4.8 解三角形中的最值与范围问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§４．８　解三角形中的最值与范围问题 ★[考试要求] 　　解三角形中的最值或范围问题,通常涉及与边长、周长有关的范围问题,与面积有关的范围问题,或与角度 有关的范围问题,一直是高考的热点与重点,主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式 等工具研究三角形问题,解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 　　　　　　　　学生用书　P８０ 　　　利用基本不等式求最值(范围) [例１]　(２０２５􀅰曲靖模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acosC＋ ３csinA＝b＋c． (１)求角B 的取值范围; (２)已知△ABC内切圆的半径r＝ ３２ ,求△ABC 周 长的取值范围． [解]　(１)∵acosC＋ ３csinA＝b＋c, 由正弦定理得sinAcosC＋ ３sinCsinA＝sinB＋ sinC, ∴sinAcosC＋ ３sinCsinA＝sin(A＋C)＋sinC, ∴ ３sinCsinA＝cosAsinC＋sinC． ∵sinC≠０,∴ ３sinA＝cosA＋１, ∴sin A－π６ æ è ç ö ø ÷＝１２． ∵－π６＜A－ π ６＜ ５π ６ ,∴A－π６＝ π ６ ,∴A＝π３ , ∴角B 的取值范围是 ０,２π３ æ è ç ö ø ÷． (２)∵S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ４bc , S△ABC＝ １ ２ (a＋b＋c)􀅰r＝ ３４ (a＋b＋c), ∴a＋b＋c＝bc,即a＝－b－c＋bc, 由余弦定理得a２＝b２＋c２－bc． ∴(bc)２－２bc(b＋c)＋(b＋c)２＝(b＋c)２－３bc, ∴bc＝２(b＋c)－３． ∵bc≤ b＋c２ æ è ç ö ø ÷ ２ (当且仅当b＝c时取等号), ∴２(b＋c)－３≤ (b＋c)２ ４ , ∴b＋c≤２或b＋c≥６． 设△ABC与圆内切于点D,E,F, 则AD＝AF＝r􀅰tanπ３＝ ３ ２． ∴b＋c＝AC＋AB＞AD＋AF＝３, ∴b＋c≥６(当且仅当b＝c＝３时 取等号)． △ABC 的周长L＝a＋b＋c＝ b２＋c２－２bccosA＋ b＋c, ＝ (b＋c)２－３bc＋b＋c≥ (b＋c)２－３b＋c２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ b＋c＝３２ (b＋c)≥９(当且仅当b＝c＝３时两处都取 等号)．∴Lmin＝９, ∵c＝AB＞DB＝ r tanB２ ＝ ３ ２tanB２ ０＜B＜２π３ æ è ç ö ø ÷, ∴B→０时,c→＋∞,L→＋∞, ∴△ABC 的周长的取值范围是[９,＋∞)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中,如果已知一个角及其对边,假设已知 A,a,根据余弦定理a２＝b２＋c２－２bccosA,即可得 到“b２＋c２”与“bc”的等量关系． (１)求面积最值时,S＝１２bcsinA ,即求bc最值,在 等量关系中利用基本不等式b２＋c２≥２bc,即可 求得bc的最值． (２)求周长a＋b＋c的最值时,即求b＋c的最值, 在等量关系中,把b２＋c２ 换成(b＋c)２－２bc,再 利用基本不等式bc≤ b＋c２ æ è ç ö ø ÷ ２ ,即可求得b＋c 的最值． 在△ABC中,sin２A－sin２B－sin２C＝sinBsinC． (１)求A; (２)若BC＝３,求△ABC周长的最大值． 解:(１)由正弦定理和已知条件得 BC２－AC２－AB２＝AC􀅰AB．① 由余弦定理得BC２＝AC２＋AB２－２AC􀅰ABcosA．② 由①②得cosA＝－１２． 因为０＜A＜π,所以A＝２π３． (２)由正弦定理及(１)得 AC sinB＝ AB sinC＝ BC sinA＝２ ３ , 从而AC＝２ ３sinB, AB＝２ ３sin(π－A－B)＝３cosB－ ３sinB． