１２|sinπ|＝ ０,所以f(x)的图象关于直线x＝π２ 对称,故 A 正确;函数周 期 T＝１２× ２π ２ ＝ π ２ ,故 B 正 确; f(π)＝１２|sin２π|＝０ ,则x＝π是f(x)的一个 对称轴,f(x)无 对 称 中 心,故 C 错 误;当x∈ π ４ ,π ２[ ] 时,２x∈ π ２ ,π[ ],此时sin２x＞０,且sin ２x单调递减,故 D正确．] 三、填空题 ９．函数y＝２sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷－１,x∈ ０,π３[ ] 的值域为 　　　　,并且取最大值时x的值为　　　　． 解析:∵x∈ ０,π３[ ],∴２x＋ π ３∈ π ３ ,π[ ], ∴sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷∈[０,１],∴y∈[－１,１]． 当２x＋π３＝ π ２ 时,即x＝π１２ 时y取得最大值１． 答案:[－１,１]　π１２ １０．(２０２５􀅰聊城模拟)已知函数f(x)＝sinωx(ω ＞０)在 －π４ ,２π ３[ ] 上单调递增,那么常数ω的 一个取值为　　　　． 解析:f(x)＝sinωx(ω＞０)在 －π４ ,２π ３[ ] 上单调递 增,则ω􀅰２π３≤ π ２ ,ω􀅰 －π４ æ è ç ö ø ÷≥－π２ ,∴０＜ω≤ ３ ４ ,取一个该范围内的值即可,如ω＝１２． 答案:１ ２ (答案不唯一) 四、解答题 １１．已知函数f(x)＝sin π２－x æ è ç ö ø ÷sinx－ ３cos２x． (１)求f(x)的最小正周期和对称中心的坐标; (２)求f(x)在 π６ ,２π ３[ ]上的单调递减区间． 解:(１)函 数 f(x)＝sin π２－x æ è ç ö ø ÷sinx－ ３cos２x＝cosxsinx－ ３􀅰１＋cos２x２ ＝ １ ２sin２x － ３２cos２x－ ３ ２＝sin ２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷－ ３２ ,所以函 数f(x)的周期为２π２＝π． 令２x－π３＝kπ ,k∈Z, 求得x＝kπ２＋ π ６ ,k∈Z,可得对称中心的坐标 为 kπ ２＋ π ６ ,－ ３２ æ è ç ö ø ÷,k∈Z． (２)令２kπ＋π２≤２x－ π ３≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z,求 得kπ＋５π１２≤x≤kπ＋ １１π １２ ,可得函数的减区间 为 kπ＋５π１２ ,kπ＋１１π１２[ ],k∈Z．又x∈ π ６ ,２π ３[ ], 故函数的减区间为 ５π １２ ,２π ３[ ]． １２．已知函数f(x)＝ ２asinx＋π４ æ è ç ö ø ÷＋a＋b． (１)若a＝－１,求函数f(x)的单调递增区间; (２)当x∈[０,π]时,函数f(x)的值域是[５,８], 求a,b的值． 解:(１)当a＝－１时,f(x)＝ － ２sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷＋b－１,由２kπ＋π２≤x＋ π ４ ≤２kπ＋３π２ (k∈Z),得２kπ＋π４≤x≤２kπ＋ ５π ４ (k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[２kπ＋ π ４ ,２kπ＋５π４ ](k∈Z)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６３􀅰 高考总复习　数学 A版 (２)因为０≤x≤π,所以π４≤x＋ π ４≤ ５π ４ ,所以 － ２２≤sinx＋ π ４ æ è ç ö ø ÷≤１,依题意知a≠０． ①当a＞０时,有 ２a＋a＋b＝８ , b＝５,{ 所以a＝３ ２－３,b＝５; ②当a＜０时,有 b＝８, ２a＋a＋b＝５,{ 所以a＝３－３ ２,b＝８． 综上所述,a＝３ ２－３,b＝５或a＝３－３ ２,b＝８． [能力提升练] １３．