4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版2019）

§４．３　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ★[考试要求] １．会推导两角差的余弦公式．２．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．３．掌握两角和与差的 正弦、余弦、正切公式,并会简单应用． 　　　　　　　　学生用书　P６６ １．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (１)公式C(α－β): cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ; (２)公式C(α＋β): cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ; (３)公式S(α－β): sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ; (４)公式S(α＋β): sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ; (５)公式T(α－β):tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ; (６)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ． ２．辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a２＋b２sin(α＋φ),其中sinφ＝ b a２＋b２ ,cosφ＝ a a２＋b２ ． 两角和与差的公式的常用变形: (１)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ． (２)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ． (３)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ)． tanαtanβ＝１－ tanα＋tanβ tan(α＋β) ＝tanα－tanβtan(α－β) －１． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)存在实数α,β,使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立． (√) (２)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任 意角． (√) (３)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ)． (√) (４)３２sinα＋ １ ２cosα＝sinα＋ π ３ æ è ç ö ø ÷． (×) ２．若cosα＝－４５ ,α是第三象限角, 则sinα＋π４ æ è ç ö ø ÷等于 (　　) A．－ ２１０ B． ２ １０ C．－７ ２１０ D． ７ ２ １０ 解析:C　[∵α是第三象限角, ∴sinα＝－ １－cos２α＝－３５ , ∴sinα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝sinαcosπ４＋cosαsin π ４＝－ ３ ５× ２ ２＋ － ４ ５ æ è ç ö ø ÷× ２２＝－ ７ ２ １０ ． ] ３．sinπ１２－ ３cos π １２ 的值为 (　　) A．０ B．－ ２ C．２ D．２ 解析:B　[sinπ１２－３cos π １２＝２ １ ２sin π １２－ ３ ２cos π １２ æ è ç ö ø ÷＝ ２sin π１２－ π ３ æ è ç ö ø ÷＝２sin －π４ æ è ç ö ø ÷＝－２．] ４．若tanα＝１３ ,tan(α＋β)＝ １ ２ ,则tanβ＝　　　　． 解析:tanβ＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tanα １＋tan(α＋β)tanα ＝ １ ２－ １ ３ １＋１２× １ ３ ＝１７． 答案:１ ７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９􀅰 第四章　三角函数与解三角形 　　　　　　　　学生用书　P６６ 　　　两角和与差的三角函数公式 [例１]　(１)已知tanα＝１７ ,tanβ＝ ３ ４ ,则tan(２α＋β) 的值为 (　　) A．４３ B． ２ ３ C．－ ３ ４ D．－ ４ ３ [解析]　由tanα＝１７ ,tanβ＝ ３ ４ ,得 tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ １ ７＋ ３ ４ １－１７× ３ ４ ＝１, tan(２α＋β)＝tan[α＋(α＋β)]＝ tanα＋tan(α＋β) １－tanαtan(α＋β) ＝ １ ７＋１ １－１７×１ ＝４３． [答案]　A (２)若sin(２α－β)＝ １ ６ ,sin(２α＋β)＝ １ ２ , 则sin２αcosβ等于 (　　) A．２３ B． １ ３ C． １ ６ D． １ １２ [解析]　由sin(２α－β)＝ １ ６ ,sin(２α＋β)＝ １ ２ , 可得sin２αcosβ－cos２αsinβ＝ １ ６ ,① sin２αcosβ＋cos２αsinβ＝ １ ２ ,② 由①＋②得,２sin２αcosβ＝ ２ ３ , 所以sin２αcosβ＝ １ ３． [答案]　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 三角函数公式的应用策略 (１)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的 结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦 公式可简记为:“同名相乘,符号反．” (２)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关 系、诱导公式的综合应用． １．