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２１􀅰 高考总复习　数学 A版 故BC＋AC＋AB＝３＋ ３sinB＋３cosB ＝３＋２ ３sinB＋π３ æ è ç ö ø ÷． 又０＜B＜π３ , 所以当B＝π６ 时,△ABC 的周长取得最大值,为３ ＋２ ３． 　　　转化为三角函数求最值(范围) [例２]　(２０２５􀅰漳州模拟)如图, 在四边形 ABCD 中,∠DAB＝ π ２ ,B＝π６ ,且△ABC 的外接圆 半径为４． (１)若BC＝４ ２,AD＝２ ２,求△ACD 的面积; (２)若D＝２π３ ,求BC－AD 的最大值． [解]　因为B＝π６ ,△ABC 的外接圆半径为４, 所以 AC sinB＝８ ,解得AC＝４． (１)在△ABC 中,BC＝４ ２, 则 BC sin∠CAB＝ ４ ２ sin∠CAB＝８ , 解得sin∠CAB＝ ２２． 又∠CAB∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,所以∠CAB＝π４． 在△ACD 中,AC＝４,∠DAC＝π２－∠CAB＝ π ４ , AD＝２ ２, 所以S△ACD＝ １ ２×４×２ ２× ２ ２＝４． (２)设∠DAC＝θ,θ∈ ０,π３ æ è ç ö ø ÷． 又D＝２π３ ,所以∠ACD＝π３－θ． 因为∠DAB＝π２ ,所以∠CAB＝π２－θ． 在△DAC 中,AC＝４, 由正弦定理得 AC sinD＝ AD sin∠ACD , 即４ ３ ２ ＝ AD sin π３－θ æ è ç ö ø ÷ , 解得AD＝８ ３３ sin π ３－θ æ è ç ö ø ÷ ＝８ ３３ ３ ２cosθ－ １ ２sinθ æ è ç ö ø ÷ ＝４cosθ－４ ３３ sinθ． 在△ABC 中,AC＝４, 由正弦定理得 AC sinB＝ BC sin∠CAB , 即４ １ ２ ＝ BC sin π２－θ æ è ç ö ø ÷ , 解得BC＝８sin π２－θ æ è ç ö ø ÷＝８cosθ, 所以BC－AD＝４cosθ＋ ３３sinθ æ è ç ö ø ÷ ＝８ ３３ sinθ＋ π ３ æ è ç ö ø ÷． 又θ∈ ０,π３ æ è ç ö ø ÷,所以θ＋π３∈ π ３ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷, 当且仅当θ＋π３＝ π ２ ,即θ＝π６ 时,sinθ＋π３ æ è ç ö ø ÷ 取得 最大值１, 所以BC－AD 的最大值为８ ３３ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 三角形中最值(范围)问题,如果三角形为锐角三角 形,或其他的限制,一般采用正弦定理边化角,利用 三角函数的范围求出最值或范围． (２０２５􀅰沈阳模拟)如图,在平面内, 四边形ABCD 满足B,D 两点在AC 的两侧,AB＝１,BC＝２,△ACD 为正 三角形,设∠ABC＝α． (１)当α＝π３ 时,求AC; (２)当α变化时,求四边形ABCD 面积的最大值． 解:(１)因为AB＝１,BC＝２,B＝π３ , 由余弦定理可得 AC＝ AB２＋BC２－２AB􀅰BCcosB ＝ １＋４－２×１×２×１２＝ ３． (２)由 余 弦 定 理 可 得 AC２＝AB２＋BC２－２AB􀅰 BCcosα＝１＋４－２×１×２cosα＝５－４cosα, 因为△ACD 为正三角形,所以S△ACD ＝ ３ ４AC ２＝ ５ ３ ４ － ３cosα , S△ABC＝ １ ２AB 􀅰BCsinα＝１２×１×２sinα＝sinα , 所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝sinα－ ３cosα＋ ５ ３ ４ ＝２sinα－ π ３ æ è ç ö ø ÷＋５ ３４ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２１􀅰 第四章　三角函数与解三角形 因为α∈(０,π),所以α－π３∈ － π ３ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷, 所以sinα－π３ æ è ç ö ø ÷∈ － ３２ ,１ æ è ç ù û úú, 所以S四边形ABCD∈ ３４ ,２＋５ ３４ æ è ç ù û úú, 故当α＝５π６ 时,四边形 ABCD 面积的最大值为２ ＋５ ３４ ． 　　　