[多选]已知函数f(x)＝sin(２x＋φ)(０＜φ＜ π)的图象关于点 ２π３ ,０æ è ç ö ø ÷中心对称,则 (　　) A．f(x)在区间 ０,５π１２ æ è ç ö ø ÷单调递减 B．f(x)在区间 －π１２ ,１１π １２ æ è ç ö ø ÷有两个极值点 C．直线x＝７π６ 是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝ ３２－x 是曲线y＝f(x)的切线 解析:AD　[由题意得:f ２π３ æ è ç ö ø ÷＝sin４π３＋φ æ è ç ö ø ÷＝０, 所以４π ３＋φ＝kπ ,k∈Z, 即φ＝－ ４π ３＋kπ ,k∈Z, 又０＜φ＜π,所以k＝２时,φ＝ ２π ３ , 故f(x)＝sin２x＋２π３ æ è ç ö ø ÷． 对A,当x∈ ０,５π１２ æ è ç ö ø ÷ 时,２x＋２π３∈ ２π ３ ,３π ２ æ è ç ö ø ÷,由正 弦函数y＝sinu图象知y＝f(x)在 ０,５π１２ æ è ç ö ø ÷ 上是 单调递减;对 B,当x∈ －π１２ ,１１π １２ æ è ç ö ø ÷ 时,２x＋２π３ ∈ π２ ,５π ２ æ è ç ö ø ÷,由正弦函数y＝sinu 图象知y＝ f(x)只有１个极值点,由２x＋２π３＝ ３π ２ ,解得x ＝５π１２ ,即x＝５π１２ 为函数的唯一极值点;对 C,当 x＝７π６ 时,２x＋２π３＝３π ,f ７π６ æ è ç ö ø ÷＝０,直线x＝７π６ 不是对称轴; 对 D,由 y′＝２cos ２x＋２π３ æ è ç ö ø ÷ ＝ －１ 得:cos ２x＋２π３ æ è ç ö ø ÷＝－１２ , 解得 ２x＋２π３ ＝ ２π ３ ＋２kπ 或 ２x＋２π３ ＝ ４π ３ ＋ ２kπ,k∈Z, 从而得:x＝kπ或x＝π３＋kπ ,k∈Z, 所以函数y＝f(x)在点 ０,３２ æ è ç ö ø ÷ 处的切线斜率 为k＝y′|x＝０＝２cos ２π ３＝－１ , 切线方程为:y－ ３２＝－ (x－０),即y＝ ３２－x． ] １４．(２０２５􀅰无锡模拟)设函数f(x)＝sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷在 α,α＋π３[ ]上的值域为[M,N],则N－M 的取值 范围是　　　　． 解析:函数f(x)＝sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷的周期T＝π, 而 α＋π３ æ è ç ö ø ÷－α＝π３＜ T ２ , 当函数f(x)在 α,α＋π３[ ] 上单调时, N－M＝ f(α)－f α＋π３ æ è ç ö ø ÷ ＝ sin２α－π３ æ è ç ö ø ÷－sin２α＋π３ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３|cos２α|≤ ３, 当函数f(x)在 α,α＋π３[ ] 上不单调时,由正弦 函数的图象性质知, 当f(x)在 α,α＋π３[ ] 上的图象关于直线x＝α ＋π６ 对称时,N－M 最小, 此时２α＋π６ æ è ç ö ø ÷－π３＝kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即α＝kπ２＋ π ４ ,k∈Z, 因此(N－M)min＝ f(α)－f α＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ ＝ sin２α－π３ æ è ç ö ø ÷－sin２α ＝ sinkπ＋π６ æ è ç ö ø ÷－sinkπ＋π２ æ è ç ö ø ÷ ＝ １２coskπ－coskπ ＝ １ ２ , 所以 N－M 的取值范围是 １２ ,３[ ]． 答案:１ ２ ,３[ ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６３􀅰 第四章　三角函数与解三角形