sin２０°＋sin４０°＝ (　　) A．sin５０° B．sin６０° C．sin７０° D．sin８０° 解析:D　[sin２０°＋sin４０°＝sin(３０°－１０°)＋ sin(３０°＋１０°)＝sin３０°cos１０°－cos３０°sin１０°＋ sin３０°cos１０°＋cos３０°sin１０°＝２sin３０°cos１０°＝ ２×１２cos１０°＝sin８０°． ] ２．已知cosα＋π６ æ è ç ö ø ÷＝３cosα,tanβ＝ ３ ３ ,则tan(α＋β)＝ 　　　　． 解析:因为cosα＋π６ æ è ç ö ø ÷＝ ３２cosα－ １ ２sinα＝ ３cosα , 所以－sinα＝３cosα,故tanα＝－ ３,所以tan(α＋β) ＝tanα＋tanβ１－tanαtanβ ＝ －３＋ ３３ １＋ ３× ３３ ＝ －２ ３３ ２ ＝－ ３ ３． 答案:－ ３３ 　　　　两角和与差的三角函数公式的 　　　　逆用与辅助角公式 [例２]　(１)[多选]已知α,β,γ∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷,sinα＋sinγ ＝sinβ,cosβ＋cosγ＝cosα,则下列说法正确的是 (　　) A．cos(β－α)＝ １ ２ B．cos (β－α)＝ １ ３ C．β－α＝－ π ３ D．β－α＝ π ３ [解析]　由题意知,sinγ＝sinβ－sinα, cosγ＝cosα－cosβ, 将两式分别平方后相加, 得１＝(sinβ－sinα) ２＋(cosα－cosβ) ２ ＝２－２(sinβsinα＋cosβcosα), ∴cos(β－α)＝ １ ２ ,即选项 A 正确,B错误; ∵γ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, ∴sinγ＝sinβ－sinα＞０, ∴β＞α,而α,β∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷, ∴０＜β－α＜ π ２ , ∴β－α＝ π ３ , 即选项 D正确,C错误． [答案]　AD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００１􀅰 高考总复习　数学 A版 (２)(２０２５􀅰 广州模拟)在 △ABC 中,C＝１２０°, tanA＋tanB＝２ ３３ ,则tanAtanB 的值为 (　　) A．１４ B． １ ３ C． １ ２ D． ５ ３ [解析]　∵C＝１２０°,∴tanC＝－ ３． ∵A＋B＝π－C, ∴tan(A＋B)＝－tanC． ∴tan(A＋B)＝ ３, tanA＋tanB＝ ３(１－tanAtanB), 又∵tanA＋tanB＝２ ３３ , ∴tanAtanB＝１３． [答案]　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 三角函数公式活用技巧 (１)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同, 创造条件逆用公式． (２)tanαtanβ,tanα＋tanβ(或tanα－tanβ), tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求 一,注意公式的正用、逆用和变形使用． １．若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝２ ２cosα＋ π ４ æ è ç ö ø ÷sinβ,则 (　　) A．tan(α－β)＝１ B．tan(α＋β)＝１ C．tan(α－β)＝－１ D．tan(α＋β)＝－１ 解析:C　[由已知得:sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosα cosβ－sinαsinβ＝２(cosα－sinα)sinβ, 即:sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝０, 即:sin(α－β)＋cos(α－β)＝０, 所以tan(α－β)＝－１．] ２．(１＋tan２０°)(１＋tan２１°)(１＋tan２４°)(１＋tan２５°)＝ 　　　　． 解析:(１＋tan２０°)(１＋tan２５°)＝１＋tan２０°＋ tan２５°＋tan２０°tan２５°＝１＋tan(２０°＋２５°)(１－ tan２０°tan２５°)＋tan２０°tan２５°＝２,同理可得(１＋ tan２１°)(１＋tan２４°)＝２,所以原式＝４． 答案:４ 　　　　角的变换问题 [例３]　(１)已知sinα＝２ ５５ ,sin(β－α)＝－ １０ １０ ,α,β 均为锐角,则β等于 (　　) A．５π１２ B． π ３ C． π ４ D． π ６ [解析]　因为sinα＝２ ５５ ,sin(β－α)＝－ １０ １０ ,且 α,β均为锐角, 所以cosα＝ ５５ ,cos(β－α)＝ ３ １０ １０ , 所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα􀅰cos(β－α)＋ cosαsin(β－α)＝ ２ ５ ５ × ３ １０ １０ ＋ ５ ５ × － １０ １０ æ è ç ö ø ÷ ＝ ２５ ２ ５０ ＝ ２ ２ ,所以β＝ π ４． [答案]　C (２)(２０２５􀅰内江模拟)已知α,β∈ ３π ４ ,πæ è ç ö ø ÷,sin(α＋β)＝ －３５ ,sinβ－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝２４２５ ,则cosα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． [解析]　由题意知,α＋β∈ ３π ２ ,２πæ è ç ö ø ÷,sin(α＋β)＝ －３５ ＜０ ,所 以 cos(α＋β)＝ ４ ５ ,因 为 β－ π ４ ∈ π２ ,３π ４ æ è