转化为其他函数求最值(范围) [例３]　(２０２５􀅰惠州模拟)平面多 边形中,三角形具有稳定性,而四 边形不具有这一性质．如图所示, 四边形ABCD 的顶点在同一平面 上,已知AB＝BC＝CD＝２,AD＝ ２ ３． (１)当BD 长度变化时,３cosA－cosC 是否为定 值? 若是,求出这个定值;若不是,说明理由; (２)记△ABD 与△BCD 的面积分别为S１ 和S２,请 求出S２１＋S２２ 的最大值． [解]　(１)方法一　在△ABD 中,由余弦定理的 推论 得cosA＝AD ２＋AB２－BD２ ２AD􀅰AB ＝ (２ ３)２＋２２－BD２ ２×２ ３×２ , 即 ３cosA＝１６－BD ２ ８ ,① 同理,在△BCD 中,cosC＝２ ２＋２２－BD２ ２×２×２ , 即cosC＝８－BD ２ ８ ,② ①－②得 ３cosA－cosC＝１, 所以当BD 长度变化时,３cosA－cosC 为定值, 定值为１． 方法二　在△ABD 中,由余弦定理得 BD２＝AD２＋AB２－２AD􀅰ABcosA＝(２ ３)２＋２２ －２×２ ３×２cosA, 即BD２＝１６－８ ３cosA, 同理,在 △BCD 中,BD２ ＝CD２ ＋CB２ －２CD􀅰 CBcosC＝８－８cosC, 所以１６－８ ３cosA＝８－８cosC, 化简得 ３cosA－cosC＝１, 所以当BD 长度变化时,３cosA－cosC 为定值, 定值为１． (２)S２１＋S２２ ＝１４AB ２􀅰AD２􀅰sin２A＋１４BC ２􀅰CD２􀅰sin２C ＝１２sin２A＋４sin２C＝１２sin２A＋４－４cos２C ＝１２sin２A＋４－４(３cosA－１)２ ＝－２４cos２A＋８ ３cosA＋１２, 令cosA＝t,由(１)①得t∈ －１,２ ３３ æ è ç ö ø ÷, 所以S２１＋S２２＝－２４t２＋８ ３t＋１２ ＝－２４t－ ３６ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１４, 所以当t＝ ３６ ,即cosA＝ ３６ 时, S２１＋S２２ 有最大值为１４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 解决此类题目,一是利用正余弦定理,转化成边的函 数,或转化成关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数 的单调性求解;二是利用三角恒等变换构造关于正 弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解． 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且满足 sinAsinB＋sinC＝ c－b b ． (１)若C＝π２ ,求B; (２)求a＋cb 的取值范围． 解:(１)由 sinAsinB＋sinC＝ c－b b ,及正弦定理可得, a b＋c＝ c－b b ,即c２＝b２＋ab, ∵C＝π２ ,∴c２＝a２＋b２, ∴b２＋ab＝a２＋b２,解得a＝b,即A＝B, 又C＝π２ ,∴B＝π４． (２)由(１)知,c２＝b２＋ab, ∴a＝c ２－b２ b ,c＞b, 由三角形三边关系可得 a＋b＞c, b＋c＞a,{ 代入化简可得b＜c＜２b, ∴a＋cb ＝ c２－b２＋bc b２ ＝c ２ b２ ＋cb－１ , 令x＝cb ,则x∈(１,２),f(x)＝x２＋x－１,１＜x＜２, ∴f(x)＝ x＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ －５４∈ (１,５), ∴c ２ b２ ＋cb－１∈ (１,５), ∴a＋cb 的取值范围是(１,５)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２１􀅰 高考总复习　数学 A版