ç ö ø ÷, 所以cosβ－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝－７２５ , cosα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝cos (α＋β)－ β－ π ４ æ è ç ö ø ÷[ ] ＝cos(α＋β)cosβ－ π ４ æ è ç ö ø ÷＋sin(α＋β)sinβ－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ －４５． [答案]　－４５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用角的变换求三角函数值的策略 (１)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为 两个“已知角”的和或差的形式． (２)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角” 与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公 式把“所求角”变成“已知角”(如本例)． (３)常见的角变换技巧: α＝２􀅰α２ ;α＝(α＋β)－β;α＝β－(β－α); α＝１２ [(α＋β)＋(α－β)];β＝ １ ２ [(α＋β)－(α－β)]; π ４＋α＝ π ２－ π ４－α æ è ç ö ø ÷． (４)特殊角的拆分:７π１２＝ π ３＋ π ４ ;５π １２＝ π ４＋ π ６ ;π １２＝ π ３－ π ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０１􀅰 第四章　三角函数与解三角形 １．已知tanα＋π１２ æ è ç ö ø ÷＝－２,则tanα＋π３ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１３ B． １ ３ C．－３ D．３ 解析:A　[∵tanα＋π１２ æ è ç ö ø ÷ ＝－２,∴tanα＋π３ æ è ç ö ø ÷ ＝ tan α＋π１２ æ è ç ö ø ÷＋π４[ ] ＝ tanα＋π１２ æ è ç ö ø ÷＋tanπ４ １－tanα＋π１２ æ è ç ö ø ÷􀅰tanπ４ ＝ －２＋１ １－(－２)×１＝－ １ ３． ] ２．(２０２５􀅰百校联盟联考)已知α,β都是锐角,cos(α＋ β)＝ ５ １３ ,sin(α－β)＝ ３ ５ ,则sinα＝ (　　) A．９ １３０１３０ B． ７ １３０ １３０ C． ７ ６５ ６５ D． ４ ６５ ６５ 解析:A　[∵α,β都是锐角, ∴０＜α＋β＜π,－ π ２ ＜α－β＜ π ２． 又∵cos(α＋β)＝ ５ １３ ,sin(α－β)＝ ３ ５ , ∴sin(α＋β)＝ １２ １３ ,cos(α－β)＝ ４ ５ , 则cos２α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝５１３× ４ ５－ １２ １３× ３ ５＝－ １６ ６５． ∵cos２α＝１－２sin２α＝－１６６５ , ∴sin２α＝８１１３０ , ∵sinα＞０,∴sinα＝９ １３０１３０ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §４．４　简单的三角恒等变换 ★[考试要求] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推 导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆)． 　　　　　　　　学生用书　P６８ １．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (１)公式S２α:sin２α＝２sinαcosα． (２)公 式 C２α:cos２α＝cos２α－sin２α＝２cos２α－１ ＝１－２sin２α． (３)公式T２α:tan２α＝ ２tanα １－tan２α ． ２．半角公式(不要求记忆) sinα２＝± １－cosα ２ ;cosα２＝± １＋cosα ２ ;tanα２ ＝± １－cosα１＋cosα． 符号由α ２ 所在象限决定． １．二倍角公式的变形公式 (１)１－cosα＝２sin２α２ ,１＋cosα＝２cos２ α２． (升 幂公式) (２)１±sinα＝ sinα２±cos α ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ．(升幂公式) (３)sin２α＝１－cos２α２ ,cos２α＝１＋cos２α２ , tan２α＝１－cos２α１＋cos２α． (降幂公式) ２．半角正切公式的有理化 tanα２＝ sinα １＋cosα＝ １－cosα sinα ． １．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”) (１)tanα２＝ sinα １＋cosα＝ １－cosα sinα ． (√) (２)设５π２＜θ＜３π ,且|cosθ|＝１５ ,那么sinθ２ 的值为 １５ ５ ． (×) (３)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公 式逆求而得来的． (√) (４)存在实数α,使tan２α＝２tanα． (√) ２．sin３４７°cos１４８°＋sin７７°cos５８°＝ (　　) A．１２　　　　B． ２ ２　　　　C． ３ ２　　　　D．１ 解析:B　[sin３４７°cos１４８°＋sin７７°cos５８° ＝sin(２７０°＋７７°)cos(９０°＋５８°)＋sin７７°cos５８° ＝(－cos７７°)􀅰(－sin５８°)＋sin７７°cos５８° ＝sin５８°cos７７°＋cos５８°sin７７°＝sin(５８°＋７７°)＝ sin１３５°＝ ２２． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０１􀅰 高考总复习　数学 A版